WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Библиотека Магазин «Математическая книга» в МЦНМО «Математическое просвещение» В магазине представлен наиболее полный ассортимент книг издательства МЦНМО. Эти книги продаются по издательским ценам. Здесь также можно найти книги по математике ведущих издательств, таких как «Мир», Физматлит, УРСС, «Факториал», «Регулярная и хаотическая динамика».

А. В. Жуков В отделе школьной литературы представлен широкий ассортимент книг для школь- ОЧИСЛЕ ников, учителей, руководителей математических кружков.

В отделе вузовской и научной литературы можно найти учебники и научные монографии ведущих российских и зарубежных математиков.

В магазине также имеются отделы «книга—почтой» и букинистический.

Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Проезд до ст. м. «Смоленская» или «Кропоткинская», далее пешком (см. схему).

Телефон для справок: 241 72 85.

l Магазин работает ежедневно кроме воскресенья (летом — кроме = 2r субботы и воскресенья) с 1130 до 2000.

r l ISBN 5 94057 030 5 Издательство Московского центра непрерывного математического образования E-mail: biblio@mccme.ru 9 785940 570301 http:/ Москва • 2002 /biblio.mccme.ru/ Y K Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 18 А. В. Жуков Научно- редакционный совет серии:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.

ОЧИСЛЕ Серия основана в 1999 году.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования • Москва 2002 УДК 51(09) ВВЕДЕНИЕ ББК 22.1 Все знают, что длина окружности больше её диаметра в одно и Ж86 то же, не зависящее от самой окружности, число раз. К этому выводу можно прийти, задавшись вопросом: почему все окружности похожи друг на друга Для похожих, или, как говорят математики, Аннотация п о д о б н ы х фигур естественно предположить пропорциональность Изучение числа — задача, интересующая математиих линейных размеров. Так, для двух произвольных окружностей с ков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой бродлинами C1 и C2 идиаметрамиd1 и d2 соответственно мы вправе ожишюре излагается история вычислений числа, начиная от C1 dАрхимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными дать выполнение равенства =. По свойству пропорции отсюда алгоритмами. Рассказывается также о различных проблеC2 dмах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока C1 Cостаются нерешёнными.

получаем =. Осталось только обозначить последнее отношение d1 dБрошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором22 декабря 2001 года на Маломмехмате МГУ буквой и заключить, что длина C произвольной окружности для школьников 9—11 классов.

диаметра d может быть вычислена по формуле C = d. Конечно же, Для широкого круга читателей, интересующихся маэти рассуждения носят лишь правдоподобный характер, поскольку тематикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...

основываются на интуитивномпредставлении о длине окружности.

То, что отношение длины окружности к её диаметру постоянно, было известно ещё в глубокой древности. Первое о б о з н а ч е н и е Издание осуществлено при поддержке Московской городской Думы этого числа греческой буквой содержится в работе «Synopsis и Московского комитета образования.

Palmoriorum Matheseos» («Обозрение достижений математики») английского преподавателя Уильяма Джонса (1675—1749), вышедшей в 1706 году. Обозначение для отношения длины окружности к диаметру широко распространилось после того, как его стал испольISBN 5-94057-030-5 © Жуков А. В., 2002.

зовать в своих трудах Леонард Эйлер (1707—1783).

© МЦНМО, 2002.

ПРЕДЫСТОРИЯ ЧИСЛА Жуков Александр Владимирович.

Вычисления числа претерпели удивительную эволюцию — от Очисле.

наивных оценок древних, тысячелетия потративших для того, чтобы определить первые два знака после запятой этого числа, до миллиар(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).

М.: МЦНМО, 2002. —32с.: ил.

дов знаков, полученных в наши дни.

Из математических текстов древних вавилонян (3—2 тысячелеРедактор Е. Ю. Смирнов.Техн. редактор М. Ю. Панов.

Cтия до н. э.) вытекает такое соотношение: S =, где S —площадь Лицензия № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 11/VI 2002 года.

Формат бумаги 60 88 /16. Офсетнаябум ага№1. Офсетнаяпечать. Физ. печ. л. 2,00.

круга, а C — длина окружности. Способ, применявшийся для вывоУсл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 1,81. Тираж 3141 экз. Заказ 1988.

да этой формулы, неизвестен. Если в неё подставить выражение для Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

площади круга S = r2 и длины окружности C =2r, то из равенства 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

(2r)r2 = получимоценку для числа, которую использовали древОтпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. ние вавилоняне. Они полагали, что равно трём.

Более точное значение для числа было получено в Древнем рецептам древних умельцев и мастеров пришли строгие рассуждения Египте. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетско- математиков.

го папируса, который известен как «папирус Ринда» (или Райнда), по Идеи Антифона и Бризона имени Генри Ринда — мецената, приобрётшего папирус в 1858 году (в год его обнаружения). Эту древнюю рукопись относят к периоду Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из пермежду 2000 и 1700 годами до н. э.



вых предпринял философ Антифон, живший в Греции в V в. до н. э.

