WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» А.П. Мелехов КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Методические материалы для самостоятельной работы студентов по курсу теоретической физики Рязань –2008 ББК 22.314 М 47 Печатается по решению редакционно-издательского совета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» в соответствии с планом изданий на 2008 год.

Научный редактор Н.В. Коненков, д-р физ.-мат. наук, проф.

Рецензенты: М.Т. Терехин, д-р физ.-мат. наук, проф.

А.Б. Ястребков, канд. физ.-мат. наук, доц.

Мелехов А.П. Криволинейные координаты: учебнометодическое пособие; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. – Рязань, 2008. – 30 с.

Рассмотрены основные математические аспекты, относящиеся к понятию криволинейные координаты. В общем виде приведены выражения для градиента, дивергенции и ротора в криволинейных координатах и рассмотрены некоторые примеры криволинейных координат..

Ключевые слова: система координат, криволинейные координаты, коэффициенты Ламе.

ББК 22.311 © Мелехов А.П.

© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина 2008 г.

2 §1. Криволинейные координаты.

Пусть имеем область G в трехмерном пространстве. Поставим в соответствие каждой точке М G, имеющей координаты (x, y, z) относительно некоторой прямоугольной системы координат, тройку чисел (q1, q2, q3) из некоторого множества Q таким образом, что различным точкам М соответствуют различные тройки (q1, q2, q3) и обратно, каждой тройке чисел (q1, q2, q3) из рассматриваемого множества Q соответствует одна точка М G. Другими словами, точка М однозначно определяется тройкой чисел (q1, q2, q3). Поэтому ее декартовы координаты (x, y, z) являются функциями чисел q1, q2, qx = x(q1, q2, q3), y = y(q1, q2, q3), (1.1) z = z (q1, q2, q3).

Учитывая, что r = i x + jy + k z, (1.2) три скалярные функции (1.1) можно заменить одной векторной r = r (q1, q2, q3). (1.3) Будем считать, что отображение (1.3) непрерывно, дифференцируемо и Якобиан его отличен от нуля:

x y z q1 q1 q ( x, y, z) x y z = 0.

(q1, q2, q3 ) q2 q2 q(1.4) x y z q3 q3 q Тогда существует обратное отображение qi = qi (x, y, z), (i = 1, 2, 3).

Числа (q1,q2,q3) называются криволинейными координатами точки М, а отображение (1.1) или (1.3) называется криволинейной системой координат.

Если в отображении (1.3) зафиксировать какие-либо две величины, например, q2 и q3, а координате q1 придавать все возможные значения, то оно будет определять множество точек, которое называется координатной q1-линией. Аналогично получаются q2 и q3-линии. За положительное направление этих координатных линий принимается такое их направление, вдоль которого соответствующая переменная возрастает. Очевидно, что через каждую точку М можно провести три взаимно пересекающиеся координатные линии, которые в общем случае суть некоторые кривые. Этим и объясняется название – криволинейные координаты.

0 Пусть координаты q2 и q3 фиксированы, т.е. q2 = q2 и q3 = q3.

Тогда отображение 0 r = r (q1,q2,q3 ) (1.5) r есть функция одной переменной q1, а ее производная в точке М q есть касательный вектор r1 к q1-линии в этой точке (рис. 2).

Таким образом, r rj =, ( j = 1, 2,3).

(1.6) q j Очевидно, что вектор rj имеет компоненты x y z.

rj =,, (1.7) qj qj qj Рис.2.

Система криволинейных координат называется ортого нальной, если в любой точке векторы r1, r2, r3 попарно ортогональны, т.е. имеют место следующие равенства (ri,rj)= 0, i j (1.8) или в развернутом виде x x y y z z + + = 0.

(1.9) qi q qi q qi q j j j Обозначим через Hi модуль вектора ri 2 2 x y z H = ri = + +.

i (1.10) qi qi qi Числа Hi называются метрическими коэффициентами или коэффициентами Ламэ.

