WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов 1 курса д/o и в/о, обучающихся по специальностям :

010501 «Прикладная математикаи информатика» 010901 «Механика» 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методической комиссией факультета прикладной математики, информатики и механики 23 декабря 2004 г., протокол № 4.

автор Ларин А. А.

Учебное пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса д/о и в/о, обучающихся по специальностям :

010501 «Прикладная математикаи информатика» 010901 «Механика» 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» 3 § 1. Производная и дифференциал. Геометрический ифизический смысл производной и дифференциала. Свойства производной, связанные с арифметическими операциями над функциями Пусть функция y = f (x) определенав некоторой окрестности U (x0 ; ) точки x0, x0 R. Придадим аргументу функции приращение x, 0 <| x| <, и обозначим через y соответствующее приращение функции, y = f (x0 + x) - f (x0).

Составим, далее, разностное отношение f (x0 + x) - f (x0) y =, (1.1) x x 0 < | x| <.

Разностное отношение (1.1) как функция переменной x определено в 0 проколотой окрестности U(0; ) точки x = 0.

Определение. Предел при x 0 разностного отношения (1.1), если он существует, называется производной функции y = f (x) в точке x0 и обозначается f (x0) или просто y.

Таким образом, de f f (x0 + x) - f (x0) y f (x0) = lim0 = lim0.

x x x x Полагая x0 + x = x, можно записать, что f (x) - f (x0) f (x0) = lim.

x xx - x Замечание. Предел в определении производной предполагается либо конечным, либо определённого знакабесконечным. Если f (x0) = + или f (x0 ) = -, то говорят о бесконечной производной. В дальнейшем под производной, если не оговорено противное, будем понимать конечную производную.

Операцию вычисления производной называют дифференцированием.

Приведённые выше обозначения для производной принадлежат Лагранжу.

Для обозначения производной используют также следующие символы:

dy df (x0) или - обозначения Лейбница;

dx dx Dy или Df (x0) - обозначения Коши.

df Иногдапроизводную обозначают и так: yx, fx, |x= x0.

dx Односторонние производные Определение. Предел f (x0 + x) - f (x0) f (x) - f (x0 ) lim0 = lim+0, x+ x x xx - xесли он существует, называется производной функции f (x) в точке x0 справа (или правой производной) и обозначается f (x0). Предел + f (x0 + x) - f (x0) f (x) - f (x0) lim0 = lim-0, x - x x xx - xесли он существует, называется производной функции f (x) в точке x0 слева (или левой производной) и обозначается f (x0).

Производные слева и справа называются односторонними производными.

Сделанное ранее замечание относится ик односторонним производным.

Из свойств пределов функций следует, что производная функции f (x) в точке x0 существует тогда и только тогда когда в этой точке, существуют обе односторонние производные f (x0), f (x0), и они -+ совпадают между собой. При этом + f (x0) = f (x0) = f (x0).

Отметим, что под производной функции в граничной точке промежутка понимают соответствующую одностороннюю производную. Так, если функция f (x) рассматривается на отрезке [ a ; b ], то под производной в точке a понимается правая производная, а под производной в точке b - левая производная.

Приведём пример вычисления производной.

Пример. Рассмотрим функцию y = sin x, D ( y) = R. Фиксируем произвольную точку x R и придадим аргументу функции произвольное приращение x 0. Запишем соответствующее приращение функции в точке x в виде x x y = sin(x + x) - sin x = 2sin cos(x + ).

Используя данное представление для y и первый замечательный предел, получаем, что x sin y x lim0 = lim0 2 cos(x + ) = 1 cos x = cos x.

x x x x Таким образом, (sin x ) = cos x для любого x R. Аналогично устанавливается, что (cos x ) = - sin x для любого x R.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции Определение. Функция y = f (x), заданная в некоторой окрестности U (x0) точки x0 R, называется дифференцируемой в этой точке, если её приращение y = f (x0 + x) - f (x0), x = x - x0, x 0, представимо в этой окрестности в виде y = A x + ( x) x, (1.2) где A - постоянная, а ( x) - функция аргумента x, бесконечно малая в точке x = 0.

Замечание 1. Функция ( x) в точке x = 0, вообще говоря, не определена и её можно доопределить произвольным образом. Для дальнейшего удобно положить (0) = 0 так, чтобы ( x) была непрерывной в нуле. После доопределения функции ( x) в точке x = 0 равенство (1.2) будет справедливо и x = 0.

