WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Учебно-методическое пособие для студентов по специальности “Математика” 010101(010100) и направлению “Математика.

Прикладная математика” 010200(511200) Воронеж 2006 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета, протокол № 4 от 9.12.2005 г.

Составитель доц. Зубова С.П.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов второго курса дневного и вечернего отделений в помощь при решении задач математического анализа.

3 В пособии решаются задачи нахождения объема тела и площади поверхности с помощью двойных и тройных интегралов. Для лучшего понимания рассматриваемых множеств привлекаются графические образы.

1. Основные сведения Используются следующие основные факты (см. [1],[2]).

Если тело V - есть совокупность точек ( x, y,z ) пространства R3, удовлетворяющих соотношениям (z z, y ) z z2( z, y ) и 1 x(,y ) D R2, то объем тела V равен = z( ( x,y ) - z12 ( x,y ))dxdy. (1) D Или (z x y, ) 2 dxdy.

(2) dxdydz == dz D ( x y, ) zV 1 В свою очередь, если {(D x,y )= R2 : a x b, y1( x ) y y2( x )}, то (y x ) b 2 (f x, y )dxdy = f ( x, y )dydx. (3) a yD ( x ) 1 Если {(D x,y )= R2 : c y d,x1( y ) x x2( y )}, 4 то (x y ) d 2 (f x, y )dxdy = f ( x, y )dx }dy. (4) { c xD ( y ) 1 Здесь и далее все рассматриваемые функции предполагаются непрерывными на соответствующих множествах.

Площадь Ps поверхности S такой, что {(S x, y,z )= R3 : z = z( x,y ),( x, y ) D }, находится по формуле 1P += ( zxS )2 + ( zy )2dxdy. (5) D Для более простого вычисления интегралов часто используется переход от декартовых координат ( x,y ) к полярным координатам (,r ) по формулам x = r cos,y = r sin (рис. 1,2).

Тогда (f x, y )dxdy = f ( r cos,r sin )rdrd, (6) D D* где {(D*,r ) : x == cosr y ) D }, то есть D* - это, y = r sin,( x, множество D, описанное в полярных координатах.

Например, если {(D x,y )= R : ( x - a )22 + y a22,a > 0 }, то {(D,r )= R2* : ( r cos a2 }, то есть - a )2 + r2 sin{(D,r )= R2* : 0 r 2a cos } (рис. 3, 4).

Переход от декартовых координат ( x, y,z ) к сферическим координатам(,, ) осуществляется по формулам x = cos cos, y = sin cos,z = sin (рис.5, 6).

Имеет место формула (f x, y,z )dxdydz = f ( cos, sin cos, sin ) cos d d, cos d V V* (7) где V* - это тело V, описанное в сферических координатах.

Например, если {(V x, y z, ) : x += y22 + z2 R2 } то, 2* 2 {(V, ) : cos2 cos2 +=, sin2 cos2 + sin2 R2 }, то есть * {(V, ) : 0 =, R,0 2,- } (шар радиуса R с 2 центром в начале координат).

2. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла Пример 1. Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела V :

:V y z2,x y a,x 0.

На рисунке 7 изображена поверхность SS1 2 - это часть цилиндрической поверхности = zy при x 0. Направляющей линией этой поверхности является линия = xy, а образующая линия параллельна оси OX.

На рисунке 8 изображены части плоскостей y = x, y = a,x = 0.

Множество {( x, y,z ) : x y a,x 0 } - это множество точек, лежащих между этими поверхностями и точек, принадлежащих этим поверхностям.

Таким образом, тело V - есть множество точек пространства R3, ограниченных поверхностями,S i = 1,5 (рис. 9).

i Имеем : = VV V, где :V 0 z y,x y a,x 0, :V y - z 0,x y a,x 0.

Объемы тел V1 и V2 одинаковые в силу симметричности тела относительно плоскости XOY, поэтому по формуле (1) получаем :

= y2 dxdy.

D С помощью рисунка 10 и формулы (3) расставляем пределы интегрирования в последнем интеграле:

a a = {2 ydy }dx.

0 x Задание 1. Убедиться, что = aa.

Пример 2. Вычислить объем тела + yx :V xz + y22,a > 0.

a + yx На рисунке 11 изображена часть поверхности S1: z = a (параболоид вращения, круговой параболоид), а на рисунке 12 часть конической поверхности S2 : xz += y22.

