WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 44 |

Пусть p : X X A – естественная проекция. Отображение F1 обла/ – дает следующим свойством: F1 (A) = A. Поэтому существует (единственное) отображение q : X A A, для которого F1 = q p. Для дока/ зательства гомотопической эквивалентности пространств X и X A доста/ точно проверить, что q p idX и p q idX/A. Гомотопия Ft по построению связывает отображения F1 = q p и F0 = idX. А так как Ft (A) A при всех t, то p Ft = qt p, где qt – некоторая гомотопия, связывающая – отображения q0 = idX/A и q1 = p q.

Последовательные переходы от 1-мерного комплекса X к 1-мерному комплексу X A приводят в конце концов к 1-мерному комплексу, у кото/ рого нет рёбер с несовпадающими концами. Такой комплекс представляет собой букет окружностей.

Нетрудно убедиться, что связный 1-мерный комплекс, содержащий nвершин и n1 рёбер, гомотопически эквивалентен букету n1 - n0 + окружностей. Чтобы доказать это, построим максимальное дерево, т. е.

стягиваемый подкомплекс, содержащий все вершины. Фиксируем для этого некоторую вершину P0 и рассмотрим множества Sn, n = 1, 2,..., состоящие из тех вершин, для которых самый короткий путь до Pпроходит ровно через n рёбер. Соединим каждую вершину из множества 44 Глава I. Графы Sn+1 с одной из тех вершин множества Sn, с которыми она соединена ребром (рис. 22). В результате получим максимальное дерево. Оно содержит n0 - 1 рёбер, которые можно последовательно стянуть. После этого получится 1-мерный комплекс с одной вершиной и n1 - n0 + рёбрами, т. е. букет n1 - n0 + 1 окружностей.

Важной характеристикой линейно связного топологического пространства X с отмеченной точкой x0 является его фундаментальная группа 1 (X, x0). Элементами фундаментальной группы служат классы гомотопных петель в X с началом x0, т. е. отображений f : I X отрезка I = [0, 1], для которых f(0) = f(1) = x0. Структура группы на множестве 1 (X, x0) вводится следующим образом. Положим f1 (2t) при 0 t 1 2, / f1 f2(t) = f2 (2t - 1) при 1 2 t 1.

/ Иными словами, за первую половину пути мы с удвоенной скоростью проходим петлю f1, а за вторую половину пути мы с удвоенной скоростью проходим петлю f2.

Единичным элементом фундаментальной группы служит класс, содержащий постоянное отображение f : I x0. Для класса, содержащего петлю f(t), обратным является класс, содержащий петлю g(t) = f(1 - t).

В самом деле, гомотопия при 0 t s 2, / x f(2t - s) при s/2 t 1/2, Fs (t) = f(2 - 2t - s) при 1 2 t 1 - s 2, / / x0 при 1 - s 2 t / (рис. 23) связывает отображения F0 = fg и F1 : I x0.

Рис. 22. Максимальное дерево § 2. Гомотопические свойства графов Рис. 23. Обратный элемент Рис. 24. Ассоциативфундаментальной группы ность умножения С помощью рис. 24 несложно построить гомотопию, связывающую отображения f1 (f2 f3) и (f1 f2) f3.

Пусть – путь в X с началом x1 и концом x2; f – петля с началом – – и концом в точке x1. Тогда -1 f – петля с началом и концом в точке x2.

– Легко проверить, что отображение f -1 f индуцирует изоморфизм группы 1 (X, x1) на группу 1(X, x2). Пути и индуцируют один и тот же изоморфизм тогда и только тогда, когда класс петли -1 принадлежит центру группы 1 (X, x1). В самом деле, петли -1 f и -1 f гомотопны тогда и только тогда, когда петли f(-1) и (-1) f гомотопны.

Линейно связное пространство X называют односвязным, если 1 (X, x0) = 0 для некоторой точки x0 X; в таком случае 1 (X, x1) = для любой точки x1 X.

Непрерывное отображение f : X Y естественным образом индуцирует гомоморфизм f : 1 (X, x0) 1 (Y, y0), где y0 = f(x0). При этом гомоморфизме класс, содержащий петлю (t), переходит в класс, содер жащий петлю f((t)). Ясно, что (fg) = f g.

Т е о р е м а 2.2. Пусть ft – гомо– топия, связывающая отображения f0, f1 : X Y. Тогда гомоморфизм (f1) : 1 (X, x0) 1 (Y, f1(x0)) совпа дает с композицией гомоморфизма (f0) : 1 (X, x0) 1 (Y, f0 (x0)) и изоморфизма 1 (Y, f0(x0)) 1 (Y, f1 (x0)), индуцированного путём (t) = ft (x0), соединяющим точки f0 (x0) и f1 (x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h – – Рис. 25. Гомотопия некоторая петля в X с началом и концом в точке x0. Требуется доказать, что петли f1 (h(t)) и -1 f0 (h(t)) гомотопны. Рассмотрим отображение F : I I Y, заданное формулой 46 Глава I. Графы F(s, t) = fs (h(t)). Семейство путей, один из которых изображён на рис. 25, представляет собой гомотопию, связывающую петли f1h и -1 (f0h).