Единичные орты осей криволинейной системы координат определяются равенствами ri 1 r ei = =, (1.11) Hi Hi qi (i = 1, 2,3).

Выразим теперь в криволинейных координатах элемент длины дуги, элемент криволинейной поверхности и элемент объема. Для этого напомним, что в декартовых координатах квадрат элемента длины dl2 определяется выражением dl2 = dx2+ dy2+ dz2. (1.12) Из равенств (1.1) получим x x x dx = dq1 + dq + dq3, q1 q2 2 q y y y dy = dq1 + dq + dq3, q1 q2 2 q(1.13) z z z dz = dq1 + dq + dq3.

q1 q2 2 qПодставляя эти значения в (1.12) и принимая во внимание условия ортогональности (1.9), найдем, что dl2 = H12dq12 + H22dq22 + H32dq32. (1.14) Отсюда сразу следует, что элемент длины дуги координатной линии равен dli = Hidqi. (1.15) Теперь легко увидеть, что элемент криволинейной поверхности dij, образованный i-ой и j-ой координатной линией, и элемент объема dV определяются равенствами dij = Hi H dqidq, (1.16) j j dV = H1H2H3dq1dq2dq3. (1.17) § 2. Градиент в криволинейных координатах Пусть в некоторой области G задано дифференцируемое скалярное поле (M). Следовательно, в каждой точке МG существует вектор P такой, что P = grad. (2.1) Если в точку М поместить начало декартовой системы коор динат, то проекции вектора P на оси этой системы координат представляются в виде:

Px =, Py =, Pz =.

(2.2) x y z Если же в точку М поместить начало произвольной системы координат, то проекции вектора P будут выглядеть иначе. Чтобы найти их, вычислим скалярные произведения (grad,ei ), (i = 1, 2,3). (2.3) Здесь ei - единичные орты произвольной ортогональной криволинейной системы координат, определяемые равенствами (1.11). В результате для проекций вектора P получаем Pi = (grad, ei ) = (grad, ri ) = Hi 1 x y z = ++ =. (2.4) Hi x qi y qi z qi Hi qi Таким образом, выражение градиента в криволинейных координатах имеет вид 1 grad = ei.

(2.5) Нi qi i=Надо иметь в виду, что компоненты градиента, выраженные в криволинейных координатах, меняются от точки к точке не только вследствие того, что переменная величина, но еще и потому, что Hi и ei непостоянны.

§ 3. Дивергенция в криволинейных координатах Чтобы получить выражение для дивергенции в криволинейных координатах, будем исходить из ее инвариантного определения, которое запишем для элементарного объема V, содержащего точку M0:

1 Ф divP(M ) = (3.1) (P,n)d =.

V V Выберем в рассматриваемой области, где задано векторное P поле, произвольную криволинейную ортогональную систему координат с началом в точке M0. В качестве элементарного объема V Рис.3.

рассмотрим криволинейный параллелепипед, построенный на координатных линиях (рис.3). Величину V в криволинейных координатах запишем на основании формулы (1.7) V = H1H2H3q1q2q3. (3.2) Рассмотрим теперь две грани этого параллелепипеда, пер пендикулярные q1 - линии. Обозначим нормаль к правой грани n1, а нормаль к левой n2. Тогда элементарный поток поля P через правую грань, может быть записан в виде Ф23 = Pn (q1 +q1)H2(q1 +q1)H3(q1 +q1)q2q3, (3.3) а через левую Ф23 = Pn (q1)H2(q1)H3(q1)q2q3. (3.4) Суммарный поток Ф23 через обе эти грани равен 1 Ф23 = Ф23 + Ф23 = Pn H2 H3 q1 + q1 + Pn H2 H3 q1 q2q3.