Поверхности S1 и S2 пересекаются в точке (0,0,0 ) и по линии + yx 22 += yx, то есть по окружности yx =+ a2,z = a.

a Следовательно, тело V есть тело, изображенное на рисунке 13.

Используем формулу (1):

+ yx x( += y22 - dxdy), a D где D- круг с центром в точке (0,0 ) радиуса a (рис. 14), или, в силу симметричности тела V относительно плоскостей XOZ и YOZ, 22 a -xa + yx + yx (4 x += y22 - dxdy) 4 { ( x += y22 - dy) }dx.

a a D1 0 В последнем интеграле удобнее перейти к полярным координатам (формула (6)).

Задание 2. Убедиться, что объем тела V, рассмотренного в a rпримере 2, равен {4 ( r - rdr) }d.

a 0 Найти значение.

Задание 4. Найти объем тела, ограниченного параболоидом вращения xz += y22, координатными плоскостями и плоскостью x + y = 1. Ответ:.

3. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла xy Пример 3. Найти приближенно площадь поверхности z =, если yx + 8xy,z x, 0.

xy Часть поверхности :S z = (гиперболический параболоид) при z x, 0 изображена на рисунке 15.

Поверхность :S ( x y22 )2 =+ 8xy - это цилиндрическая поверхность с направляющей, описываемой уравнением x( y22 )2 =+ 8xy на плоскости XOY, и образующей, параллельной оси OZ.

Удобнее уравнение образующей записать в полярных координатах: = 8r r cos sin, то есть = 2r sin 2 (рис. 16).

xy Линия пересечения поверхностей z = и z = описывается 2 xy 1 уравнениями = и z =.

2 4 xy В соотношении = тоже удобнее перейти к полярным 2 1 координатам: cosr sin или r =. На рисунке =, 2 sin изображена проекция этой линии на плоскость XOY и множество :D 2r sin 2.

sin Линии и пересекаются при значениях,, 1 2 1 1 удовлетворяющих соотношению sin2 2 =, откуда sin 2 =, sin 1 следовательно, =, =.

1 12 В этом примере рассматривается часть поверхности S, заключенная между цилиндрическими поверхностями S1 и S2 (рис.

17), то есть часть поверхности S, изображенная на рисунке 18.

По формуле (5) имеем :

y x 1P += ( + () dxdy).

S 2 D Переходя здесь к полярным координатам и расставляя пределы интегрирования, получаем :

sin2 r.

{P 1+= rdr }d S 12 sin Так как рассматриваемая поверхность симметрична относительно плоскости y = x, то sin2 r.

2P { 1 += rdr }d S 12 sin Внутренний интеграл равен 1 sin2 sin2 r2 2 r 4 r(2 1 d) (1 ++ ) = 1( + )2 1 = 4 4 3 sinsin 4 ( += sin1 2 )2 - (1+ )2.

3 sin4 Поэтому 4 8 8. (8) PS ( += sin1 2 )2d - 1 + d 3 3 sin4 12 Рассмотрим первый интеграл. Поскольку sin1 2 =+ (sin 2, то + cos ) 4 ( sin1 2 )2d + cos )2d.

=+ (sin 12 Задание 5. Вычислить последний интеграл и убедиться, что он 2 3 2 равен ( 2) ++ 3 - ( - 2) - 3.

3 12 3 (воспользоваться формулами + cos1 - cos6 cos =, sin = ).

12 2 12 Вернемся ко второму интегралу в (8).

Задание 6. Оценить второй интеграл в (8) с помощью неравенства min f ( )( ) - f ( )d max f ( )( - ) [, ],[ ] и получить оценку 55 1 1( + d).

48 sin4 2 Таким образом, имеет место оценка 8 2 3 2 3 (( 2) ++ 3 -( - 2) - 3 - P) S 3 3 12 3 12 8 2 3 2 3 (( + 2) + 3 -( - 2) - 3 - ).

3 3 12 3 12 Пример 4. Найти площадь поверхности S, заданной соотношениями: rx cos,y == r sin r a,0. Часть,z = h,этой поверхности представлена на рисунке 19 (геликоид).

Воспользуемся формулой (5). Чтобы вычислить zx и zy, y y запишем в виде: = arctg, тогда = harctgz. Находим:

x x hy hy zx -= =, y2 2 + yx 1( + x) xh hx zy = =.

y2 + yx 1( + x) x22 ++ yxh Тогда + (1 zx )2 + ( zy )2 =.

