WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Компьютерное моделированиевстохастических задачах хрупкого разрушения Пособиек курсу и лабораторному практикуму «Алгоритмы стохастических задач хрупкого разрушения» Для студентов и магистровпо специальностям прикладная математика и информатика 010200 и механика 510300,010500 Воронеж 2003 2 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики от 26 мая 2003 г., протокол № 6.

Составитель Иванищева О.И.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной механики факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов и магистров 4,5 курса.

3 Пособие демонстрирует прикладноезначение методовтеории вероятностей и предназначено для курса «Алгоритмы стохастических задач хрупкого разрушения». Оно содержит положения теории хрупкого разрушения микронеоднородных тел основанные на статистическом подходе и, использующие аппарат теории вероятностей. При этом демонстрируется комплексный подход, основанный на сочетании детерминированных критериевхрупкого разрушения и случайном характере дефектов.

В пособии представлены подробные методическиеуказания к построению алгоритмов расчета вероятностных характеристик прочности тел с произвольным стохастическим распределением дефектов снабженные, примерами.

Кроме того, разработан порядок выполнения лабораторных работ по проведению численного эксперимента на основе реализации рассмотренных алгоритмов и варианты заданий к лабораторным работам.

В заключение приводится краткий обзор монографий и статей, которые могли бы быть полезны для дальнейшего знакомства с механикой разрушения и получения самостоятельных результатов.

4 Содержание 1. Компьютерное моделирование в задаче оценки предельных напряжений пластинесо стохастической системой трещин 5 1.1 Стохастическая модель материала 1.2.Определениеразрушающих нагрузок 1.3. Некоторые критерии разрушения телс одним дефектом 1.4. Схема определения вероятности разрушения при заданном нагружении 1.5.Постановка задачи о разрушении пластины со стохастической системой трещин 1.6.Алгоритм построения функции распределения предельных нагрузок 1.7.Порядок выполнения численного эксперимента по анализу функции распределения предельных напряжений 1.8.Варианты заданий 2.Компьютерное моделированиезакона распределения предельных напряжений впластинесо стохастической системой трещин 2.1. Постановка задачи 2.2. Порядокпостроения закона распределения предельных нагрузок 2.3. Выбор параметрови целей моделирования 2.4. Пример одноосного нагружения 2.5. Варианты заданий 3. Компьютерное моделирование предельного состояния в пластине с рассеянными трещинами ограниченной длины 3.1. Постановка задачи 3.2. Порядокпостроения кривых средних разрушающих напряжений 3.3. Варианты выбора функций и параметров 4. Задача разрушения вусловиях стохастической анизотропии 4.1. Модель стохастически анизотропного материала 4.2. Метод статистического моделирования в оценке предельных характеристик 4.3.Численный анализ плотности распределения предельной нагрузки для материала со стохастической текстурой 5. Некоторые теоретическиеположения механики разрушения 5.1. Основные понятия механики разрушения 5.2.Аналитическая механика разрушения 5.3.Стохастические модели разрушения и масштабный эффект прочности Литература В процессепотери прочности и разрушения важную рольиграют дефекты различного происхождения встроении тела, особенно трещины, остроконечные полости и инородные включения, вызывающие высокую концентрацию напряжений.

Размер, ориентация, размещение и распределение дефектов в теле как, правило, случайны. То есть реальноетело представляет собой статистический ансамбль взаимосвязанных элементов со случайными физикомеханическими свойствами и случайной дефектностью. Дефекты в реальных телах понижают их прочность, а случайность дефектности является причиной случайности значений прочности, ее разброса, зависимости средних значений прочности от размеров тела и т.д. Статистическая природа разрушения проявляется и при термофлуктуационном механизме разрушения, поскольку процесс тепловых флуктуаций стохастический.

Дефектность и случайность - два взаимосвязанных свойства строения реальных тел, не отделимые от сущности процесса их разрушения. Совместный учет этих факторов при учете прочности и построении критериев разрушения твердых тел - актуальная проблема, которая может быть решена на основе вероятностно-статистического подхода.

