WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Сборник контрольных работ и методических указаний для их выполнения по дисциплине «Методы математической физики» Методические указания к контрольным работам Москва 2011 Составители:, к.ф.-м.н., доцент В.Ю. Руднев, В. И. Кретов УДК 517.95 Сборник контрольных работ по дисциплине «Методы математической физики»: Методические указания к контрольным работам / Моск. гос. ин-т электроники и математики;

Сост.: В.Ю. Руднев, В.И. Кретов. М., 2011. - 46 с.

В пособии представлены контрольные работы с вариантами решений типовых заданий, охватывающие основные разделы математической физики: волновые процессы, стационарные процессы, процессы теплопереноса и диффузии, распространение электромагнитных волн в волноводах.

Для студентов III курса ФИТ, изучающих дисциплины «Методы математической физики» и «Уравнения математической физики».

ISBN 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Методические указания........................................................................................................ 1 УДК 517.95................................................................................................................................ 2 Сборник контрольных работ по дисциплине «Методы математической физики»:

Методические указания к контрольным работам / Моск. гос. ин-т электроники и математики;............................................................................................................................... 2 В пособии представлены контрольные работы с вариантами решений типовых заданий, охватывающие основные разделы математической физики: волновые процессы, стационарные процессы, процессы теплопереноса и диффузии, распространение электромагнитных волн в волноводах................................................................................... Для студентов III курса ФИТ, изучающих дисциплины «Методы математической физики» и «Уравнения математической физики»................................................................ ISBN........................................................................................................................................... Контрольная работа №1........................................................................................................... I. Общие свойства линейных уравнений (уравнение гармонического осциллятора и волновое уравнение)............................................................................................................ II. Решение задачи Коши для уравнения гармонического осциллятора......................... III. Решение волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод отражений. Контрольная работа №2......................................................................................................... I. Решение начально-краевой задачи на отрезке для неоднородного волнового уравнения............................................................................................................................ II. Решение начально-краевой задачи на отрезке для волнового уравнения с неоднородными краевыми условиями............................................................................. Контрольная работа №3......................................................................................................... I. Решение краевой задачи для уравнения Пуассона с однородными граничными условиями на прямоугольнике.......................................................................................... II. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями внутри круга.................................................................................................... III. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями внутри прямоугольника.................................................................................. Контрольная работа №4......................................................................................................... I. Функция точечного источника...................................................................................... II. Решение уравнения теплопроводности на прямой и полупрямой............................ Контрольная работа №5......................................................................................................... I. Прямоугольный волновод.............................................................................................. II. Круглый волновод......................................................................................................... Библиографический список.................................................................................................... Контрольная работа №Уравнение гармонического осциллятора и волновое уравнение. Формула Даламбера. Решение волнового уравнения на полуограниченной оси.

I. Общие свойства линейных уравнений (уравнение гармонического осциллятора и волновое уравнение).

&& & 1. Найти общее решение уравнения ax + bx + cx = 0 и проверить, что для решения этого уравнения справедлив принцип суперпозиции.

2u 1 2u u 2. Проверить, что для решения уравнения =+ b справедлив x2 a2 t2 t принцип суперпозиции.

2u 1 2u u 3. Объяснить связь уравнения =+ b с уравнениями x2 a2 t2 t Максвелла.

4. Объяснить физический смысл коэффициентов уравнения 2u 1 2u u =+ b.

x2 a2 t2 t && 5. Найти общее решение уравнения x + 0 x = A1sin1t. Рассмотреть варианты с наличием и отсутствием резонанса.



&& 6. Найти общее решение уравнения x + 0 x = A1 cos1t. Рассмотреть варианты с наличием и отсутствием резонанса.

&& & 7. Найти общее решение уравнения x + 2 x + 0 x = Asint, 0 < < 0.

Объяснить физический смысл коэффициента.

&& & 8. Найти общее решение уравнения x + 2 x + 0 x = Acost, 0 < < 0.

Объяснить физический смысл коэффициента.

&& & 9. Найти общее решение уравнения x + 2 x + 0 x = 0, 0 < < 0.

Объяснить физический смысл коэффициента.

&& 10. Найти общее решение уравнения x + 0 x = 0. Выразить коэффициенты C1 и C2 через коэффициенты D1 и D2 в случае решений x(t) = C1 cos0t + C2 sin0t и x(t) = D1ei t + De-i t.

&& 11. Найти общее решение уравнения x + 0 x = 0. Пояснить, как связаны между собой следующие решения этого уравнения:

x(t) = C1 cos0t + C2 sin0t и x(t) = Acos 0t +.

