WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ Библиотека «Математическое просвещение» Fll(Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fl(Fm(L)) F (Fm(L)) F (Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fl(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fll(Fm(L)) F (Fm(L)) F (Fm(L)) Fll(Fm(L)) Fl(Fm(L)) F (Fm(L)) L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S N S S Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm LmIm O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 1) N — S — M — I, гдеS — 5) Lm=Fm(L) —Im — S. 10) O — L — Fl(Fm(L)).

А. Г. Мякишев точка Шпикера — центр вписанной окружности серединного треугольника.

H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Gll Gll Gll Gl G G G Gll G Gll G Gll G Gll G Gll G Gll Gl G Gll G Gll G Gll Gll G G Gll G Gll Gll G G Gll Gl G ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm F O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Nll Nll Nl N N Nll Nll N N Nll N Nll N Nll N Nll N Nll Nl N Nll N Nll N Nll N Nll N Nll Nll N N Nll Nll Nl N N G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm 6) M—Gl—F, гдеF—точка I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Gll Gll Gl G G Gll Gll G G Gll G Gll G Gll Фейербаха — точка каса- 11) Hm — Lm — Om= G Gll G Gll Gl G Gll G Gll G Gll G Gll Gll G G Gll Gll G G Gll Gl G ТРЕУГОЛЬНИКА N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ния вписанной окружно- =Fm(O) —H.

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O сти и окружности девяти точек.

2) O — Gl =Fl(G) — I — Nl=Fl(N), где Fl — изогональное сопряжение.

Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Om Nll L Nll L Nl L N L N L Nll L Nll L N L N L Nll L N L Nll L N L Nll L N L Nll L N L Nll L Nl L N L Nll L N L Nll L N L Nll L N L Nll L Nll L N L N L Nll L Nll L N L N L Nll L Nl L N L Fll(Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fl(Fm(O)) F (Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fl(Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) F(Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fll(Fm(O)) F (Fm(O)) F (Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fll(Fm(O)) Fl(Fm(O)) F (Fm(O)) F (Fm(O)) O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H O H H O H O H O H O H O H O H O H O H O N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 12) Fl(Fm(O)) — L — M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 7) H — Nl — F.

Fl(Fm(H)).

Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm 3) Hm =Fm(H) — M — Fl(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) L=Fl(M), где Fm —изотоH H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H мическое сопряжение. G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E I E E I E E I E I E I E I E I E I E I E I E I E I E I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Gll M M Gll M M Gll M G M Gll M G M Gll M Gll M G M G M Gll M Gll M Gl M G M G G G Gll Gl G Gll G Gll G Gll G Gll G Gll Gll G G Gll Gll Gl G G O O O O O O O O O O O O O O O O Im O O Im O Im O O O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im O Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 13) Gl — L — Fl(Fm(I)).



8) O—M—E—H—Fl(Fm(H)) Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G (п р я м а я Э й л е р а).

Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Gc G Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Im I Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Hm N Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fll(Fm(H)) Fll(Fm(H)) F (Fm(H)) F (Fm(H)) Fl(Fm(H)) Fl(Fm(H)) F (Fm(H)) H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L I L 4) Hm — N — Im =Fm(I) — M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Im Im Im Im Im Im Im Im Im ImM ImM Im Im ImM Im ImM Im ImM Im Im ImM Im ImM Im ImM Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Im Gc=Fc(G) — G, где Fc — Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc S Lm M Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Sc Lm M Sc Lm M Sc Lm M Sc Sc Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Lm M Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc NS Nc N изоциркулярное преобраHm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm Hm зование.

Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fl(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fl(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) Fm(Fll(Fm(H))) Fm(Fl(Fm(H))) Fm(F (Fm(H))) 9) Nc=Fc(N) —Sc =Fc(S) — Im — M. 14) Fm(Fl(Fm(H)))—Lm—M.

ISBN 5 90457 048 Издательство Московского центра Обозначения точек см. на стр. 3—5 брошюры; определения изогонального и изотомического сопряжений — непрерывного математического образования на стр. 11, 12; определение изоциркулярного преобразо9 785904 570484 вания — на стр. 14—16. Москва • Pantone 282 C K )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) )) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F m m m m m m m F F m m F F m m F F m m F F m m F F F F m m F F F F F m m m m m m m m m m m m m ( ( ( ( ( m m m m ( ( ( ( m m m ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F l l l l l l l l l F F l l F F F F l l F F l l F F l l F F F F F F F l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск А. Г. Мякишев Научно- редакционный совет серии:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.

ЭЛЕМЕНТЫГЕОМЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА Серия основана в 1999 году.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования • Москва УДК 514.112.ВВЕДЕНИЕ ББК 22.151.Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто Мне обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поиРис. 1. M — центр Аннотация стине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трумасс — точка переГеометрия треугольника справедливо считается од- дом поддающиеся какой-либо систематизации, не сечения медиан треним из интереснейших разделов элементарной геометрии.

могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти бла- угольника.

