WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИЕТ Г.Д. Селезнев NNN МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГУМАНИТАРНЫХ ЗНАНИЙ Часть I Теория множеств. Числовые множества Учебное пособие по специальности 620200 «Теоретическая и прикладная лингвистика» ВОРОНЕЖ 2003 2 Утверждено научно-методическим советом факультета РГФ.

Протоколзаседания № Составитель – Г.Д. Селезнев Научный редактор – И.Е. Воронина Аннотация Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса дневного отделения факультета романо-германской филологии ВГУ, специальности «Теоретическая и прикладная лингвистика», изучающих предмет Математические основы гуманитарных знаний. В первой части пособия излагаются основы элементарной теории множеств и дается представление о числовых множествах натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел; рассмотрены некоторые свойства бесконечных числовых множеств.

Рассмотрена история развития понятия «число». Пособие снабжено большим количеством иллюстраций и примерами.

Пособие подготовлено на кафедре Теоретической и прикладной лингвистики факультета романо-германской филологии Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения очной формы обучения факультета романо-германской филологии ВГУ.

© Г.Д Селезнев © Воронежский государственный университет 3 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящее методическое Пособие разработано в соответствии с учебной Программой по дисциплине «Математические основы гуманитарных знаний». Пособие представляет собой конспект лекций по темам Программы: «Теория множеств» и «История развития понятия «число», «Числовые множества», изучение которых рассчитано на 8 учебных часов. Это первое из серии методическихпособий по «Математическим основам гуманитарных знаний».

Цель данного методического пособия состоитв том, чтобы помочь студентам – гуманитариям освоить понятия и законы элементарной теории множеств, которая является основой современной математики, и ознакомиться с историей развития понятия «число» и основными числовыми множествами. При разработке пособия автор ориентировался на студентов специальности «Теоретическая и прикладная лингвистика», однако оно может быть полезно студентам и других гуманитарных специальностей, изучающихматематику.

Содержание 1. Множества 1.1. Примеры и обозначения множеств 1.2. Множества и операции с ними 1.3. Объединения, пересечения и дополнения трех множеств 1.4. Правила действий с множествами 1.5. Мощность множества 2. Числа 2.1. Развитие понятия «число» 2.2. Пифагорейское учение о числахи законахгармонии в природе и искусстве 2.3. Развитие теории числовых множеств 2.4. Возможные и невозможные действия с числами 2.5. Бесконечность числовых множеств Классы бесконечных множеств и континуум – гипотеза. Литература 1 Множества 1.1 Примеры и обозначения множеств Множество – другими словами – совокупность, набор, собрание элементов, объединяемых по какому-либо признаку. Это не определение понятия «множество», т.к. слова «совокупность», «набор», «собрание» - всего лишь синонимы слову «множество». Понятие «множество» - неопределимое, первичное понятие, значение которого раскрывается, становится понятным при его употреблении. Например, множество студентов, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы, множество точек на окружности и внутри ее. Если элементх принадлежитмножеству А, то пишут х А; если элементх не принадлежит А, то пишут х А. Символ представляет собой стилизованный вариант греческой буквы (эпсилон) – начальной буквы слова «элемент».

Часто множество обозначается с помощью фигурных скобок, в которых перечисляются его элементы, точнее знаки этихэлементов, например B = {кот, пес, осел, петух}, Cyr = {А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ь, Ы, Ъ, Э, Ю, Я }.

Множество можно обозначатьуказанием свойств его элементов, например, B = {b | b – бременские музыканты}, Cyr = {N | N – прописная буква русского алфавита}.

Вертикальную черту | можно читать как «такой, что». Не следует путатьобозначения x и {x}. Здесь{x} – это множество, а х – единственный элементэтого множества.

x M элемент х принадлежит множеству М y M элемент y не принадлежит множеству М Множество каких-то чисел Множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … } Множество точек Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают. Примеры пустых множеств: множество людей старше 300 лет, множество тупых углов равностороннего треугольника, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0.

