WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 23 М. А. Шубин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 517.91/.93 ББК 22.161 Ш95 Аннотация Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных автором в Красноярской краевой летней школе по естественным наукам школьникам, окончившим 10-й класс. В ней кратко объясняются основные понятия математического анализа (производная и интеграл) и даются простейшие приложения к физическим задачам, основанные на составлении и решении дифференциальных уравнений.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

Издание осуществлено при поддержке Московского комитета образования и Московской городской Думы.

ISBN 5-94057-075-5 © М. А. Шубин, 2003.

© МЦНМО, 2003.

Михаил Александрович Шубин.

Математический анализ для решения физических задач.

(Серия: <Библиотека,,Математическое просвещение“>).

М.: МЦНМО, 2003. — 40 с.: ил.

Редактор А. А. Ермаченко. Техн. редактор М. Ю. Панов.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 6/II 2003 года.

1 Формат бумаги 6088 /. Бумага офсетная№1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 2,50.

16 Усл. печ. л. 2,44. Уч.-изд. л. 2,31. Тираж 5000 экз. Заказ 471.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

ПРЕДИСЛОВИЕ Математический анализ в виде дифференциального и интегрального исчислений был создан в XVII веке как инструмент естествознания. Его ошеломляющая эффективность стала очевидна сразу, и с тех пор он прочно вошёл в арсенал учёных и инженеров. Поэтому раннее и быстрое знакомство с этим предметом чрезвычайно полезно для школьников, а также студентов всех специальностей. При этом он должен с самого начала излагаться в связи с его приложениями в физике и других естественных науках.

Ради быстрого знакомства можно обойтись без обязательной математической строгости, которая может быть добавлена позже, когда основные идеи уже ясны. В этой брошюре сделана попытка подобного изложения. Мне хотелось сделать изложение максимально кратким и, в то же время, показать реальные приложения. Образцом для меня служила книга Я. Б. Зельдовича <Высшая математика для начинающих> (М., 1960)*). Однако эта книга всё-таки требует значительного времени для изучения. Чтобы ещё больше сократить путь к приложениям, я использовал знания по математическому анализу, которые должны иметь школьники после окончания 10-го класса.

В сущности, предмет, о котором идёт речь, — это простейшие дифференциальные уравнения, возникающие в прикладных задачах. Быть может, читателям небезынтересно узнать, что основное открытие И. Ньютона, которое он счёл нужным засекретить и опубликовал в виде анаграммы, состоит в следующем: <Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями>**). Яркий пример применения дифференциальных уравнений — открытие Нептуна, сделанное в 1846 г. Дж. Адамсом и У. Леверье на основе независимо проведённых расчётов с использованием наблюдавшейся аномалии в движении Урана — последней известной тогда планеты. Мне хотелось, чтобы школьник, активно интересующийся математикой, обратил внимание на важность дифференциальных уравнений в самом начале своих серьёзных занятий.

Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных мной в Красноярских краевых летних школах по естественным наукам для школьников, окончивших 10-й класс. Впервые эти лекции были опубликованы в книге <На стыке всех наук. Научно-методические материалы летней школы> (изд-во Красноярского ун-та, 1989, сс. 124—177). Я с большим удовольствием вспоминаю замечательную атмосферу Красноярских школ и чрезвычайно благодарен их *) См. также последующие издания этой книги или книгу Я. Б. Зельдовича и И. М. Яглома <Высшая математика для начинающих физиков и техников> (М., 1982).

**) Цит. по: В. И. А р н о л ь д. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М., 1984.

организаторам за предоставленную мне возможность там работать.

Я весьма благодарен также сотрудникам издательства МЦНМО за их доброжелательность и эффективность.

О РЕШЕНИИ ПРИВЕДЁННЫХ В ТЕКСТЕ ЗАДАЧ Решение задач необходимо для освоения материала этой брошюры. Но следует иметь в виду, что основные из приведённых здесь задач не являются полностью математическими. Точнее, речь идёт о задачах на составление и решение дифференциальных уравнений, включая доведение задачи до числового ответа, что важно в приложениях.