В папирусе Ринда приводятся решения различных практических В «Истории геометрии» Евдема (IV в. до н. э.) так описывается его задач. Тамможно прочитать «наставление, как вычислить круглый способ определения длины окружности:

хлебный амбар», имеющий форму цилиндра с диаметром основания «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоуголь9 локтей (локоть — старинная мера длины, немногим менее 0,5 м).

ник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он Для вычисления площади основания предлагается такой рецепт:

разделил каждую сторону квадрата пополами через точки деления провёл прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с «От 9 отними, т. е. 1. Получится8. Ум ножь8на8. См отри: это64.

окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные Ты правильно нашёл».

части (рис. 1). Затем он соединил полученные точки с концами Здесь сформулировано такое правило для определения площади сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся круга. Эта площадь S равна площади квадрата, сторона которого равобразовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…».

1 на диаметру круга d, уменьшённому на своей длины, т. е. S = d, Продолжая этот процесс дальше, Антифон по9 лучает 16-угольник, 32-угольник, 64-угольник изначит, = 3,1604… Из каких соображений получена эта формула и т. д. «Поступает он так, пока не исчерпает весь Неизвестно.

круг, — пишет Евдем. — И Антифон заключает, Неизвестно также происхождение множества других содержачто такимобразомбудет вписан многоугольник, щихся в древних источниках математических «рецептов».

периметр которого можно рассматривать как Среди примечательных результатов предыстории числа отдлину окружности».

метим довольно грубое приближение 3, которым пользовался Подход Антифона к определению длины окружности вызвал жаркие споры среди учёных известный римский архитектор Витрувий (живший в I в. до н. э.) Рис. Древней Греции. Симпликий (VI в. н. э.) в ком(ему приходилось проектировать сооружения внушительных разментариях к «Истории геометрии» Евдема пимеров, например, знаменитый Римский театр, и надо полагать, что сал по этому поводу, что «мы никогда не достигнем окружности круиспользуемое им грубое значение для приводило к недочётам в га, даже если бы деление продолжалось до бесконечности». Что же строительстве), и выдающийся результат китайского математика смутило Симпликия и его единомышленников и астронома Цзу Чунчжи (V в. н. э.), дающий сем ь точных 113 Интуитивное понятие предела, на которомоснована конструкция десятичных знаков числа. Антифона, чревата хитроумными ловушками, о чём свидетельствует следующий древний софизм (неверное утверждение, производящее впечатление правильного):

ЭРА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ «Теорема». В любом треугольнике одна из сторон равна сумме Найти одно научное доказательство для меня двух других.

важнее, чем овладеть всем персидским царством.

«Д о к а з а т е л ь с т в о». Пусть в рассматриваемом треугольнике Демокрит ABC точки D, E, F — середины сторон (рис. 2). По свойству средних Цивилизация древних эллинов подарила миру один из самых 1 линий треугольника DF = BC и EF = AB, так что длина ломаной значительных подарков в истории человечества — доказательную ма2 тематику. На смену неизвестно откуда взявшимся вычислительным ADFEC равна сумме длин сторон AB и AC. Если далее взять середины 4 G, H, I, J сторон двух новых треугольников ADF и FEC, тоточнотак ничего не остаётся делать, как совпасть с указанными пределами:

же можно показать, что длина ломаной AGKHFILJC равна длине A = C = B. Современные методы анализа позволяют дать этим рассуломаной ADFEC и, следовательно, равна сумме длин сторон AB и AC. ждениямстрогое обоснование (см. Приложение, с. 29).

Такой процесс измельчения ломаной можно продолжать сколь угодно Ну а коль скоро идея верна, то можно принять следующее опредолго, но на каждомшаге этого процесса длина всех последовательно деление длины окружности:

образованных ломаных равна AB + BC. Дли- Длиной окружности называется предел периметров правильных A на отрезков, составляющих ломаные линии, вписанных в окружность многоугольников при неограниченном постоянно уменьшается, их концы всё более возрастании количества их сторон.

K G и более прижимаются к основанию AC, и Или такое:

в пределе периметр ломаных сливается с Длиной окружности называется предел периметров правильных F D отрезком AC. Следовательно, AB + BC = AC. описанных около окружности многоугольников при неограниченH Итак, кажущиеся интуитивно ясными номвозрастании количества их сторон.

L I выводы о результатах бесконечного процесса могут отстоять от истины довольно далеко.

«Измерение круга» Архимеда Действительно ли стремится к пределу BE J C последовательность периметров вписанных в Рис. Дробь часто называют «архимедовым числом». Здесь имеется окружность правильных многоугольников А если стремится, то где гарантия того, что этот предел непременно давняя традиция. Например, из знаменитой «Арифметики» (1703) совпадёт с длиной окружности Не случится ли так, что периметры Леонтия Магницкого (1669—1739), сыгравшей исключительную многоугольников стремятся к какому-то пределу, а длина окружносроль в становлении точного знания в России, мы узнаём, что «в колёти при этом останется чем-то недосягаемым сах же пропорция архимедова диаметра ко окружности как 7 к 22».