( ) && 12. Найти общее решение уравнения x + 0 x = 0. Пояснить, как связаны между собой следующие решения этого уравнения:

x(t) = C1 cos0t + C2 sin0t и x(t) = Asin 0t +.

( ) Пример решения типового задания Найти общее решение уравнения && & x + 2 x + 0 x = A0t, 0 < < 0, x = x(t). Запишем характеристическое уравнение 2 + 2 + 0 = 0.

Имеем 2 -2 ± 4( - 0 ) 2 1,2 == - ± - 0.

Общее решение однородного уравнения имеет вид 2 2 2 - + -0 t - - -0 t 2 2 2 ( ) ( ) -0 t xодн(t) = Ce + Ce = e-t Ce + C2e- -0 t = 11 1 ) ( 2 2 2 = e-t C1ei 0 - t + C2e-i 0 - t.

( ) Выражение в скобках преобразуем по формуле Эйлера (ei = cos + isin ) следующим образом 2 2 2 2 2 2 Cei 0 - t + C2e-i 0 - t = C1 + C2 cos 0 - t + i C1 - C2 sin 0 - t.

() () Обозначим A = C1 + C2, B = i C1 - C2. Окончательно получаем ( ) 2 2 2 xодн(t) = e-t Acos 0 - t + Bsin 0 - t.

( ) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде xч.неодн(t) = Vt +W.

Подставив последнее выражение в исходное уравнение, получим 2V + 0 Vt +W = A0t.

( ) Приравняв к нулю коэффициенты при соответствующих степенях переменной t, получим систему уравнений 2V + 0W = 0, 0V - A0 = 0, A0 Aоткуда V =, W = 2.

2 0 Таким образом, A0 xч.неодн(t) = + 0 t 0.

Окончательно получаем A0 2 2 2 x(t) = xодн(t) + xч.неодн(t) = e-t Acos 0 - t + Bsin 0 - t + + ( ) t.

0 Из последней формулы видно, что коэффициент имеет смысл коэффициента затухания амплитуды собственных колебаний системы с 2 собственной частотой 0 -.

II. Решение задачи Коши для уравнения гармонического осциллятора.

В следующих задачах найти решение и записать его тремя возможными способами && 2x = 0, && 2x = 0, && 2x = 0, x + 0 x + 0 x + x x x 1. = 0, 2. = x0, 3. = 0, t=0 t=0 t= = x1. = 0. = x1.

xt xt xt t=0 t=0 t=Решить задачу Коши с учетом режимов резонанса и отсутствия резонанса && 2x = A1sin1t, && 2x = A2 cos2t, && 2x = A1sin1t, x + 0 x + 0 x + x x x 4. = x0, 5. = x0, 6. = 0, t=0 t=0 t= = x1. = x1. = x1.

xt xt xt t=0 t=0 t=&& 2x = A2 cos2t, && 2x = A1sin1t, && 2x = A2 cos2t, x + 0 x + 0 x + x x x 7. = 0, 8. = x0, 9. = x0, t=0 t=0 t= = x1. = 0. = 0.

xt xt xt t=0 t=0 t=Пример решения типового задания Решить задачу Коши && 2x = A1et sin1t, x + x = x0, t= = x1.

xt t=Выпишем характеристическое уравнение 2 + 0 = 0.

Получаем 1,2 =±i0. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид xодн(t) = C1ei t + C2e-i t = C1 + C2 cos0t + i C1 - C2 sin0t = ( ) ( ) = Acos0t + Bsin0t.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде xч.неодн(t) = et V sin1t +W cos1t.

( ) Подставив последнюю функцию в исходное уравнение с правой частью, получим et V sin1t +W cos1t + 21et V cos1t -W sin1t ( ) ( ) - 1 et V cos1t +W sin1t + 0et V sin1t +W cos1t = A1et sin1t.

() () Сократив последнее равенство на et и приравняв коэффициенты при cos1t и sin1t к нуля, получим систему уравнений 22 W + 21V - 1V + 0W = 0, 22 V - 21W - 1W + 0V = A1, или 1 2 - 1 V + 2 + 0 W = 0, () ( ) 2 + 0 V - 1 2 - 1 W = A1.

() () Определитель этой системы равен 2 1 2 - 1 + 0 22 () ( ) = =-1 2 - 1 2 - + 0.

() () 2 + 0 -1 2 - () () 2 0 + ( ) 2 1 = = -A1 + 0, () A1 -1 2 - () 1 2 - 1 ( ) 2 = = A11 2 - 1, () 2 + 0 A() откуда 2 A1 + ( ) A11 2 - ( ) V =, W =-.

