WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

2) Если законы распределения углов ориентации и длин трещин l равномерные, то расставить пределы интегрирования в (1.6.5);

3) При этом рассмотреть следующиеслучаи:

A A a) двухосное растяжениедля < < 10 и p ;

d d A b) двухосное растяжениедля < < 10 и p < ;

d c) двухосное симметричное растяжение ( = 1, = qp > 0 );

A A d) растяжениесжатие (,p q > 00, ( -1,0 ), p ; );

- d d 4) Составить алгоритм расчета зависимости от переменной p, параметра Fn нагрузки и числа трещин n, предусматривающий случаи а)-d).

5) Рассмотреть следующиеварианты законовраспределения величин и l :

a) равномерное распределение длин трещин;

b) линейно убывающее распределениедлин трещин.

6) По результатам численного эксперимента сделать выводы о влиянии способа нагружения, числа трещин, распределения их параметровна величину вероятности разрушения пластины со стохастической системой трещин. При этом ответить на следующие вопросы:

- какой закон распределения длин трещин обеспечивает большую прочность при заданном виде нагружения;

- какой вид нагружения пластины является наиболее опасным при заданном законераспределения параметров трещин;

-как влияет количество трещин (а следовательно, величина объема пластины) на ее прочность.

1.8. Варианты заданий.

Вид тещин Распределение длин Вид нагружения Вар.1 открытые равномерное двухосное растяжение Вар.2 закрытые равномерное двухосное растяжение Вар.3 открытые линейно убывающее двухосное растяжение Вар.4 закрытые линейно убывающее двухосное растяжение Вар.5 открытые равномерное двухосное растяжение Вар.6 закрытые равномерное двухосное растяжение Вар.7 открытые линейно убывающее двухосное растяжение Вар.8 закрытые линейно убывающее двухосное растяжение Вар.9 открытые равномерное двухосное симметричное растяжение Вар.10 закрытые равномерное двухосное симметричное растяжение Вар.11 открытые линейно убывающее двухосное симметричное растяжение Вар.12 закрытые линейно убывающее двухосное симметричное растяжение Варианты выбора функций.

22 1) (sin ) – для случая открытой трещины;

,( ) cos 2) ) sin,(, ) 2 (( 1 2 sign p (sin2 cos )) 1– для закрытых трещин, где - коэффициент трения берегов трещины;

3) (f l ) - равномерное распределение длин трещин ( l0 d );

d 2 l 4) lf )( ( 1 -= )-линейно убывающее распределение длин d d трещин. 0( dl ) 2. Компьютерное моделирование закона распределения предельных напряжений впластинесо стохастической системой трещин.

2.1. Постановка задачи.

Располагая видом функции распределения разрушающих напряжений n для пластины, ослабленной трещинами, можно получить выражение для закона распределения предельных напряжений.

Рассмотрим пластину из статистически однородного материала, содержащую систему невзаимодействующих трещин случайной длины и ориентации. Предполагается, что трещины рассеяны по объему пластины равномерно. Законы распределения геометрических параметров трещин считаются заданными.

Пластина находится в однородном плоском поленапряжений,p q = p Требуется установить зависимость плотности распределения предельных нагрузок от числа трещин, величины, приложенных к пластине усилий, параметра нагружения.

2.2 Порядокпостроения закона распределения предельных нагрузок.

1) Рассмотреть зависимости (1.6.5),(1.6.6), выбрав варианты законов распределения геометрических параметров трещин, и функцию (f ) (f l ),( ) ;

2) Привести полученные зависимости к безразмерному виду, введя новую переменную = pp d / A;

3) Установить явный вид пределов интегрирования в (1.5.5),(1.5.6) и получить выражениедля функции распределения предельной нагрузки Fn для пластины, содержащей n трещин;

F p 4) Найти производную по переменной, представляющую собой n искомую плотность распределения f p(, ) (использовать средства n Mathcad [1]);

5) Провести компьютерное моделирование полученной плотности распределения.

2.3. Выбор параметрови целей моделирования.

1) Закон распределения углов ориентации трещин положить равномерным f (( ) = 1 / ).