1. Компьютерноемоделирование взадачеоценки предельных напряжений в пластинесо стохастической системой трещин 1.1 Стохастическая модельматериала Один из эффективных и удобных способов описания микроскопически неоднородного материала основан на вероятностном подходе.

Будем рассматривать материал как сплошную среду, в которой рассеяны дефекты типа трещин или жестких включений. Можно также считать, что он состоит из первичных (микро) элементов каждый из которых может быть, ослаблен только одним дефектом определенного сорта. Параметры, определяющие размеры и расположение дефектов в наугад выбранном элементе, - случайные величины. Случайной может быть и характеристика (или характеристики) сопротивляемости элемента зарождению и развитию трещин.

Упругие характеристики среды принимаются постоянными. Это позволяет применять обычные методы теории упругости для определения напряженно- деформированного состояния телиз такого материала. Дефекты считаются изолированными. Очевидно, что случайный характер внутренней геометрии определяет разброс прочностных свойствматериала, поэтому следует обсудить, что принять вкачестве предельной нагрузки.



1.2. Определениеразрушающих нагрузок.

Для тела абсолютно безопасны такие нагрузки, при которых дефекты не развиваются. Максимальную из таких нагрузок назовем предельной для данного тела. Максимальная нагрузка, невызывающая еще разрушения в окрестности отдельного (изолированного) дефекта в элементе тела, называется предельной для данного элемента (дефекта). Таким образом, принимается, что предельная нагрузка для тела совпадает с предельной нагрузкой наименее прочного его элемента.

Следует обратить внимание что предельная нагрузка не тождественна, нагрузке вызывающей глобальноеразрушение тела, но она дает возможность, установить величину безопасной для данного тела нагрузки, превышение которой может привести не только к локальному, но и к глобальному разрушению тела.

1.3. Некоторые критерии разрушения телс одним дефектом.

1.3.1. Критерий Гриффитса.

Основы теории трещин и механики хрупкого разрушения твердого тела с заданными дефектами заложены вработе Гриффитса, согласно которой длина 2l p трещины в бесконечной пластине и разрушающие напряжения, приложенные далеко от трещины и перпендикулярно к ней, связаны соотношением ET p, l где Т – поверхностная энергия материала, Е – его модуль Юнга.

Как видно, чем больше размер трещин, тем меньше разрушающая нагрузка.

1.3.2. Предельное равновесие пластины с произвольно ориентированной трещиной при двухосном напряженном состоянии.

Пусть бесконечная изотропная пластина толщиной Н ослаблена 2l прямолинейной сквозной трещиной длиной и подвергнута растяжению- p q = p сжатию однородными внезоны влияния трещины напряжениями и, действующими во взаимно перпендикулярных направлениях. При этом p напряжения направлены под углом к плоскости трещины (плоскость трещины нормальна к плоскости пластины, рис.1).

Для определения предельных напряжений,p q удобно использовать условие которого следует, что для открытых трещин, из K c 2 p sec (cos (sin2 ) 1( )sin2 sin ) ;

cos2 2 2 l 2 /1 1( )sin(1 1 ) 8v * arctg2 ; v, v4 sincosа для закрытых трещин Kc p (( 1 sign p (sin2 cos2 )).

)sin2 l Здесь - постоянная, характеризующая сопротивлениематериала развитию Kc трещины, и трение берегов трещин не учитывается. Условие предложено такими известными авторами, как Панасюк В.В., Бережницкий Л.Т.,Черепанов Г.П.,Эрдоган и Си.

При одноосном растяжении для открытых трещин эти результаты получили хорошееэкспериментальноеподтверждение.

Основываясьна энергетических соображениях Гриффитса, Массаковский В.И.

и Рыбка М.Т., получили следующую формулу для предельных напряжений в случае распространения трещины в своей плоскости A p,( ); A K /, c l где (sin ) cos2 (1.3.1),( ) ((2 1 )2 ) -в случае открытых и закрытых трещин соответственно.