2 22 2 22 1 2 - 1 2 + + 0 1 2 - 1 + + () () () () Следовательно, частное решение неоднородного уравнения представляет собой функцию xч.неодн(t) = 2 A1 + ()sin1t - A11 2 - () = et.

cos1t 22 2 22 1 2 - 1 + + 0 1 2 - 1 + + () () () () Общее решение исходного уравнения имеет вид x(t) = xодн(t) + xч.неодн(t) = Acos0t + Bsin0t + et V sin1t +W cos1t.

( ) Неизвестные постоянные A и B определяются из начальных условий исходной задачи Коши. Именно, подставив выражение для общего решения в начальные данные, получим A +W = x0, B + 1V = x1, x1 - 1V откуда A = x0 -W, B =.

III. Решение волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод отражений.

1. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = 4uxx, 0 x < +, u = (x), t=u = 0, t t=u = 0, x=где (x) – начальный профиль струны – изображен на рис.1. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить время взаимодействия волны со стенкой.

Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, константе отличной от нуля, не равна константе.

2. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = 4uxx, 0 x < +, u = (x), t=u = 0, t t=u = 0, x=где (x) – начальный профиль струны – изображен на рис.2. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить время взаимодействия волны со стенкой.





Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, константе отличной от нуля, не равна константе.

3. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей u = uxx, 0 x < +, tt u t=0 = (x), ut t=0 = 0, ux x=0 = 0, где (x) – начальный профиль струны – изображен на рис.1. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. Найти закон изменения ординаты u(0,t) с течением времени. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, константе отличной от нуля, не равна константе.

4. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей u = uxx, 0 x < +, tt u t=0 = (x), ut t=0 = 0, ux x=0 = 0, где (x) – начальный профиль струны – изображен на рис.2. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить время взаимодействия волны со стенкой. Найти закон изменения ординаты u(0,t) с течением времени. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, константе отличной от нуля, не равна константе.

5. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = (x), t t=u = 0.

x= (x) – начальная скорость точек струны – изображена на рис.3. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который профиль волны перестанет меняться, т.е. станет самоподобным. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

6. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = (x), t t=u = 0.

x x= (x) – начальная скорость точек струны – изображена на рис.3. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который ордината u(0,t) станет постоянной во времени. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

7. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = 4uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = (x), t t=u = 0.

x= (x) – начальная скорость точек струны – изображена на рис.4. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который профиль волны перестанет меняться, т.е. станет самоподобным. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

8. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = 4uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = (x), t t=u = 0.

x x= (x) – начальная скорость точек струны – изображена на рис.4. Построить n профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который ордината u(0,t) станет постоянной во времени. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

9. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = 2 (x - 2) + 4 (x - 4), t t=u = 0.

x=n Изобразить профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который профиль волны перестанет меняться, т.е. станет самоподобным. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

10. Поперечные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = 2 (x - 2) + 4 (x - 4), t t=u = 0.

x x=n Изобразить профили струны в моменты времени t =, n = 4,...,10. С помощью характеристик определить момент времени, в который ордината u(0,t) станет постоянной во времени. Указать на характеристической плоскости области, где функция u(x,t) равна нулю, не равна нулю.

Рис.Рис.Рис.Рис.Пример решения типового задания Продольные колебания полуограниченной струны описываются начально-краевой задачей utt = uxx, 0 x < +, u = 0, t=u = 2 (x -1) + 3 (x - 2), t t=u = 0.

x=Здесь начальная скорость точек струны определяется функцией (x) = 2 (x -1) + 3 (x - 2), которая изображена на рис.5a). Эта функция описывает два точечных удара нанесенных с амплитудами 2 и 3 в точках x =1 и x = 2 соответственно.

Для того чтобы построить профили струны при t > 0, согласно методу отражений необходимо нечетным образом (в исходной задаче присутствует граничное условие первого рода) продолжить на отрицательную полуось начальные данные (x), см. рис.5b).

Построим вспомогательную функцию xx G(x) = (y)dy = [-3 ( y + 2) - 2 (y +1) + 2 (y -1) + 3 (y - 2) dy, ] - график которой изображен на рис.5c).

Согласно формуле Даламбера имеем u(x,t) = G(x + t) - G(x - t).

[] xПрофили струны при t > 0 изображены на рис.6. Момент образования самоподобного профиля волны отвечает графику изображенному на рис.5e) и рис.6 при t = 2.

Рис.На характеристической плоскости (x,t), x 0, t 0 это момент времени t = t* = 2, см. рис.5d). При этом в области I u(x,t) = 0, во всех остальных точках плоскости u(x,t) 0, см. рис.5d).

Рис.Контрольная работа №Метод разделения переменных для волнового уравнения на отрезке.

Электрические колебания в проводах.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.