Т е о р е м а 2.3. Фундаментальные группы гомотопически эквивалентных линейно связных топологических пространств изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что линейно связные топологические пространства X и Y гомотопически эквивалентны. Тогда существуют отображения f : X Y и g : Y X, для которых fg idY и gf idX. Согласно теореме 2.2 гомоморфизмы g f : 1 (X, x0) 1 (X, gf(x0)) и f g : 1 (Y, y0) 1 (Y, fg(y0)) являются композициями тождественного отображения и изоморфизма, т. е. изоморфизмами.

Рассмотрим гомоморфизмы ( ( f1) g f2) 1 (X, x0) - 1 (Y, f(x0)) - 1(X, gf(x0)) - 1(Y, fgf(x0)).

( ( (Здесь f1) и f2) – гомоморфизмы фундаментальных групп с разными – отмеченными точками, индуцированные одним и тем же отображением f.) ( Гомоморфизм g f1) – изоморфизм, поэтому g – эпиморфизм. Гомомор– – ( физм f2) g – изоморфизм, поэтому g – мономорфизм. В итоге получа– – ем, что g – изоморфизм.

– Из теорем 2.1 и 2.3 следует, что фундаментальная группа связного 1-мерного комплекса изоморфна фундаментальной группе некоторого букета окружностей. А именно, фундаментальная группа связного 1-мерного комплекса, содержащего n0 вершин и n1 рёбер, изоморфна фундаментальной группе букета n1 - n0 + 1 окружностей.



2.2. Накрытия 1-мерных комплексов Пусть X и X – линейно связные топологические пространства (напри– мер, связные 1-мерные комплексы). Отображение p : X X называют накрытием, если p(X) = X и у каждой точки x X есть такая окрестность U, что прообраз p-1 (U) этой окрестности гомеоморфен U D, где D – дискретное множество, причём ограничение отображения p – на p-1 (U) устроено как естественная проекция U D U (рис. 26).

При этом X называют накрывающим пространством, а X – базой – накрытия. Если дискретное множество D состоит ровно из n точек, то говорят, что накрытие n-листно. Прообраз точки x0 X называют слоем над точкой x0. Слой n-листного накрытия состоит ровно из n точек.

З а д а ч а 2.3. а) Пусть Kn полный граф с n вершинами, p : Kn — G – некоторое накрытие. Докажите, что число листов этого накрытия – нечётно.

§ 2. Гомотопические свойства графов R Рис. 28. Незамкнутое Рис. 26. Накры- Рис. 27. Экспоненциальподнятие замкнутого тие 1-мерного ное накрытие окружнопути комплекса сти б) Докажите, что существует накрытие p : Kn G с любым нечётным числом листов.

В этой главе мы будем рассматривать только накрытия 1-мерных комплексов.

Прямую R можно рассматривать как 1-мерный комплекс с вершинами в точках с целочисленными координатами. Отображение exp: R S1, переводящее точку t R в точку exp(2it) S1, является накрытием (рис. 27).

Назовем поднятием пути (t) X такой путь X, что p( (t)) = (t) = (t) при всех t. Если x0 – начало пути (t), а x p-1 (x0), то существу– ет единственное поднятие пути (t) с началом в точке x. Пример отображения exp показывает, что поднятие замкнутого пути не обязательно будет замкнутым путём (рис. 28). Накрытие p : X X индуцирует го моморфизм p : 1 (X, x ) 1 (X, x0), где x0 = p(x ). Класс петли (t) 0 X с началом в точке x0 принадлежит подгруппе p1 (X, x ) 1 (X, x0) тогда и только тогда, когда поднятие этой петли с началом в точке x замкнуто. Если рассмотреть другую точку x из прообраза точки x0, то груп пы G0 = p1 (X, x ) и G1 = p1 (X, x ) не обязательно будут совпадать.

0 В самом деле, G1 = -1G0, где – проекция пути в X, соединяющего – точки x и x. Совпадение групп G0 и G1 эквивалентно тому, что подня0 тие петли с началом в точке x замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто поднятие этой петли с началом в точке x. Ясно также, что для петли с началом и концом в точке x0 любое её поднятие соединяет некоторые точки прообраза точки x0. Поэтому для любой петли с нача48 Глава I. Графы лом x0 её поднятия, начинающиеся в разных точках прообраза точки x0, одновременно замкнуты или одновременно незамкнуты лишь в том случае, когда -1G0 = G0 для всех 1 (X, x0), т. е.

p1 (X, x ) – нормальная подгруппа в 1 (X, x0).