При решении этих задач желательно соблюдать следующую последовательность действий:

1-й этап — составление дифференциального уравнения с буквенными данными;

2-й этап — решение соответствующего дифференциального уравнения и получение буквенного ответа, анализ этого ответа;

3-й этап — получение численного ответа (подстановка чисел в формулы, полученные на втором этапе).

Первый этап состоит в нахождении математического описания явления на языке дифференциальных уравнений. Этот этап не относится к чистой математике, но он, по всей видимости, является самым важным и наиболее трудным.

На втором этапе применяют математический анализ для решения полученных дифференциальных уравнений. Использование на первых двух этапах числовых данных задачи может оказаться громоздким и вредным для последующего анализа. Если буквенных обозначений всех или некоторых величин в задаче нет, то следует их ввести. Анализ полученного в буквах ответа должен убедить вас в правильности составленного уравнения (нужно анализировать физические следствия полученных формул и их предельные случаи, чтобы понять, соответствует ли ответ здравому смыслу и физической реальности).



На третьем этапе подставляют числа в формулы, не забывая о единицах. Иногда целесообразно подставлять числа прямо с единицами, данными в задаче (указывая единицы явно), и лишь потом преобразовывать единицы (преждевременный перевод в единую систему может оказаться неэкономным, так как некоторые единицы измерения могут сократиться). Точность вычислений должна соответствовать точности данных задачи.

Примеры решений по этой схеме даны в тексте брошюры.

Не считая задач с физическим и естественно-научным содержанием, в брошюре приведено ещё несколько отдельных задач, в которых требуется приближённо вычислить некоторые величины (без микрокалькулятора). В Красноярской летней школе почти не было микрокалькуляторов, а были бумага и авторучки, так что этот способ вычислений был, по существу, вынужденным. Но им стоит владеть даже при наличии компьютеров, поскольку, во-первых, всегда полезно грубо оценить ответ с целью убедиться в правильности вычислений, сделанных с помощью вычислительного устройства, а во-вторых, такие вычисления имеют развивающую роль, позволяя лучше понятьразные закономерности, связывающие величины и функции, увидеть без вычислений порядок тех или иных величин, встречающихся в практических задачах. При наличии небольшого опыта вычисления с точностью 10% (а это типичная точность, требуемая в приведённых задачах) могут быть сделаны очень быстро — за пару минут, а при известной тренировке и за несколько секунд.

Ваши усилия будут вознаграждены тем, что после решения каждой из таких задач вы будете лучше пониматьокружающий вас мир.

§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ КАК МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Пусть какое-то тело (материальная точка) движется вдоль прямой (например, вертикальной). Обозначим через z(t) координату этого тела вдоль данной прямой в момент времени t. Начало координат на прямой можно выбрать произвольно. Средняя скорость движения на отрезке времени [t, t+t] равна vср(t, t+t)=z(t+t)-z(t) z =.

t t Здесь t — любое ненулевое действительное число. Устремляя t к 0 при фиксированном t, получим мгновенную скорость в момент времени t, которая в математике называется производной функции z по t и обозначается z (t) или просто z, если момент t произволен или ясно, о каком t идёт речь. Таким образом, производная dz z(t+t)-z(t) z z =z (t)= =lim =lim dt t0 t t0 t представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени t (отношение пути, пройденного за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка с учётом знаков).

Если z (t)<0, то в момент времени t тело двигалось в сторону уменьшения координаты z.

В дальнейшем при употреблении производной какой-либо функции z(t) подразумевается, что эта производная существует (для функций, встречающихся в физике, это выполняется, как правило, всюду, за исключением, быть может, отдельных значений t).

Для конкретных функций существование производных обычно легко устанавливается из правил дифференцирования, но мы не будем специально следить за этим, чтобы не удлинять изложение.

П р и м е р 1. Равномерное движение:

z(t)=z0+vt.

Тогда z (t)=v — постоянная величина.

П р и м е р 2. Равноускоренное движение:

atz=z0+v0t+, здесь v0 — начальная скорость, a — ускорение. В этом случае z (t)=v0+at по известным правилам дифференцирования. Напомним, что если даны две функции f(t), и постоянная a, то g(t) f f g-fg (f+g) =f +g, (af) =af, (fg) =f g+fg, = (последняя g gформула верна в случае, когда g(t)=0 в рассматриваемой точке t).

