WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

( ) [ ] При циклическом нагружении наряду со временем t введем дискретный аргумент N, который принимает значения, равные номеру цикла или блока нагружения. В дальнейшем для упрощения формулировокбудем говорить о циклах нагружения. Условия, накладываемые на A, выразим через верхние грани разностей Gj -, достигаемые в течение цикла:

N-го j H (N) = Gj l(t),s(t), (t) [ ]- l(t),s(t), (t) (5.2.3) [ ] sup { } j j tN -1t 0, j j Для трещин, равновесных по обобщенной координате, имеем Hk (N) = 0.

lk Условия на обобщенные силы H (N) дополним уравнением, которое j описывает накопление микроповреждений на продолжении фронтов трещин:

n=N (L, N) - (L, N -1) = {l(n),s(n),L}. (5.2.4) n=Здесь Ф {...} — наследственный оператор, действующий на функции l(n) и s(n) при n N.

При t = 0 система тело с трещинами-нагрузка находится в субравновесном состоянии и, следовательно, устойчива. При некоторых 0 < t < t* выполнены условия H (N) < 0 при j =1,...,m. При этом на неподвижных j фронтах трещин происходит накопление микроповреждений.Первое нарушение неравенств H (N) < 0 означает окончание инкубационной j стадии.

Характер дальнейшего роста трещин зависит от распределения микроповреждений в окрестности их фронтов. Существуют две типичные ситуа - ции: трещина растет по обобщенной координате lk квазинепрерывно так, что в пределах каждого цикла выполняется условие Hk (N) = 0 ; трещина распространяется скачкообразно. Система тело с трещинами - нагрузка последовательно переходит из одного субравновесного состояния в другое проходя через неустойчивые равновесные состояния. Если, размеры скачков малы по сравнению с технически значимыми размерами, то скачкообразный рост может быть аппроксимирован непрерывным ростом. Скорость роста трещин приближенно определяется из условия равновесности по соответствующей обобщенной координате.

Поскольку скорость накопления микроповреждений зависит от локальных напряжений, то в теории усталостного разрушения приходится отказываться от представления о трещине как о математическом разрезе. Существенную роль приобретают параметры длины, характеризующие концентрацию напряжений на фронте усталостной трещины. Эти параметры длины имеют смысл некоторых эффективных радиусовкривизны на фронте трещины. В простейших моделях, аналогичных модели механики хрупкого разрушения, эти радиусы можно принять за структурные постоянные материалы. В других случаях, например, при рассмотрении трещин коррозионной усталости характерные радиусы кривизны становятся переменными величинами, связанными с мерами микроповреждений у фронта трещины.

Для замыкания системы определяющих соотношений нарядус уравнениями типа (5.2.3) и (5.2.4) необходимо ввести уравнения для характерных радиусов кривизны на фронте.

5.3. Стохастические модели разрушения и масштабный эффект прочности.

Механическиесвойства композитовимеют случайную природу, поэтому прогнознесущей способности и долговечности конструкции должен иметь вероятностный характер. Поскольку от конструкции требуется высокая надежность, то разрушение должно трактоваться как редкое событие и, следовательно, теоретические выводы должны относиться к событиям малой вероятности. Поэтому весьма желательна разработка стохастических моделей разрушения конструкций из композитов Стохастические модели.

должны удовлетворять двум требованиям: вопервых, оставаться состоятельными для малых вероятностей разрушения и, вовторых, описывать масштабный эффект разрушения, допуская при этом прогнозирование на большиемасштабы.

Под масштабным эффектом прочности подразумевают нарушение классических законовподобия, наблюдаемоепри механических испытаниях геометрически подобных образцов Это нарушение кажущееся: оно.

свидетельствует отом, что на прочность образца влияют также некоторые другие параметры, имеющие размерность длины, но не входящие в классическиеуравнения теории упругости и пластичности. Это может быть характерный размер волокна, зерна, микроскопической трещины и т. п. Чем грубее структура композита, чем соизмеримее структурные масштабы длины с масштабами образца, тем при прочих равных условиях сильнее проявляется маcштабный эффект.