0 – В таком случае накрытие p называют регулярным. Пример нерегулярного накрытия изображён на рис. 29. По-другому то же самое накрытие изображено на рис. 30.

Изучим теперь более подробно гомоморфизм p : 1 (X, x ) 1 (X, x0). Прежде всего покажем, что p – мономорфизм. Для этого нужно прове– рить, что если петли 0 и 1 с началом в точке x проецируются в гомотопные петли 0 и 1, то петли Рис. 29. Нерегуляр0 и 1 тоже гомотопны. Пусть s (t) – гомотопия, – ное накрытие соединяющая петли 0 и 1. Тогда при фиксированном t = t0 получаем путь (s, t0) = s (t0), соединяющий точки 0 (t0) и 1 (t0). Рассмотрим его поднятие (s, t0) с началом в точке 0 (t0) (рис. 31).

Рис. 30. Другое изображение нерегулярного накрытия Концы путей (s, t) образуют путь, проецирующийся в 1, причём началом (и концом) пути служит точка x. Поэтому совпадает с 1, а значит, s (t) = (s, t) – гомотопия, соединяющая петли 0 и 1.

– Для подгруппы H = p1 (X, x ) 1 (X, x0) = = G можно рассмотреть правые смежные классы Hgi, gi G. Смежные классы Hg1 и Hg2 сов - падают, если g1 g2 H, и не пересекаются, если -g1 g2 H. Между множеством правых смежных классов Hgi и точками p-1 (x0) существует есте ственное взаимно однозначное соответствие. При построении этого соответствия мы воспользуем ся тем, что среди точек p-1 (x0) есть выделенная точка, а именно, точка x. Сопоставим петле Рис. 31. Поднятие в X с началом x0 конец поднятия этой петли гомотопии с началом x. В результате получим отображение G p-1 (x0). Покажем, что это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между правыми смежными классами и точками § 2. Гомотопические свойства графов множества p-1 (x0). Пусть 1 и 2 – поднятия с началом x петель 1 и 2.

– Конец пути 1 совпадает с концом пути 2 тогда и только тогда, когда 12 – замкнутый путь с началом x0, т. е. 12 H. Остаётся заметить, -1 – -что рассматриваемое отображение G p-1 (x0) является отображением на всё множество p-1 (x0). В самом деле, в точку x p-1 (x0) отобра жается элемент группы 1 (X, x0), соответствующий проекции пути в X с началом x и концом x ; проекция этого пути является петлей в X 0 с началом x0. Итак, доказано следующее утверждение.

Т е о р е м а 2.4. Если p : X X – накрытие и p(x ) = x0, то су– ществует взаимно однозначное соответствие между множе ством смежных классов 1 (X, x0) p1 (X, x ) и слоем p-1(x0).

/ В общем случае множество смежных классов не имеет естественной структуры группы. Например, если однозначно определено произведение классов Hg и Hg-1, то для всех g G должно выполняться равенство HgHg-1 = H, т. е. gHg-1 = H. Это означает, что H – нормальная под– группа в G, т. е. p – регулярное накрытие. Ясно также, что если H – – – нормальная подгруппа, то Hg1Hg2 = Hg1 g2, так как g1H = Hg1.





Итак, если накрытие p регулярное, то множество G H, находяще/ еся во взаимно однозначном соответствии с множеством p-1 (x0), имеет естественную структуру группы. В таком случае, фиксировав точку x p-1 (x0), множество p-1 (x0) тоже можно снабдить структурой группы. Эта группа допускает более геометрическое описание, чем фактор группа 1 (X, x0) p1 (X, x ). Дело в том, что для регулярных накрытий / в соответствие G H p-1(x0) можно вставить промежуточную груп/ пу Aut(p):

G H Aut(p) p-1(x0).

/ Здесь Aut(p) – группа автоморфизмов накрытия p, которую мы сей– час определим.

Гомеоморфизм f : X X называют автоморфизмом накрытия p : X X, если p(f(x)) = p(x) для всех x X. Если y = f(x), то p() = = p(f(x)) = p(x), поэтому автоморфизм накрытия переставляет точки каждого слоя.

Т е о р е м а 2.5. Любой автоморфизм накрытия полностью задаётся образом одной точки при этом автоморфизме.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для накрытия p : X X су ществует не более одного автоморфизма f : X X, переводящего точку x X в заданную точку x X. Пусть y X – произвольная точка. Рас0 1 0 – смотрим путь 0, соединяющий точки x и y. Пусть = p0 – проекция – 0 пути 0, а 1 – поднятие пути с началом в точке x. Тогда автомор – физм f переводит путь 0 в путь 1, а значит, f(y ) = y. Таким образом, 0 50 Глава I. Графы автоморфизм f определён однозначно. Ясно также, что автоморфизм f, переводящий точку x в точку x, существует тогда и только тогда, когда 0 точка 1 однозначно определяется точкой y, т. е. поднятие с началом в точке x проекции любого замкнутого пути с началом в точке x тоже 1 будет замкнуто.