2) Рассмотреть следующиевиды законов распределения длин:

a) равномерный;

б ) линейно убывающий;

в) монотонно убывающий.

3) Рассмотреть следующиевиды нагружения:

a)одноосное растяжение = 0 )( ;

б )двухосное симметричноерастяжение = 1 )(.

f p 4) Составить алгоритм расчета зависимости от переменной и числа n трещин n для различных законов распределения геометрических параметров трещин и разных видов нагружения.

5) По результатам моделирования сделать вывод о влиянии способа нагружения, числа трещин и вида распределения их параметров на величину плотности вероятности предельной нагрузки для пластины со стохастической системой трещин. При этом ответить на следующие вопросы:

p a) при каком значении функция pf )( достигает наибольшего значения n при заданных, n и lf )( ;

б ) как влияет количество трещин на наиболее вероятное значение прочности при заданных и lf )( ;

в) как изменяются координаты точки максимума кривой pf )( при n увеличении и фиксированном n ;

г) как влияет вид нагружения на наиболее вероятное значениепрочности пластины.

2.4. Пример одноосного нагружения.

= Пусть нагружениеявляется одноосным, т.е.. Функция,( ) имеет вид ) (sin ) /1 2.

,( cos Распределениедлин трещин примем линейно убывающим 2 l lf )( (1 -= ).



d d Тогда функция распределения разрушающих напряжений для пластины, ослабленной n трещинами, имеет вид 2 A A4 A2 2 A2 A2 A Fn (p,0) 1 arcsin (1 ) 1 )n, p.

( dp 3 p d p d d p2d p2d /1 2 /1 Вводя обозначение pdu A/, F u(,0 )A / d (F u,0 ), получим n 12 4 1 2 (F u, ) 10 arcsin ( 1 ) 1 )n 1 u, ( 3 u uu u2 uКривые функции распределения, представленные на рис.2, могут быть построены средствами Mathcad [1], и дают представление о том, как увеличение количества трещин ведет к возрастанию скорости изменения вероятности разрушения. Соответствующая плотность распределения fn u(,0 )A / d f ( u,0 ), представленная кривыми на рис.n при различных значениях, показывает, что с ростом числа трещин наиболее вероятное значениепрочности уменьшается.

0.F ( u, 20 ) 0.F ( u, 50 ) 0.F ( u, 100 ) 0.1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.u Рис.Кривые зависимости функции распределения разрушающих нагрузок при различном количестве трещин в материале в случае одноосного растяжения.

5.5.f1 ( u, 40 ) 4.f1( u, 40) f1 ( u, 70 ) 4.f1 ( u, 2.f1()u, 70) 2.f1( u, 100) 1..10 1.353865 1.1 1.16 1.32 1.48 1.64 1.u 1.. 1.1.1 1.16 1.32 1.48 1.64 1.u 1.Рис.Кривые плотности распределения предельной нагрузки в случае одноосного растяжения.

2.5.Варианты заданий.

Вар.1 Вар.2 Вар.3 Вар.Распр. длин Равномерн. Линейно Равномерное Линейно трещин убывающее убывающее Распр.углов Равномерн. Равномерное Равномерное Равномерное ориентации Вид Одноосн. Двухосное Симметрич. Одноосное нагружения pастяжен. нагружение двухосное растяжение растяжение 3.Компьютерное моделирование предельного состояния в пластине с рассеянными трещинами ограниченной длины.

3.1 Постановка задачи.

Определив соответствующие статистические характеристики разрушающих напряжений, можно построить критерии разрушения при плоском напряженном состоянии. В частности, уравнения кривых предельного состояния, выраженные в средних значениях разрушающих напряжений, имеют вид p max( ) pp )( 1 F p(, p ( ))ndp, q min 1. ( 3.1.1) p min( ) Уравнениепредельной кривой, соответствующей заданной вероятности разрушения, определяется равенствами n (f,l d) 1 q, dl 1 p. (3.1.2) /1 Ak,( ) p Эти формулы являются принципиальным решением задачи при плоском напряженном состоянии. Для конкретных расчетов необходимо задать плотность распределения параметровдефектов (f, ) и функцию,( ), отражающую структуру материала и условия элементарных разрушений в окрестности отдельных дефектов Вид предельных кривых зависит от этих.