для Замечание 2. Поскольку ( x) x есть величина o( x) при x 0, то условие (1.2) можно записать в виде y = A x + o( x), x 0. (1.3) Определение. Линейная функция A x аргумента x называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x0 и обозначается df (x0) или просто dy.

Таким образом, y = dy + o( x), x 0, (1.4) где dy = A x.

Заметим, что если A 0, то имеет место соотношение o( x) = o( A x), поскольку o( x) lim0 = 0, x A x и условие (1.4) можно записать в виде y = dy + o( A x) = dy + o(dy), x 0. (1.5) Это означает, что величины y и dy эквивалентны при x 0. При этом dy есть главная, причём линейная относительно x часть приращения y.



Для симметрии записив случае, когда x есть независимая переменная, полагают de f dx = x, так что dy = Adx.

Теорема. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f (x0). При этом dy = f (x0 ) dx.

Доказательство Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0.

Тогда существует > 0 такое, что для x, | x| < для соответствующего приращения y этой функции в точке x0 справедливо представление (1.2). Считая, что x 0, разделим равенство (1.2) на x.

В результате получим соотношение y = A + ( x), (1.6) x где ( x) 0 при x 0. При x 0 существует конечный предел правой части равенства (1.6), равный A. Поэтому при x 0 существует конечный предел и левой части равенства (1.6), также равный A. По определению этот предел равен f (x0 ). Таким образом, у функции f (x) существует конечная производная в точке x0, причём f (x0) = A.

Достаточность. Пусть существует конечная производная f (x0 ).

Выберем > 0 достаточно малым, таким, чтобы в проколотой окрестности U(0; ) точки x = 0 была определена функция аргумента y x вида. Введём в рассмотрение функцию x de f y ( x) =- f (x0), 0 < | x| <. (1.7) x y Заметим, что lim0 ( x) = lim0 - f (x0 ) = f (x0 ) - f (x0 ) = 0.

x x x Умножив равенство (1.7) на x и перенеся слагаемое f (x0) x в левую часть получившегося равенства, получим соотношение y = f (x0) x + + ( x) x, справедливое для x, 0 < | x| <. Если в данном соотношении положить A = f (x0), то оно совпадёт с равенством (1.2).

Поэтому функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 и A = f (x0).

Теорема доказана.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то онаи непрерывнав этой точке.

Доказательство. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x0.

Тогда существует > 0 такое, что для x, | x| <, справедливо соотношение y = f (x0 + x) - f (x0 ) = f (x0) x + ( x) x, ( x) при x 0. Поэтому lim0 y = lim0 ( f (x0 ) x + ( x) x ) = 0, x x а это и означает, что функция y = f (x) непрерывнав точке x0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл производной и дифференциала Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0, непрерывна в точке x0, и пусть y0 = f (x0), M0 = M0 (x0 ; y0).

Зафиксируем произвольное приращение аргумента x 0 таким, чтобы выполнялось условие x0 + x U (x0), и пусть y = f (x0 + x) - f (x0), M1 = M1 (x0 + x; y0 + y). Прямая, проходящая через точки M0 и M1, называется секущей к графику функции y = f (x) (см. рис. 1.1).

y M y Mx x0 x0 + x Рис. 1.Уравнение секущей имеет вид y y = (x - x0) + f (x0). (1.8) x Определение. Пусть задано семейство прямых уравнениями a(t)x + b(t) y + c(t) = 0, (1.9) где t - параметр, и пусть существуют конечные пределы lim a(t) = a, lim b(t) = b, lim c(t) = c.

t t0 tt0 t tТогда говорят, что прямые семейства (1.9) при t t0 стремятся к предельному положению – прямой, уравнение которой имеет вид ax + by + c = 0.

Возьмём в уравнении для секущих в качестве параметра t величину x.

Определение. Предельное положение при x 0 секущих (1.8) называется касательной к графику функции y = f (x) в точке M0(x0 ; f (x0)).