Из предпоследней формулы следует, что (t2) =2t.

При любом целом n легко доказать (например, индукцией по n), что (tn) =ntn-1. Можно доказать, что при t>0 эта формула верна и для нецелых n (об этом ещё будет идти речь ниже).

Укажем геометрический смысл производной: если нарисовать график функции z=z(t), то z (t)=tg, где —угол наклона касательной, проведённой к графику в точке (t, z(t)), к оси t (рис. 1).

Правило диффе ренцирования с ложной функц и и: если даны две функции F(z) и z(t), то для функции g(t)= =F(z(t)) производную можно найти по формуле g (t)=(F(z(t))) =F (z(t)) z (t), вытекающей из того, что F z g F(z(t)) =F (z(t)) z (t) g (t)= lim =lim =lim t0 t t0 t t0 z t (здесь использовалось, что если t0, то и z0).

Правило дифференцирования обратной функц и и. Пусть функция z=f(t) строго монотонна на отрезке [t1, t2] и имеет производную в каждой точке этого отрезка. Строгая монотонность означает, что функция f либо возz растающая (если t f(t )). Будем для определённости считать функцию f возра стающей. Тогда множество значений функt ции f на отрезке [t1, t2] представляет собой отt резок [z1, z2], где z1=f(t1), z2=f(t2) (рис. 2).

Рис. 1 При этом каждому значению z[z1, z2] отвечаz ет ровно одно значение t, такое, что zz=f(t). Обозначим его через g(z).

Тогда t=g(z) называется обратной z+z функцией к функции f. Из определеz ния ясно, что обратная функция t= z=g(z) связана с <прямой> функциt ей z=f(t) соотношениями f(g(z))=z, t1 t t+t tg(f(t))=t. Вместо отрезка [t1, t2] можРис. но рассматривать интервал (t1, t2), полуинтервалы [t1, t2), (t1, t2], полупрямые [t1, +), (-, t1] и т. п.





Дадим приращение t аргументу t и проследим за соответствующим приращением z функции f, т. е. возьмём z=f(t+t)-f(t). Тогда, наоборот, для обратной функции g её приращение, соответствующее приращению z её аргумента, равно t (см. рис. 2).

При t0 будет z0, откуда (если f (t)=0) t 1 1 1 1 g =g (z)= lim =lim =lim = = =.

z z z z0 z z0 t0 f f (t) lim t t t tТаким образом, мы получили правило дифференцирования обратной функции:

g (z)=, где z=f(t) или t=g(z).

f (t) Укажем ещё одно доказательство этого правила. Дифференцируя тождество f(g(z))=z по правилу дифференцирования сложной функции, получаем f (g(z)) g (z)=1, откуда g (z)=, что и треf (g(z)) бовалось.

П р и м е р. Если z=f(t)=t2, то t=g(z)= z (считаем, что рассматриваются значения t0, на [0, ) функция строго монотонна). Имеем:

1 1 1 g (z)= = = =.

f (t) 2t 2g(z) 2 z Итак, ( z) =. Эта формула — частный случай более общей 2 z формулы (tn) =ntn-1 (или (zn) =nzn-1), которая верна при t>(при z>0) для произвольного вещественного значения n.

Для доказательства нужно сначала рассмотреть случай n=, q где q>0, q — целое. Тогда формула выводится так же, как в случае n=1/2. Из правила (fg) =f g+fg следует, что если формула верна для n=n1 и n=n2, то она верна для n=n1+n2. Теперь p мы получаем искомую формулу для всех n=, где p, q —целые, q ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) z z z z z ) ) z z z z ) ) z z ( ( ( ) ) ) ( ( z z ( ( ) ) ( ( z z ( ( ) ) z z ( ( ) ) z z z g g g ( ( g g ) ) g g z z ) ) ( ( g g ) ) z z g g ( ) ) ( ( ) ) ) z z g g ( ( z z g g ( ( z z g g z z ( ( z z z z z g g g ( ( ( ( = g g = = ( ( = = ( ( = = g g ( ( ( = = g g = = g t t t g = = t t g g t t = = g g t t g g g g t t g = = t t = = = t t = = t t = = t t t = = t = t = = = t t = = = = t t = = = t t t t t t t t t t t ) t ( f = z y p, q>0. По непрерывности она верна при всех n>0. При n=0 формула очевидна. Если n< <0, то нужно записать tn= и восполь зоt-n ваться формулой дифференцирования дроби.