Масштабный эффект прочности композитов является естественным следствием неоднородности структуры. Неоднородность структуры вместе с тем имеет стохастический характер. Это происходит изза разброса механичес- ких свойств волокон и материала матрицы, случайной упаковки волокон, начальных разрывов и искривлений волокон, местных нарушений адгезии, пористости связующего и т. п. Таким образом, масштабный эффект прочности и стохастическая природа разрушения композитовоказываются тесно связанными между собой.

Известная модель «слабого звена» (модель Вейбулла) может служить примером стохастической модели, удовлетворяющей поставленным выше требованиям. Но эта модельи ее различные обобщения относятся к случаю идеально хрупкого материала, не позволяя описывать вязкие эффекты разрушения, резервирование перераспределение поля напряжений и т.п.

, Применительно к большинству композитов на основе полимерных и металлических матриц эта модельнепригодна. Удачные попытки статистической обработки экспериментальных данных по композитам при помощи модели Вейбулла -это не более чем аппроксимация эмпирического распределения при помощи двух- или трехпараметрического распределения.



Если в результаты аппроксимации ввести зависимость от масштаба, содержащуюся в модели Вейбулла, то экстраполяция на большие масштабы, как правило, окажется неудовлетворительной.

Альтернативой является модель «пучка волокон» Даниэлса, которая связывает разрушающую нагрузку для пучка волокон с математическим ожиданием суммы разрушающих нагрузок для отдельных волокон. Тем самым модель в существенной степени учитывает резервированиеи вязкий характер разрушения. Применение модели Даниэлса может привести к чрезмерно оптимистическим выводам о надежности конструкции (особенно в области высоких надежностей), а также преуменьшить снижение надежности с ростом масштаба.

В настоящее время разработаны модели, объединяющиеподход Вейбулла и Даниэлса. Например, призматический образец из однонаправленного волокнистого композита представляют в виде последовательного соединения звеньев, каждое из которых имеет длину, равную неэффективной длине волокна. К каждому звену применяется подход Даниэлса, а последовательное соединение звеньев, в сущности, эквивалентно подходу Вейбулла. В некоторых моделях учитывается возможность разрыва двух или нескольких рядом расположенных волокон, принимается во внимание концентрация напряжений вблизи разрыва и т. п.

Эти модели обладают большей гибкостью, чем модели Вейбулла и Даниэлса, и при надлежащем выборе параметров могут хорошо согласовываться с результатами эксперимента.

Наиболее общий подход кпроблеме разрушения композитовоснован на использовании кинетических моделей. Этот подход позволяет в рамках одной модели учесть нестационарный процесс нагружения, временное запаздывание разрушения, накопление отдельных повреждений, их слияниев магистральную трещину и развитие последней.

Из-за очень большой размерности пространства состояний для реалистических моделей к удовлетворительным результатам приводят лишь самые простые модели.

При использовании модели квазинезависимых повреждений, позволяющей вычислять и оценивать показатели надежности конструкций из композитов с учетом масштабного эффекта, применяют следующую систему допущений.

1. Тело (образец или элемент конструкции) состоит из большого числа одинаковых в статистическом смысле первичных объемов (структурных элементов), разрушениекаждого изкоторых происходит квазинезависимым образом. Структурный элемент разрушается, когда номинальное напряжениеа достигает предельного значения 5 для этого элемента. Это значение является случайной величиной с заданной функцией распределения.

F(s) 2. Тело, в свою очередь, может быть разбито на конечноечисло критических объемов (элементов), разрушениехотя бы одного из которых влечет за собой разрушениетела в целом. В частном случае критический объем может совпадать с объемом тела.

3. Критический объем разрушается, если число разрушенных структурных элементов в этом объеме достигнет некоторого предельного значения, которое по предположению является неслучайной (заданной) величиной. При этом отношениепредельного числа структурных элементов ких общему числу достаточно мало по сравнению с единицей.