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что любой автоморфизм накрытия, изображённого на рис. 29, тождествен.

Т е о р е м а 2.6. а) Накрытие p : X X регулярно тогда и только тогда, когда группа Aut(p) транзитивно действует на слое p-1 (x0), т. е. переводит любой элемент слоя в любой другой элемент того же слоя.

б) Для регулярного накрытия p : X X группа Aut(p) изоморф на 1 (X, x0) p1 (X, x ).

/ Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть накрытие p регулярно и x, x 1 p-1 (x0). Построим автоморфизм g Aut(p), переводящий x в x.

1 Пусть y X – произвольная точка; 1 – произвольный путь из x в y ;

– 1 – 1 = p – проекция пути ; 2 – поднятие пути с началом в точ – – ке x. Положим g(1) = y, где y – конец пути 2. Отображение g 2 2 2 – определено корректно, т. е. 2 не зависит от выбора пути 1. В са мом деле, из регулярности накрытия p следует, что если путь замкнут, то любое поднятие пути p(11) тоже является замкнутым путём.

Предположим теперь, что группа Aut(p) транзитивно действует на слое p-1 (x0). Пусть – замкнутый путь с началом и концом в точке – x p-1 (x0) и g – автоморфизм, переводящий x в x. Тогда g – – – 1 1 поднятие пути p с началом в точке x. Ясно, что путь g замкнут.

б) Пусть – петля в X с началом и концом x0, [] 1 (X, x0) – – – класс гомотопных петель, содержащий петлю. Сопоставим классу [] следующий автоморфизм g накрытия p. Пусть x p-1 (x0) – фикси– рованная точка слоя, y X – произвольная точка. Соединим x и y 0 – 0 путём и рассмотрим путь = p. Положим g (0) = 1, где 1 – конец – поднятия пути с началом x.

Ядром гомоморфизма 1 (X, x0) Aut(p) служит подгруппа 1 (X, x ).

Этот гомоморфизм эпиморфен. В самом деле, для любой точки x i p-1 (x0) можно рассмотреть петлю i, являющуюся проекцией пути из x в x. Петле i соответствует автоморфизм, переводящий x в x.

0 i 0 i Но автоморфизм накрытия, переводящий x в x, единствен.

0 i С л е д с т в и е 1. Если p : X X накрытие и 1 (X) = 0, то Aut(p) 1 (X).

= С л е д с т в и е 2. Если p : X X – регулярное накрытие и A = – = Aut(p), то X = X A и накрытие имеет вид p : X X A.

/ / § 2. Гомотопические свойства графов З а д а ч а 2.4. Докажите, что отображение f : S1 S1 гомотопно нулю тогда и только тогда, когда f можно представить в виде f = f1 f2, где f1 : R S1 и f2 : S1 R.

2.3. Накрытия и фундаментальная группа С помощью накрытий можно вычислить фундаментальную группу любого 1-мерного комплекса. Начнем с вычисления фундаментальной группы окружности S1.

Т е о р е м а 2.7. 1 (S1) = Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим экспоненциальное накрытие p : R S1, переводящее точку t R в точку exp(it) S1. Накрывающее пространство R стягиваемо, поэтому 1 (R) = 0. Из следствия 1 теоремы 2.6 получаем, что группа 1 (S1) изоморфна группе автоморфизмов накрытия p.

Любой автоморфизм g Aut(p) однозначно задаётся своим действием на элемент 0 R. Ясно, что g(0) = 2ng, где ng Z. При этом g(t) = t + 2ng, а значит, hg(t) = t + 2(nh + ng). Таким образом, Aut(p) Z. Целому числу n соответствует автоморфизм t t + 2n, = а этому автоморфизму соответствует петля, обходящая n раз окружность S1.

Мы уже доказывали, что фундаментальная группа связного 1-мерного комплекса изоморфна фундаментальной группе некоторого букета окружностей (см. с. 46). Поэтому остаётся вычислить фундаментальную группу букета окружностей. Напомним, что свободной группой ранга n называют группу Fn с образующими a1,..., an, между которыми нет никаких со1 k отношений, т. е. в группе Fn любое несократимое слово вида a... a, где i1 ik l = ±1, представляет элемент, отличный от единичного элемента (несократимость означает, что слово не содержит участков вида aa-).

i i Т е о р е м а 2.8. Фундаментальная группа букета n окружностей изоморфна свободной группе с n образующими.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 44 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.