функций.

Для оценки предельного состояния пластины, находящейся в однородном плоском поле напряжений p,q p, решим следующие задачи:

1) Определим среднее значениеразрушающей нагрузки для пластины с трещинами;

2)Построим кривые зависимости математических ожиданий разрушающей нагрузки от числа трещин и величины параметра нагружения;

3)Построим предельные кривые для ряда значений n.

3.2 Порядок построения кривых средних разрушающих напряжений и их анализ.

1) Найти значения p, p.

min max 2) Для определения вида функцииF p(, ) выбрать варианты законов распределения (f ), (f l ).

3) Рассмотреть зависимость (1.5.5).

4) Произвести интегрированиепо переменной l.

5) Определить границы области L.

6) Получить явный вид зависимости математического ожидания предельной нагрузки от параметра нагрузки, количества трещин n и их геометрических характеристик, используя (3.1.1).

7) Построить кривые предельного состояния. Для этого при фиксированном n для каждого значения найти совокупность величин dp / A, q d / A. В плоскости,p q они опишут значения координат предельной кривой средних разрушающих напряжений.

8) На основе полученных данных сделать вывод о характере изменения математического ожидания предельных нагрузок при соответствующем изменении параметров. При этом ответить на следующиевопросы:

-какой вид нагружения пластины является наиболее опасным при заданном законераспределения длин трещин;

-как влияет количество трещин на величины p и q ;

-как влияет закон распределения длин трещин на вид кривых pp ( n), p q( n), q q( ),описываемых такими функциями;

p( ), q -располагая предельной кривой средних разрушающих напряжений, указать безопасные для данной пластины виды нагружения.

3.3 Варианты выбора функций и параметров.

Распределениедлин трещин:

а) равномерное ;

б) линейно убывающее.

Распределение углов - равномерное.

Напряженное состояние:

а) одноосное растяжение 0 );

( б) симметричное двуосноерастяжение 1 ).

( 4.Задача разрушения вусловиях стохастической анизотропии Рассматриваются различные ориентации стохастической текстуры и их влияниена статистические характеристики предельной нагрузки.

Используется способ численного исследования, предложенный в [2] и основанный на методах статистического моделирования[5].

4.1. Модель стохастически анизотропного материала Рассмотрим пластину из упругого материала, армированного жесткими прямолинейными включениями. Предположим, что включения невзаимодействуют междусобой и имеют случайные длину s2 и угол относительно оси ординат. Будем считать, что для углов ориентации включений не все значения равновероятны, а есть некоторое преимущественное направление которое составляет с осью абсцисс угол,. Такая текстура обусловливает структурную анизотропию материала и может быть описана, если распределение углов подчиняется, например, нормальному закону с параметрами и f. (4.1.1) exp Здесь - среднеквадратическое отклонение углов ориентации включений от направления, определяемого углом. Будем считать, что s случайные величины и независимы и закон распределения (, sf ) известен.





Пусть пластина находится в однородном поле напряжений, x = состоит в определении предельных значений величин. Задача xy,.При этом под предельными будем понимать такиенапряжения, при x y которых происходит локальное разрушениематериала [4].

Воспользуемся критерием разрушения для однородной пластины, содержащей одно включение [4] max,,,,, s K, (4.1.2) y где = lim ( r ), - компонента тензора напряжений в местной r r rполярной системе координат r,, помещенной в конце включения, K - постоянная материала, характеризующая его сопротивление зарождению трещины, -коэффициент Пуассона.

Из (4.1.2) критическое значение можно получить в виде y. (4.1.3),K, y s В (4.1.3) аналитический вид функции зависит от сочетания значений параметров. Поскольку величины s и, входящиев (4.1.3) являются случайными, то и предельноезначение при заданном для элемента y пластины с одним включением есть случайная величина, изменяющаяся в некоторых пределах, Здесь ( ) есть. ( ), == min max min min max max минимальное и максимальное значения по двум переменным s и.

y Определим функцию распределения ( ) критических значений, y y принимая закон распределения для s равномерным f s s. (4.1.4) s Здесь - пределы изменения длин трещин. По определению имеем, KP,,, (4.1.5) y y s где Р обозначает вероятность.