4. Число структурных элементов в критическом объеме, их предельное число, упомянутоевдопущении 3, представляют собой достаточно большие числа.

Допущение 1 используется в большинстве статистических моделей разрушения, начиная с модели Вейбулла. Допущение 2 выражает концепцию «слабого звена», применяемую, однако малым элементам структуры,, не к а к макроэлементам. Предполагается, что размеры, форма и размещение критических объемов в реальной конструкции оцениваются на основании наблюдений над характером разрушения конструкции или ее моделей.

Выбор критических объемов производится с учетом геометрии реальной конструкции, вида нагружения, а также механических характеристик композита. Введение промежуточного масштаба геометрического подобия позволяет более гибко описать явлениемасштабного эффекта.

Первая часть допущения 3 не требует специальных комментариев. Вторая часть позволяет приближенно принять, что разрушениеодного первичного элемента не влияет на поведение остальных. Таким образом, на данной стадии рассмотрения не учитываются вероятности одновременного обрыва двух или болееэлементов, прогрессивного развития трещины и т. п. Допущения 4 вводятся лишь для того, чтобы обосновать применение предельных теорем теории вероятностей и переход к асимптотическим распределениям. Экспериментальным основанием для этих допущений могут служить наблюдения над процессом последовательного разрыва волокон вмеханических моделях однонаправленных композитов.

Рассмотрим критический объем V0, содержащий N структурных элементов. Функция распределения F (s) может быть истолкована как вероятность разрушения наугад взятого структурного элемента при номинальном напряжении, непревышающем 5. Отсюда вероятность события, состоящего в том, что из N элементов будет разрушено не менее чем п элементов, определяется как n nk k PN = C F (s)[1- F (s)]N-k. (5.3.1) N k=k n Здесь CN - биноминальные коэффициенты. При не очень малых для приближенной оценки вероятности (5.3.1) используем центральную предельную теорему. Для меры микроповреждений = n / N получим асимптотическое распределениевероятности:

- F )( F,( ) -1, (5.3.2) (( )[1 - FF ( )]N ) где Ф (и) — функция нормированного распределения Гаусса, т.е.

u 1 z (u) = exp-.

dz (2 )1/ 2 - Из формулы (5.3.2) видно, что математическое ожидание меры повреждения E ( ) и коэффициент вариации этой меры w ( ) асимптотически [ ] выражаются через функцию распределения F (s) и число первичных элементов N следующим образом:





1 - F )( )( ] E[ F )(. (5.3.3) w )( NF )( Рис.5.6.

Зависимости плотности распределения p ( ) меры микроповреждений от номинального напряжения (a) и числа структурных элементов N( ).

Графическоевыражениеформул (5.3.2) и (5.3.3) приведено на рис. 5.6.

По оси ординат отложена плотность вероятности p ( ) =F ( ; )/, рассматриваемая как функция номинального напряжения и числа первичных элементов N. Вычисления выполнены в предположении, что прочность структурных элементов подчиняется распределению Вейбулла s -, (5.3.4) F (s) =1- exp sc где и - некоторые постоянные. С ростом напряжения а sc распределение(5.3.2) становится более компактным. Аналогичный эффект наблюдается с ростом числа первичных элементов N, т. е. с увеличением критического объема, ответственного за прочноеть тела в целом, или уменьшением масштаба структуры.

Согласно допущению 3, функция распределения разрушающего напряжения для критического объема V0 может быть * выражена через функцию распределения меры повреждений (5.3.2).

Несмотря на то что в формулу (5.3.5) входит функция распределения Гаусса, эта формула дает для разрушающего напряжения распределение, * котороесущественно отличается от нормального. В частности, поскольку по условию разрушающее напряжение структурных элементовраспределено на положительной полуоси, то и разрушающее напряжение для * критического объема также распределено на положительной полуоси.