1.4.Схема определения вероятности разрушения тела при заданном нагружении.

Рассмотрим подход к определению вероятности разрушения, предложенный в [4].

Прочность дефектного элемента материала при заданном нагружении зависит от сопротивления континуума разрушению, от сорта дефекта и величин его геометрических параметров.

Для прямолинейных трещин вплоской задачегеометрическими параметрами являются длина 2l и угол ориентации. Плоские поверхностные трещины можно определить длиной, глубиной и двумя углами (всего четыре параметра).

Величину сопротивления материала развитию трещин обозначим через Kc.

l Согласно модели, величины и являются случайными, изменяющимися в определенных пределах. Считаем, что для данного материала известна функция совместного распределения,( lF,Kc ) этих величин или их совместная плотность,( lf, Kc ). Вид этих функций зависит от структуры и технологии изготовления материала. Определяющие параметры могут быть статистически зависимыми или независимыми. Например, в результате вытяжки материала междуразмером и ориентацией дефектов существует определенная корреляция.

Пусть условие предельного состояния первичного элемента, содержащего один дефект, известно. Оно представляет собой зависимость между определяющими геометрическими параметрами и прочностными характеристиками дефектного элемента и действующей на него нагрузкой. Эта детерминистическая зависимость должна быть известна из решения соответствующей задачи теории предельно-равновесных дефектов.

Для невзаимодействующих дефектов ее можно взять из решения задачи о бесконечном теле с одним дефектом.

При однородном напряженном состоянии предельные значения главных напряжений pp,, p3 могут быть представлены в виде = pp,(,l, Kc ), = pp2 1, = pp (1.4.1), 11 Считая и фиксированными, имеем один параметр нагрузки. Из (1.4.1) следует, что значение предельной нагрузки тоже будет случайным, изменяющимся в определенных пределах от p1 min до p1 max.

Функция распределения вероятностей предельной нагрузки на элемент определится следующим образом F p( f) (,l,K d) dldK (1.4.2) 1 1 c c,(,l,,K p) c Здесь интегрирование производится по всей трехмерной области значений,, Kl, для которых соблюдается неравенство.

c,(,l,,Kc p) (1.4.3) При фиксированных p1,, значение функции pF,(, равно ) 1 ~p вероятности разрушения какого-либо элемента при нагрузке,не pпревышающей заданного значения. То есть в заданном поле напряжений p1,, = pp2 1, = pp значение pF,(, дает вероятность разрушения ) 13 1 элемента вэтом поле ~ F1 p(,, ) P( p p1 ) (1.4.4) Функцию pF,(, можно представить и как функцию распределения ) пределов прочности элементов материала в заданном поле напряжений.





Рассмотрим тело объемом V, которое в среднем содержит первичных nэлементов в некоторой единице объема. Тело объемом можно V V рассматривать как случайную выборку объема n изгенеральной совокупности первичных элементов материала. Поскольку, как принято выше, предельная нагрузка для тела равна предельной нагрузке наиболее прочного его элемента, то функцию распределения предельной нагрузки F p( ) для телобъемом V n можно найти по формуле для распределения минимального члена выборок, состоящих из n элементов генеральной совокупности элементов, описываемой функцией F p(,, ) 1 Vn o V pF,(, -= (11 - F11 ) ( p1,, )) (1.4.5) n Значение функции pF,(, ) равно вероятности P локального n разрушения тела объемом V под действием заданного однородного сложного поля напряжений pP,(, Fn( p11 ) =,, ) (1.4.6) Определениеэтой вероятности составляет одну изглавных задач расчета на надежность.

1.5 Постановка задачи о разрушении пластины со стохастической системой трещин.