Так как с учетом (4.1.1) и (4.1.4) совместная плотность распределения и s определена, то из (4.1.5) следует (4.1.6) ff ds ds y s G G s В (4.1.6) область, определяет такиезначения величин и, которые являются решением неравенств (K ),, s (4.1.7) y G Из (4.1.7) следует, что область, зависит от параметра нагружения, K механических характеристик среды и, размеров включений и величины.

y Рассмотрим функцию ( ) в виде,, 21, (4.1.8) cosr 11 r 2 2, что соответствует условиям 0, (4.1.9).

y Так как величина удовлетворяет очевидному неравенству cos 12, то решение системы (4.1.8)-(4.1.10) существует, если выполнены условия K K 1, 1. (4.1.10) y y r 2r Кроме того,, (4.1.11) min y max где K(1 + ) K(1+ ) =, =. (4.1.12) min max r(12 - ) ( )(11 -+ ) Таким образом, область G определяется системой условий (4.1.7) (4.1.12). Рассматриваемая пластина содержит n включений, поэтому в качестве предельной нагрузки для всего тела можно рассматривать наименьшее из возможных значений случайной величины, если y воспользоваться известной гипотезой наименее слабого элемента.

Очевидно, что такое значение дает возможность установить границы y нагрузки, превышение которой может привести нетолько к локальному, но и к глобальному разрушению. Такое значение будем рассматривать y как предельное для всего тела. В этом случае предельное значение min{ }, где i,,21,...n есть возможные,,..., y y y21 yn yi значения случайной величины, определяемой равенством y (4.1.3).Функция распределения предельных значений для всего тела y примет известный вид n, (4.1.13) n yy откуда легко получается и плотность распределения n p n 1. (4.1.14) yn y y G Остается провести интегрирование по области, границы которой принимают тот или иной вид взависимости от сочетания определяющих их параметров,,. Облегчить задачу позволяет метод, основанный,, K, 0 y на численном моделировании случайных величин [2,5].

4.2.Метод статистического моделирования в оценке предельных характеристик.

Рассмотрим прямоугольную область В, определяемую границами,s 22, (4.2.1) которая содержит областьG.

Пусть в области В равномерно распределена случайная точка ( ), s с плотностью f = ( - ).

Очевидно, что равномерно распределена также в области G с плотностью,( sp ) =, SG где SG - площадь области G. Перепишем (4.1.7) в виде,,,, K,,,, I,,, f,, s (p, s )d ds, K,, y 00 y G где,f,, K,,, f ( ) fs s( )SG (4.2.2), 0 y Очевидно, что последний интеграл представляет собой математическое ожидание случайной величины fz, s,,, K,,,,.

0 y (,i 21,...N1 - независимые реализации случайной Если s, ), i i i точки, то для рассматриваемого интеграла можно использовать оценку [5] I, (4.2.3) Nгде SG N (f si ). (4.2.4) N1 N1 f i i NЗдесь - количествореализаций случайной величины, попавших в G область. В (4.2.4) входит неизвестная величина S и вновь возникает проблема отыскания границ областиG. Поэтому определим площадь следующим образом. Обозначим через N число случайных SG точек, равномерно распределенных в области B. Если N велико то, BS N1 N, где B -площадь области B. Теперь оценка (4.2.4) имеет G вид B N (f si ) (4.2.5) N1 N f i i Можно показать, что она является несмещенной и состоятельной.

Для реализации метода достаточно визвестной прямоугольной области В разыграть N значений случайной величины и непосредственной Nпроверкой определить значение, которое равно количеству точек ( ), координаты которых удовлетворяют системе условий (4.1.7), sii (4.1.12). В таком случае отпадает необходимость решения этой системы, а алгоритм расчетов оказывается достаточно простым.

4.3. Численный анализ плотности распределения предельной нагрузки для материала со стохастической текстурой.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.