Чтобы прямые семейства (1.8) стремились к предельному положению (касательной), отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел y lim0, x x т. е. чтобы существовала конечная производная f (x0). При этом уравнение касательной имеет вид y = f (x0)(x - x0) + f (x0 ). (1.10) Заметим, что в силу непрерывности функции f (x) в точке xвыполнено условие lim0 y = 0, и потому lim0 |M0 M1 | = x x = lim0 ( x)2 + ( y)2 = 0, т. е. точка M1 «стремится» к точке M0, x оставаясь награфике функции y = f (x).

Из уравнения (1.10) следует, что f (x0) = tg, где - угол между касательной и положительным направлением осиOx.

Обозначим в уравнении (1.10) ординату касательной через y, x - xкас через x. Тогдаэто уравнение примет вид y - y0 = f (x0) x = df (x0).

кас Таким образом, df (x0 ) есть приращение ординаты касательной при данном x (см. рис. 1.2).

y y = f (x) y dy Mx x0 x0 + x Рис. 1. Рассмотрим теперь случай бесконечной производной. Пусть, например, f (x0) = +. При этом мы будем предполагать, что функция y = f (x) непрерывнав точке x0. Запишем уравнение (1.8) в виде y y= x - x0 +.

y y x x Переходя в этом уравнении к пределу при x 0, получим уравнение касательной ввиде 0 = x - x0, т. е. x = x0, т. е. в рассматриваемом случае в точке M0(x0 ; f (x0)) у графикафункции y = f (x) существует вертикальная касательная.

Пусть теперь в точке x0 у функции y = f (x) существуют конечные односторонние производные, не равные между собой. В этом случае говорят об односторонних касательных к графику функции y = f (x) в точке M0(x0 ; f (x0)). Уравнение касательной слева к графику функции y = f (x) в точке M0(x0 ; f (x0)) получаем, заменяя в уравнении (1.10) f (x0) на f- (x0 ), а уравнение касательной справа – заменяя f (x0) на f+ (x0 ).

Физический смысл производной и дифференциала Пусть переменные x и y = f (x) являются некоторыми физическими величинами и пусть переменная x изменяется на отрезке [a; b].

Фиксируем произвольное значение переменной x = x0 [ a; b] и придадим величине x0 приращение x 0 такое, чтобы выполнялось f (x0 + x) - f (x0) условие x0 + x [ a ; b ]. Величину называют x средней скоростью изменения величины y относительно переменной x на отрезке сконцами x0 и x0 + x. Конечный предел f (x0 + x) - f (x0) lim0, x x если он существует, называется скоростью изменения переменной y относительно переменной x в точке x0. В этом случае y = f (x0)dx + o(dx), т. е. приращение y зависит линейным образом от dx с точностью до бесконечно малой более высокого порядка dx.





, чем, При этом дифференциал dy = f (x0) dx есть величина на которую изменится значение переменной y на отрезке с концами x0 и x0 + x, если эта переменная будет изменяться науказанном отрезке спостоянной скоростью f (x0).

Свойства производной, связанные с арифметическими операциями над функциями Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если функции y1 (x) и y2 (x) определены в некоторой окрестности U (x0) точки x0 R и имеют в этой точке конечные производные, то функции y1 (x) + y2 (x), где, - произвольные 1 2 1 постоянные, y1(x) y2(x) также имеют в точке x0 конечные производные, причём справедливы равенства ( y1 + y2 ) (x0) = y1 (x0) + y2 (x0 ), (1.11) 1 2 1 ( y1 y2 ) (x0) = y1 (x0) y2 (x0) + y1(x0) y2 (x0). (1.12) Если выполнено условие y2(x0) 0, то и функция y1(x)/ y2(x) имеет в точке x0 конечную производную, причём верно равенство y1 y1 (x0) y2 (x0) - y2 (x0) y1 (x0) (x0) =. (1.13) y2 ( y2 (x0)) Доказательство. Пусть y (x) = y1 (x) + y2 (x), где и - 1 2 1 произвольные фиксированные постоянные, и пусть y1 = y1 (x0), y2 = y2 (x0). Придадим аргументу функций в точке x0 приращение x 0 такое, чтобы выполнялось условие x0 + x U (x0), и пусть y1, y и y - приращения в точке x0 соответственно функций y1 (x), y2 (x) и y (x). В этих обозначениях имеем y = ( y1 + y1 ) + ( y2 + y2 ) - ( y1 + y2 ) = y1 + y2.