Пусть тело в виде пластины толщиной H и площадью S находится под действием двухосного растяжения, сжатия или растяжения- сжатия в двух взаимно-перпендикулярных направлениях однородными усилиями p и q. Эти усилия можно рассматривать как главные напряжения, действующие в пластинчатом элементе тела при плоском напряженном состоянии. Будем считать, что вматериале пластины прямолинейные трещины случайной длины и ориентации равномерно рассеяны, но так, что не 2l взаимодействуют между собой. Дефекты характеризуются длиной и углом ориентации по отношению к некоторому фиксированному направлению, p которым является направлениеусилий.В общем случае, можно принять, что случайная полудлина дефектов изменяется внекоторых пределах от d0 до d, d, так как где d0 и -структурные константы материала.Угол [- 2/ ; / 2] оба конца прямолинейного дефекта воднородном поле напряжений находятся в одинаковых условиях. Сопротивление материала пластины зарождению или развитию трещин для простоты предположим везде одинаковым (материал пластин однородный).

Считаем, что функция распределения и плотность распределения,( lF ) и,( lf ) известны.

Величину предельной нагрузки для изолированного дефекта впластине при двухосном растяжении выберем в виде A p,),( ==. pq, (1.5.1) l где A - постоянная, характеризующая сопротивление континуума пластины зарождению или развитию трещины, ),( - известная функция, вид которой зависит от природы дефекта, области значений и, подхода к решению задачи о предельном состоянии, коэффициента внутреннего трения между берегами трещины и др.

Задача состоит в исследовании функции распределения предельных напряжений.

1.6Алгоритм построения функции распределения предельных нагрузок.

Поскольку величины и l являются случайными, то предельная нагрузка p при заданном для элемента пластины с одним дефектом также случайная величина, изменяющаяся от pmin до p. Последние определяются на max основании формул (1.6.1) как минимальноеи максимальноезначения по двум l переменным и A A ( ), pmax pmin )( = min )( = max (, ). (1.6.1), d d В этом случае формула (1.3.2) для распределения вероятностей разрушающей p нагрузки элемента пластины с одним дефектом примет вид F p(, ) f (. (1.6.2),l )d dl, pmin pp max /1 Al,( ) Здесь интегрирование осуществляется по тем возможным значениям ; и dl, d, для которых выполняется указанное ниже знака интеграла неравенство.

Двойной интеграл в (1.6.2) можно представить через повторные интегралы d p, ) ( f ( (1.6.3), l )dl )d, 1(F L pA 22 2 (, ) где L - множествовозможных значений, для которых при заданных p и должно выполняться условие (A, ) dd (1.6.4) p При стохастической независимости величин l и, когда (f, l ) f ( ) f32 ( l ), l вводя функцию lF )( распределения вероятностей величины, формулу (1.6.4.) можно преобразовать к виду (A, ) (F p, ) f21 ( )(1 ))d (1.6.5) F3 ( pL Если пластина содержит n дефектов то функцию Fn p(, ) распределения, предельной нагрузки такой пластины находим по формуле (1.4.5), которая в новых обозначениях приобретает вид Fn p(, ) F1( p, (1.6.6) ( 11 ))n При фиксированных p и эта функция определяет вероятность разрушения пластины при напряжениях p и q = p Fp p(, q ) (1.6.7) n Из (1.6.5) следует, что вобщем случае pF,( ) представляется ввиде интеграла по двумерной области. Оказывается, что определить вявном виде пределы интегрирования удается невсегда. Поэтому вычислениеинтеграла (1.6.5) представляет собой самостоятельную задачу.

1.7 Порядок выполнения численного эксперимента по анализу функции распределения предельных напряжений.

1) Выбрать вид функции ),(, соответствующий виду трещины ( открытая или закрытая), (см ниже);

2) Найти выражениедля p в явном виде (1.5.1);

3) Определить, ppmin max по (1.6.1);

4) Положить и l статистически независимыми;

5) Выбрать вид законов распределения f )( и )(lf ;

6) Найти выражениедля pF,( ) в явном виде, используя (1.6.5);

7) Определить вид функции pF,( ), используя (1.6.6);

n 8) Провести численный эксперимент для анализа зависимости функции pF ),( от параметров,, n и переменной.

d p n Порядок выполнения численного эксперимента следующий:

1) Привести (1.6.5) к безразмерному виду, введя переменную = pp d / A ;

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.