В данной брошюре рассматриваются различные замегородные чувства перерастают в изумлённое разчательные точки и прямые треугольника, а также некодражение, едва ли не в протест: если уж с виду торые преобразования плоскости, свзянные с треугольнитакая «игрушечная» область геометрии настольком. Брошюра содержит краткое введение в барицентрическое исчисление — один изосновных методов исследования ко сложна, то в чём же вообще тогда можно разосвойств треугольника.





браться Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, Интересно попробовать понять, а почему тот прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мехили иной результат геометрии треугольника окамате МГУ для школьников 9—11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, ин- зывает на нас большее или меньшее воздействие.

тересующихся математикой: школьников старших класВ грубом приближении ответ на этот вопрос следуРис. 2. O — центр сов, студентов младших курсов, учителей… ющий: красивая теорема в геометрии треугольниописанной около трека связана, как правило, с замечательными точугольника окружносками, прямыми или окружностями. Но прямая ти — точка пересечеИздание осуществлено при поддержке ния серединных перили окружность замечательна, если содержит Московской городской Думы пендикуляров.

и Московского комитета образования.

какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, всё и упирается. Однако как сравнивать степень их «замечательности» между собой Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательISBN 5-94057-048-8 © Мякишев А. Г., 2002.

ными конфигурациями треугольника она взаи© МЦНМО, 2002.

модействует. Поэтому в первый ряд следует поставить, конечно, таких заслуженных ветеранов, Рис. 3. I —центрвпикак M — точку пересечения медиан (центр тяжеМякишев Алексей Геннадьевич. санной в треугольник сти), рис. 1, O — центр описанной окружности, окружности — точка Элементы геометрии треугольника.

рис. 2, I — центр вписанной окружности, рис. 3, пересечения биссек(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).

трис.

H — точку пересечения высот (ортоцентр), рис. 4.

М.: МЦНМО, 2002. —32с.: ил.

Не испортит общей картины и молодёжь: точка G Редактор Ю. Л. Притыкин.Техн. редактор М. Ю. Панов.

Жергонна (рис. 5) и точка N Нагеля (рис. 6)*).

С точками первого порядка связаны и перЛицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 16/VIII 2002 года.

воклассные результаты — теоремы о прямой ЭйФормат бумаги 60 88 /. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.

лера, окружности девяти точек. Далее, точками Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 2,10. Тираж 2000 экз. Заказ 2802.

второго порядка можно считать точки, являющиИздательство Московского центра непрерывного математического образования. еся «производными» от точек первого порядка, 119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Рис. 4. H — орто*) Молодёжь, поскольку первые четыре точки встречаются центр — точка переОтпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ». ещё у Евклида, а последние две, насколько известно, были сечения высот тре140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. открыты примерно 200 лет назад. угольника.

Рис. 5. G — точка Жергонна — точка пере- Рис. 6. N — точка Нагеля — точка пере- Рис. 10. Gl — точка, изогонально сопря- Рис. 11. Nl — точка, изогонально сопрясечения прямых, проходящих через точ- сечения прямых, проходящих через точ- жённая точке Жергонна. жённая точке Нагеля.

ки касания вписанной окружности со сто- ки касания вневписанных окружностей ронами треугольника и противолежащие со сторонами треугольника и противолет. е. полученные из них под действием какого-нибудь преобразовавершины. жащие вершины.

ния (к примеру, изотомического или изогонального сопряжения — эти преобразования мы ещё рассмотрим в дальнейшем) или как пересечение каких-нибудь замечательных линий первого порядка и т. д.

Сюда можно отнести, в первую очередь, точку L Лемуана (точку пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис, такое преобразование и называется изогональным сопряжением), рис. 7, антиортоцентр треугольника Hm (точку пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные основаниям высот относительно соответствующих середин сторон, и противолежащие вершины, это преобразование называется изотомическим сопряжением), рис. 8, точку Im пересечения антибиссектрис Рис. 7. L — точка Лемуана — точка, изогонально сопряжённая точке пересечения (изотомически сопряжённую точке пересечения биссектрис), рис. 9, медиан, т. е. точка, пересечения прямых, симметричных медианам относительно точки Gl и Nl (точки, изогонально сопряжённые точкам Жергонна и соответствующих биссектрис треугольника.

Нагеля), рис. 10 и 11. Точки третьего порядка определяются аналогично, как «производные» точек второго порядка и т. д. Понятно, что с ростом порядка количество точек стремительно растёт, впрочем, столь же стремительно проигрывая в качестве: чем больше порядок, тем геометрические связи между ними бледнее и невыразительней.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.

Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определённую точку A1 на стороне BC (или её проРис. 8. Hm —антиортоцентр —точка, Рис. 9. Im — точка пересечения антибисдолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой изотомически сопряжённая ортоцентру, сектрис — точка, изотомически сопрястороны). Затем построим а н а л о г и ч н ы е точки B1, C1 на двух т. е. точка пересечения прямых, проходя- жённая центру вписанной в треугольник других сторонах треугольника (в нашем примере — ещё две середищих через точки, симметричные основа- окружности.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.