1 2 1 2 1 Поэтому y1 y y =+. (1.14) x x x Переходя в равенстве (1.14) к пределу при x 0, получим, что y1 y2 y1 y y lim0 = lim0 () = lim0 + lim0 = + x x x x x x x x x = y1 (x0) + y2(x0), 1 т.е. функция y (x) имеет вточке x0 конечную производную и справедливо равенство (1.11).

Пусть теперь y (x) = y1 (x) y2 (x). В прежних обозначениях имеем y = ( y1 + y1 )( y2 + y2 ) - y1 y2 = y2 y1 + y1 y2 + y1 y2.

Поэтому y2 y y y = y2 + y1 + y2. (1.15) x x x x Поскольку функция y2 (x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке, и потому lim y2 = 0. Переходя в равенстве x(1.15) к пределу при x 0, получим, что y1 y2 y y lim0 = lim0 y2 + y1 + y2 = y2 (x0 ) y1 (x0 ) + x x x x x x + y1(x0) y2(x0), т.е. что функция y (x) имеет в точке x0 конечную производную и справедливаформула (1.12).

y1 (x) Наконец, пусть y (x) =. Будем использовать прежние y2 (x) обозначения.

Отметим, что в силу непрерывности функции y2 (x) в точке x0 при достаточно малых x величина y2 будет мала и будет выполняться условие y2 + y2 0. Имеем y1 + y1 y1 y2 ( y1 + y1 ) - y1 ( y2 + y2 ) y =- == y2 + y2 y2 y2 ( y2 + y2 ) y1 y2 - y2 y=.

y2 ( y2 + y2 ) Поэтому y1 y y2 - y y x x =. (1.16) xy2 ( y2 + y2 ) Переходя в равенстве (1.16) к пределу при x 0, с учётом условия lim y2 = 0 получим, что x y1 (x0) y2 (x0) - y1 (x0) y2 (x0) y lim0 =, x x ( y2 (x0))т.е. что функция y(x) имеет в точке x0 конечную производную и справедливаформула (1.13).

Теорема доказана.

Следствие. Умножая формулы (1.11) – (1.13) на dx, получим следующие соотношения:

1) d ( y1 + y2 ) = dy1 + dy2 ;

1 2 1 2) d ( y1 y2 ) = y2 dy1 + y1 dy2 ;

y1 y2 dy1 - y1 dy 3) d =.

yy В формулах 1) – 3) все дифференциалы берутся в точке x0.В формуле 3) предполагается, что y2 = y2 (x0) 0.

§ 2. Дифференцирование обратной функции и сложной функции.

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменной. Производные некоторых элементарных функций.

Логарифмическая производная. Дифференцирование показательностепенных выражений Сформулируем и докажем следующее утверждение.

Теорема. Если функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производную - f (x0) 0, то обратная функция x = f ( y) имеет конечную производную в точке y0 = f (x0 ) и справедливаформула -df ( y0) =.

df (x0) dy dx Доказательство. Пусть f (x) определена непрерывна и строго, монотоннав окрестности U (x0) точки x0. Тогдапо теореме об обратной -функции обратная функция x = f ( y) определена непрерывна и строго, монотоннанаинтервале V = f (U (x0)), y0 = f (x0) V.

- Придадим аргументу функции f ( y) в точке y = y0 приращение y 0 такое, чтобы выполнялось условие y0 + y V. Тогда функция -f ( y) получит некоторое приращение x, -1 - x = f ( y0 + y) - f ( y0), причём x 0 в силу строгой монотонности обратной функции.

Заметим, что поскольку -x0 = f ( y0), то -x0 + x = f ( y0 + y), т. е.

y0 + y = f (x0 + x) и y = f (x0 + x) - f (x0).

Запишем теперь разностное отношение для производной функции -f ( y) в точке y0 в виде -1 -f ( y0 + y) - f ( y0) x = = == ( x), y f (x0 + x) - f (x0) y y x x считая x функцией от y. Отметим, что в силу непрерывности обратной функции lim0 x = 0, причём x 0 при y 0. По теореме о y пределе композиции получаем, что lim0 ( x) = lim0 ( x) =.

y x df (x0) dx Поэтому при y 0 существует конечный предел разностного - x df ( y0) отношения, он равен, по определению,, и справедливо y dy равенство -df ( y0) =.

df (x0) dy dx Теорема доказана.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.