+ yx Теперь искомая площадь равна xh ++ yPs = dxdy.

+ yx D Здесь удобнее перейти к полярным координатам:

a 22 a + rh Ps = rd dr += rh dr.

r 0 0 Задание 7. Вычислив последний интеграл, убедиться, что aa ++ hPs = ln.

4 h Задание 8. Найти площадь поверхности тела, ограниченного цилиндрами x + z22 = a2 и zy =+ a2 (рис 21).

Задание 9. Доказать, что площадь части сферы yx ++ z2 = 4Rz - 3R2, заключенной внутри 4z ( x22 += y2 ), равна R3.

4.Нахождение объема тела с помощью тройного интеграла Пример 5. Найти объем тела {(V x, y,z ) : x += y22 - 1 z2 x( + y2 + 1)}.

Поверхность S1, описываемая уравнением yx -+ 1 = z2 - это однополостный гиперболоид с осью симметрии OZ (рис. 22).

Поверхность :S z x( += y2 + 1) - это двуполостный гиперболоид с осью симметрии OZ (рис. 23).

Поверхности S1 и S2 пересекаются по линиям, описываемым 22 уравнениями yx -+ 1 = x( + y2 + 1) и ±= xz + y22 - 1, решая которые, получаем : yx =+ 4 и ±= 3z. Тело V, рассматриваемое в этом примере, изображено на рисунке 24. Тело симметрично относительно плоскостей XOZ,XOY,YOZ, поэтому = 8, где - 1 объем тела V1 - части V, расположенной в первом октанте (рис. 25).

Тело V1 проектируется на четверть круга D1 и четверть кольца D2 (рис. 26). Над D1 имеем : z0 ( + yx + 1), а над D2:

yx -+ 1 z ( + yx2 2 + 1) (рис. 27).

По формуле (2) получаем :

3 22 ( yx ++ 1) ( yx ++ 1) dxdy + 5 dxdy ).

= ( dz dz D1 0 Dyx -+ Вычислив внутренние интегралы, имеем :

3 22 (8 ( += yx + 1)dxdy + ( + yx + 1)- x2 + y2 - 1dxdy ).

5 D1 DЗадание 10. Перейдя в последних интегралах к полярным координатам, найти значение. Убедиться, что 2( 3 -= 1).

Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью x( y22 ++ z2 )2 = z.

Перейдем к цилиндрическим координатам: = то есть sin, = sin. Поскольку это уравнение не содержит переменной, то поверхность симметрична относительно оси OZ в декартовой системе координат (см. рис. 5). Следовательно, достаточно изобразить пересечение этой поверхности с какой-либо плоскостью = const (например, = ) и вращением этой линии вокруг оси OZ получить вид заданной поверхности.

Изобразим линию = sin.

При = 0 имеем = 0, 1 - cosпри = имеем =,0 64, 2 12 при = имеем 3 3 =,0 79, при = имеем 4 6 =,0 89, при = имеем 5 6 =,0 95, 3 при = имеем = 1.

6 На рисунке 28 изображена линия sin на рисунке, == и 29 – тело V.

В силу симметричности тела относительно оси OZ его объем равен четырем объемам тела V*, где V* - часть тела V, лежащая в первом октанте:

{(V, ) : 0 =, 0, 0, sin }.

2 Тогда 2 23 sin = d d d.

cos0 0 Задание 11. Вычислив последний интеграл, удостовериться, что объем тела, изображенного на рисунке 26, равен.

Задание 12. С помощью сферических координат найти объем тела, ограниченного поверхностью x( y22 )2 ++ z4 = z.

Указание: воспользоваться формулой cos sin=+ 1- sin2 2.

Ответ:.

Содержание 1. Основные сведения 2. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла 3. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла 4. Нахождение объема тела с помощью тройного интеграла Литература 1. Ильин В.А. Математический анализ / В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 2004. – Ч.2. - 357 с.

2. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. – М. : Высш. шк., 2002. - Кн. 1. – 736 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д.Кудрявцев. – М. : Физматлит, 2003. - Т. 2. - 424 с.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б.П.Демидович. – М. : АСТ* Астрель, 2002. – 558 с.

Составитель доц. Зубова Светлана Петровна Редактор Тихомирова О.А.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.