- Например, =.

t2 tx 1. Поезд прошёл некоторый путь, причём первую половину он шёл со скоростью Рис. 3 40 км/ч, а вторую со скоростью 60 км/ч.

Какова была средняя скорость поезда y 2. По графику квадратного трёхчлена y= =ax2+bx+c (рис. 3) определить знаки его коэффициентов.

3. По графику функции y=f(x) (рис. 4) нарисовать график её производной f (x).

4. Написать уравнение прямой, касательной к графику функции y=3x-x2 в точке x этого графика с абсциссой x0=2.

5. Найти наибольшее и наименьшее знаРис. 4 чения функции y=x3+6x2+9x+1 на отрезке [-3, 1].

6. Найти производные функций: а) y=(x2+1)2003; б) y=sin x2;

в) y= x2+1; г) y=ex2; д) y=eex; е) y=sin cos x; ё) y= x5+1.

7. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 1 вписать прямоугольник наибольшей площади со стороной, лежащей на гипотенузе этого треугольника. Какова эта наибольшая площадь 8. Написать формулы, задающие координаты точки, равномерно движущейся по окружности, как функции времени. Найти производные этих функций. Что характеризуют эти производные Как увидеть из полученных формул, что скорость движения направлена по касательной к окружности 9. Две среды разделены плоской границей. Луч света, идущий из точки, лежащей по одну сторону границы, в точку, лежащую по другую сторону, избирает путь, требующий наименьшего времени. Что это за путь, если скорость движения в указанных средах равна v1 и v2 соответственно*) § 2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Показательная функция — это функция z(t)=at, где a>0, a — постоянная величина. Вместо t можно обозначить аргумент *) Двумя чертами слева отмечены задачи для самостоятельного решения. Более трудные и не обязательные из них отмечены звёздочками (*).

y любой другой буквой, например, x. Будем пиy=ax сать ax, что чаще встречается в учебниках.

При a>1 функция ax строго возрастает, а при (a>1) a<1 строго убывает (рис. 5). Найдём производную функции ax. Имеем:

ax+x-ax ax -1 (ax) =lim =lim ax· = x0 x x0 x ax-=ax lim =bax, x x0 x y где b=(ax) |x=0, т. е. b — значение искомой производной при x=0. Оказывается, что есy=ax ли взять a=e=2,718281828459045..., то по(a<1) лучим b=1, и производная имеет более простой вид: (ex) =ex.

Число e, для которого верна эта формула, находим из условия ex-(ex) |x=0=1, т. е. lim =1.

x0 x x Рис. Полагая x=, где n 1 (т. е. n очень веn лико), получим ex1+x, причём точность y этой приближённой формулы тем больше, чем меньше x (или чем больше n). При целом n y=loga x n (a>1) находим e=(e1/n)n 1+, или, точнее, e= n n 1+ x =lim.

n n Логарифмическая функция y=loga x определяется при a>0, a=1, и её область опреде ления — все положительные x. Эта функция обратна к ax, т. е. условие y=ax равносильно условию x=loga y. Множество значений функy ции loga y — все вещественные числа. Граy=loga x фики функций y=loga x показаны на рис. 6.

(a<1) Наиболее проста в обращении логарифмическая функция ln x=loge x, т. е. логарифмичеx ская функция с основанием a=e.

Найдём производную функции y=ln x.

По правилу дифференцирования обратной функции 1 1 1 (ln x) = y=ln x= = = y=ln x eln x.

x (ey) ey Рис. Найдём производную показательной функции ax. Имеем: ax= =(eln a)x=ex ln a, откуда, по правилу дифференцирования сложной функции, (ax) =ln a·ex ln a=ln a·ax.

Мы нашли постоянную b, которая ранее не была определена, и оказалось, что b=ln a.

Отметим, что log10 e0,4343 и ln 10= 2,3, т. е. (10x) log10 e 2,3·10x.

Найдём производную функции y=loga x. По правилу дифференцирования обратной функции, 1 1 (loga x) = =.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.