Корректные ответы на эти вопросы были даны сравнительно Многие ошибочно полагают, будто заслуга Архимеда состоит недавно, когда появились строгие методы математического анализа лишь в обнаружении приближённого равенства. На сам ом (XVII—XVIII вв.). Удивительно, что за несколько тысячелетий до этого, на самой заре становления точного знания, деле Архимеду удалось не только найти это довольно хорошее учёные уже пытались «нащупывать» приёмы, приближение для числа, но и, что гораздо важнее, определить обуздывающие норов коварной бесконечности.

точность этого приближения, т. е. указать узкий промежуток чиОдну из плодотворных идей в этомнаправлесловой оси, которому принадлежит отношение длины окружности к нии высказал пифагореец Бризон (V в. до н. э.).

её диаметру. В работе «Измерение круга», чудом дошедшей до нас Он предложил для нахождения длины окружблагодаря стараниям многочисленных переписчиков, Архимед доности не только вписывать в круг (по способу казывает цепочку неравенств, которая в современных обозначениях Антифона), но и описывать около него соответвыглядит так:

Рис. ствующие правильные многоугольники (рис. 3).

10 6336 Длина окружности всегда будет заключена меж- 3 31, 71 1 1 2017 ду периметрами вписанного и описанного многоугольников и может 4 быть установлена темточнее, чембольше сторон у этих многоугольников. или 3,1409096… 3,1428265… Свои выводы Архимед формулиЕсли периметры вписанных многоугольников стремятся к вели- рует в виде теоремы:

чине A, а периметры описанных многоугольников — к величине B, то «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытдлина окружности C должна находиться между этими двумя числа- ком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше ми: A C B. Если вдруг окажется, что A = B, то длине окружности C десяти семьдесят первых» ([1], с. 185—191).

6 22 Как видим, «архимедово число» приближает число сизбыт- а затем преобразовать его к обыкновенной дроби, то получим.

7 ком, и точность такого приближения равна 0,002. Архимед нашёл Если же оборвать цепочку на 12-м звене, то получим. Удивитри точных знака числа : = 3,14… Именно эти три знака чаще всего тельное совпадение! используются нами в несложных повседневных расчётах.

Архимед достоин восхищения ещё и потому, что свои высокоточСделать точные выводы Архимеду помогли вписанные и опиные расчёты с дробями, а также выкладки по извлечению квадратных санные многоугольники. Отправляясь от вписанного в заданную корней из больших чисел, он проводил в неудобной с точки зрения соокружность и описанного около неё правильных шестиугольников, временного человека системе нумерации. Каким способом пользовалАрхимед затем исследует правильные 12-угольники, 24-угольники, ся Архимед для приближённого извлечения квадратных корней — 48-угольники, 96-угольники. При этом Архимед проявляет чудеса неизвестно. В сложных выкладках Аризобретательности. Так, для оценки отношения диаметра окружB химеда очень легко запутаться.

ности d к стороне a6 правильного описанного шестиугольника он Упражнение 1. Попробуйте повтоd D привлекает неравенство. С высоты сегодняшних знаний мы рить рассуждения Архимеда в реa6 шении следующей задачи. На рис. d 3, знаем, что =ctg30 = но во времена Архимеда ещё не было изображена дуга окружности с ценaC E A тромв точке E идиам етром AC. BC — тригонометрических функций. Получается, что в своих расчётах Рис. сторона вписанного в эту окружность Архимед подобрал приближение для числа в виде обыкновенной правильного шестиугольника, а DC — дроби. Это приближение имеет поразительно высокую точность:

сторона вписанного правильного 12-угольника. Архимед подбирает величину диаметра окружности таким образом, чтобы для велиAB AB 3 265 0,000025.

чины была справедлива довольно точная оценка.

BC BC Для этого он полагает AC = 1560 (убедитесь, что при такомзначе В другом месте он воспользовался оценкой, ещё более точно нии диаметра величина AB2 отличается от величины BC 3с приближающей число избытком :

всего на единицу!). Исходя из этих числовых данных, докажите неравенство 3 0,000001.

AC Как Архимед мог получить такие точные приближения Об этом CD можно только догадываться. Академик С. Н. Бернштейн в коммента(учтите, что Архимед тригонометрическими функциями не пользориях к работе Архимеда ([2], с. 224) обращает внимание, например, вался).

на такой факт. Запишемчисло в виде цепной дроби (см., например, [3]):

Начало удивительного соревнования Созданный древнегреческими математиками метод вычисления 3=1+.

длины окружности посредствомвписанных и описанных многоуголь1+ 2+ ников оставался основнымна протяжении почти двух тысяч лет.

1+ Клавдий Птолемей (ок. 100—178) для вписанного правильно2+.

.

.

го 720-угольника получает 3,14167. Китайский математик Если оборвать бесконечную цепочку в этомвыражении на 9-мзвене, Лю Хуэй (III—IV вв. н. э.) для вписанного 3072-угольника находит 8 3,14159. Самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид ал-Ка- Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего ши (XIV—XV вв.) в «Трактате об окружности» (1424) ставит задачу с наивысшего развития в работах голландских математиков Виллеинтригующимусловием: выразить окружность через диаметр с такой брорда Снеллия (1580—1626) и Христиана Гюйгенса (1629—1695).

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.