[] 1 Учитывая, что Pn (q1) =- Pn (q1), (3.5) для Ф23 имеем Ф23 =[Pn H2 H3 q1 +q1 - Pn H2 H3 q1]q2q3. (3.6) 1 Пользуясь теперь формулой Тейлора df d f d f f = + + +... (3.7) 1! 2! 3! и отбрасывая малые высших порядков, находим Ф23 = (PH2H3)q1q2q3, (3.8) q1 где P1 = Pn. Далее очевидно, что Ф13 = (PHH3)q1q2q3, (3.9) q2 2 Ф12 = (PHH2)q1q2q3. (3.10) q3 3 Полный же поток через всю поверхность параллелепипеда будет равен Ф = Ф23 + Ф13 + Ф12 = = (PH2H3) + (PHH3) + (PHH2)q1q2q3.

q q2 2 1 q3 3 Подставляя это значение потока и значение V, выраженное в криволинейных координатах, в формулу (3.1) получим выражение для дивергенции в криволинейных координатах divP = (Pi H1H2H3 ).

(3.11) H1H2H3 i=1 qi Hi § 4. Ротор в криволинейных координатах Чтобы получить выражение ротора в криволинейных координатах будем, как и в предыдущем случае, исходить из инвариантного его определения, которое запишем для элементарной площадки, ограниченной контуром L, согласованно ориентированному с нормалью n к этой площадке rotn P(M ) = Pdl =.

(4.1) L Элемент криволинейной поверхности, ограниченный контуром L и образованный отрезками координатных линий qi и qj, равен ij = H H qiq. Циркуляция Г по контуру L, i j j ограничивающему площадку, запишем в виде Г = Рdl = Pll.

(4.2) L Выберем в области G, где задано векторное поле, криволинейную ортогональную систему координат с началом в точке М(рис. 13). Найдем проекцию ротора на направление q1-линии. В соответствии с формулой (4.1) Рис.4.

эта проекция равна ABCD rotq P =.

(4.3) Величина 23 согласно формуле (1.16) имеет вид 23 = H2H3q2q3. (4.4) Вычислим ГABCD. Очевидно, что ГABCD = Pldl = P2dl2 + P3dl3 + P2dl2 + P3dl3. (4.5) ABCD AB BC CD DA Так как li = Hiqi, а поле P в плоскости q1 = const двумерно, получим:

ГAB = Pdl2 = P2(q3)H2(q3)q2, AB ГBC = Pdl3 = P3(q2 + q2)H3(q2 + q2)q3, BC ГCD = Pdl2 = -P2(q3 + q3)H2(q3 + q3)q2, CD ГDA = Pdl3 = -P3(q2)H3(q2)q3.

DA Подставив эти значения в формулу (4.5) и пользуясь формулой Тейлора, получим (PH3) (PH2) 3 ГABCD =- q3. (4.6) q2 q3 q Подставляя теперь значения ГABCD и 23 в формулу (4.3), находим 1 (P3H ) (P2H ) 3 rotq P = - (4.7) H H q2 q3.

2 Далее очевидно, что 1 (P1H1) (P3H ) rotq P = - (4.8) H H1 q3 q1, 1 (P2H2 ) (P1H1) rotq P = - (4.9) H1H q1 q2.

Поэтому полное выражение для ротора в криволинейных координатах имеет вид (P3H3) (P2H2 ) rotP = - + (4.10) H2H3 q2 q3 e 1 (P1H1) (P3H3) 1 (P2H2) (P1H1) + - + H3H1 q3 q1 e2 H1H2 q1 q2 e3.

§ 5. Оператор Лапласа в криволинейных координатах Чтобы получить выражение оператора Лапласа в криволинейных координатах воспользуемся формулой = div grad. (5.1) Полагая в формуле (3.11) Pi =, (5.2) Hi qi получаем H1H2H.

= (5.3) H1H H3 i=1 qi qi Hi Отсюда ясно, что оператор Лапласа в криволинейных координатах имеет вид 1 H1H H.

= (5.4) H1H H3 i=1 qi qi Hi § 6. Цилиндрическая система координат.

Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в цилиндрических координатах Цилиндрическая система координат определяется следующим образом:

y x = r cos, y = r sin z = z, r = x2 + y2, tg = x (6.1) (0 r, 0 2, - z ).

Используя формулы (1.10), (1.14), (1.16) и (1.17) находим Hr = 1, H = r, Hz = 1, dl2 = dr2 + r2d + dz2, d = rddz, d = drdz, d = rdrd, dV = rdrddz r z С помощью формул (1.11) найдем выражения единичных ортов цилиндрической системы координат через орты декартовой системы er = i cos + j sin, e = -i sin + j cos, (6.3) ez = k.

Нетрудно получить и обратную связь i = er cos - e sin, j = er sin + e cos, (6.4) k = ez.

Воспользовавшись формулами (2.5), (3.11), (4.7-4.9) и (5.3), найдем выражения для компонентов градиента, дивергенции, компонентов ротора и лапласиана в цилиндрических координатах:

gradr =, grad =, gradz =, r r z P Pz 1 (rPr ) divP = + +, r r r z (rP ) 1 Pz P Pr Pz 1 Pr rotr P = -, rot P = -, rotz P =, r z z r r r r r 1 1 2 2 = + +.

r r r2 z§ 7. Сферическая система координат.

Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в сферических координатах Сферическая система координат определяется следующим образом:

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos (7.1) (0 r, 0, 0 2 ).

Используя формулы (1.10), (1.14), (1.16) и (1.17) находим Hr = 1, H = r, H = r sin, 2 dl2 = dr2 + r2d + r2 sin2 d, (7.2) d = r2 sin d d, d = r sin drd, d = rdrd r dV = r2 sin drd d.

Единичные орты сферической системы координат er = i sin cos + jsin sin + k cos, e = i cos cos + jcos sin - k sin, (7.3) e = -i sin + jcos.

Компоненты градиента в сферических координатах 1 gradr =, grad =, grad =. (7.4) r r rsin Дивергенция в сферических координатах P 1 (r Pr )+ 1 (P sin ) divP = +. (7.5) r r r sin r sin Ротор в сферических координатах (P sin) 1 P rotr P =, r sin ) 1 1 Pr (rP rot P = sin -, (7.6) r r (rP ) Pr rot P =.

r r Лапласиан в сферических координата sin r r 1 1 1 2 = + + =.

r2 r sin sin(7.7) § 8. Скорость и ускорение в сферических координатах В качестве примера использования сферических координат получим выражения для скорости и ускорения материальной точки.

Скорость, по определению, есть производная радиуса-вектора по времени. Запишем выражение для радиуса-вектора в сферических координатах r t = ix + jy + kz = ( ) (7.9) = i r sin cos + j r sin sin + k r cos.

( ) Тогда для скорости t имеем:

t = r = i r sin cos + i r cos cos - i r sin sin + ( ) + jr sin sin + jr cos sin + i r sin cos + (7.10) + krcos - k rsin = rer + r e + r sine.

Учитывая, что проекции единичных ортов на оси декартовой системы координат так же являются функциями времени, найдем их производные:

er = i cos cos + j cos sin - k sin + sin -i sin + j cos = () ( ) = e + sine, e =- i sin cos + j sin sin + k cos + cos -i sin + j cos = () ( ) =- er + cose, e =- i cos + j sin =- siner - cose.

() siner = i sin2 cos + j sin2 sin + k cos sin += i cos + j sin cose = i cos2 cos + j cos2 sin - k cos sin С учетом этих значений будем искать выражение ускорения в сферических координатах. Ускорение, по определению, есть производная скорости. Поэтому a = rer + rer + r e + r e + r e + r sine + r sine +r cose + r sine.

Подставляя сюда значения производных единичных ортов и группируя члены находим, компоненты ускорения в сферических координатах ar = r r 2 +2 sin2, () 1 d a = 2r + r - r2 sin cos = r2 - r2 sin cos, ( ) r dt (7.11) 1 d a = 2r sin + 2r cos + r sin = r2 sin2.

() r sin dt











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.