(F ) * * F* ( ) 1-. (5.3.5) * F( ( 1 F) ( N) ) * * Некоторые выводы качественного характера можно сделать при анализе формулы(5.3.5): вчастности, с ростом числа структурных элементовN распределение F*( ) становится более компактным, причем при N * коэффициент вариации разрушающего напряжения стремится к нулю.

w В рассмотренной модели характерный масштаб образца или конструкции влияет на разрушающую нагрузку. Если материал тела таков что кри, тический объем, определяющий прочность тела в целом, совпадает с объемом тела, то прогнозированиемасштабного эффекта (в том числеи при высоких показателях надежности) может быть проведено на основе формул типа(5.32), (5.3.3) и (5.3.5). При этом из теории следует повышение надежности с увеличением масштаба, что происходит главным образом за счет уменьшения разброса характеристик прочности и долговечности при относительно слабом уменьшении их средних значений.

Пусть тело объемом V состоит изт критических объемов V1,V2,...,Vm. В рамках допущения (2) разрушениетела произойдет, как только в одном из этих объемов мера повреждения достигнет предельного значения. Номинальные напряжения могут изменяться при переходе от одного критического объема к другому. Но если все нагрузки заданы с точностью до одного параметра а, то функция распределения для каждого критического объема может быть выражена через этот параметр по формулам типа(5.3.5).

Обозначив функцию распределения для объема через F*k( ), получим Vk * k для функции распределения F**( ) тела в целом выражение ** m F**( ) =1- - F*k ( ).

** 1 ** k =(5.3.6) Формула (5.3.6) выражает концепцию «слабого звена», примененную на уровнемакрообъемов V1,V2,...,Vm. С увеличением числа этих макрообъемов (при прочих равных условиях) надежность системы уменьшается. Таким образом, рассматриваемая модель объединяет две противоположные тенденции масштабного эффекта и поэтому обладает большой гибкостью.

Гибкость модели возрастает за счет значительной свободы в выборе размеров, формы и расположения критических объемов.

Рассмотрим множествогеометрически подобных телизодного и того же композита. Характерный масштаб тела обозначим через L. Пусть функция распределения разрушающего напряжения (усилия) для тела описывается зависимостью (5.3.5) F**( ). Если при изменении L все критические ** объемы изменяются пропорционально L, то масштабный эффект будет определяться только числом первичных элементов (рис, 5.7, а), т.е. имеет место зависимость квантилей распределения F**( ).

** ** Противоположный случай возможен, когда размеры критических объемов не зависят от L, тогда масштабный эффект определяется в соответствии c концепцией «слабого звена» (рис. 5.7, б). Размеры и форма критических объемовмогут достаточно произвольно зависеть от масштаба длины L.

В частности, можно указать условия, при которых изменениеквантилей высокой надежности будет немонотонным (рис. 5.7, в). Размеры и форма критических объемов должны выбираться на основании изучения механизма разрушения геометрически подобных телразного масштаба, что является условием успеха при прогнозировании надежности крупногабаритных конструкций.

Рис. 5.7. Масштабный эффект прочности композита:

а — все критические объемы пропорциональны L3; б — размеры критических объемов не зависят от L; в — общий случай зависимости критических объемов от L.

Основная литература 1.Очков В.Ф. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеровВ.Ф. Очков. - / М.: Компьютер Пресс, 1999.-522 с.

2.Иванищева О.И. Алгоритм статистического моделирования взадаче разрушения армированной пластины/ О.И. Иванищева// Математическоемоделированиетехнологических систем: Сб. науч. тр.

/Воронеж. гос. технол. акад. - Воронеж,1999 Вып.3.-С.142-145 с.

3.Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике/В.З.Партон.-М.Наука,1990.- 238 с.

4.Витвицкий П.М., Прочность и критерии хрупкого разрушения стохастически дефектных телП.М. Витвицкий, С.Ю. Попина. - Киев:

/ Наук. думка,1980. -187с.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.