Множество может содержать бесконечное количество элементов. Примеры бесконечных множеств: множество всех чисел, множество точек прямой линии.

Нередко одно множество оказывается частью – подмножеством (не путать с элементом!) другого множества. Например, множество синиц является подмножеством птиц, а множество четных чисел является подмножеством множества натуральных чисел. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.

Для обозначения этой ситуации применяется знак. Запись В А означает, что В является подмножеством А, или, как иногда говорят, В содержится в А, или А включает в себя В. ЗаписьВ А эквивалентна записи А В. Знак напоминает знак <, указывая на то, что множество В содержитменьше элементов, чем А. Если два множества содержатодни и те же элементы, то ихназывают эквивалентными и пишут А = В. Тотслучай, когда А = В или А В обозначают А В.

Символом - обозначается пустое множество, т.е. множество, не содержащее элементов.



Символом обозначается - множество «универсум», т.е. множество объектов данной теории и содержащее ВСЕ объекты, рассматриваемые в этой теории. Например, это могут бытьВСЕ натуральные числа = N, а Е – четные числа, тогда N E.

1.2 Множества и операции с ними Множества можно различными способами комбинировать и получать другие множества, подобно тому, как разные операции над числами (сложение, вычитание, умножение…) приводят к другим числам. Подобно тому, как теорию арифметическихопераций называют алгеброй, теорию операций с множествами можно назвать алгеброй множеств.

ОБЪЕДИНЕНИЕ множеств А В = С Элементы множества С – это все элементы, которые принадлежатмножествам А или В.

Множество людей = M W B G ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств А В = С Элементы множества С – это все элементы, которые принадлежатмножествам А и В.

Китайскте студенты = Q = C S ВКЛЮЧЕНИЕ множеств S F Если элементы принадлежатмножеству S – то они принадлежати множеству F.

ДОПОЛНИЕ множеств А = Элементы множества – это все элементы, которые не принадлежат множеству А Л = А Например, если N натуральные числа, Е – четные числа, а – нечетные числа, то N = E.

Еще пример:

Cyr = {А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ь, Ы, Ъ, Э, Ю, Я } множество букв русского алфавита, а Lat = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V,W, X, Y, Z} множество букв латинского алфавита, то множество CL = Cyr Lat = {А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, Х} это множество букв, которые являются одновременно буквами русского и латинского алфавитов;

ALP = Cyr Lat = { А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ь, Ы, Ъ, Э, Ю, Я, D, F, G, I, J, L, N, Q, R, S, U, V, W, Y, Z} это множество букв, которые являются буквами русского или латинского алфавитов. Здесь «или» не исключающее, т.е. в А В входят все элементы из А и все элементы из В.

Графически операции с множествами можно представить с помощью диаграмм Венна.

ОБЪЕДИНЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ДОПОЛНЕНИЕ А В А В А В А ИЛИ И ЕСЛИ ТО НЕ 1.3 Объединения, пересечения и дополнения трех множеств Р – все владеющие русским языком А – все владеющие английским языком Н – все владеющие немецким языком Р А – все владеющие русским и все владеющие английским языками Р Н – все владеющие русским и все владеющие немецким языками А Н – все владеющие английским и все владеющие немецким языками Р А Н – все владеющие русским, английским и немецким языками Р А – владеющие одновременно русским и английским языками Р Н – владеющие одновременно русским и немецким языками А Н – владеющие одновременно английским и немецким языками Р А Н – владеющие одновременно русским, английским и немецким языками P A H – владеющие русским, но не владеющие ни английским, ни немецким языками P A H – владеющие английским, но не владеющие ни русским, ни немецким языками P A H – владеющие немецким, но не владеющие ни русским, ни английским языками P A H – не владеющие ни русским, ни английским, ни немецким языками 1.4 Правила действий с множествами 1. Коммутативность A B = B A A B = B A 2. Ассоциативность A B C = A B C A B C = A B C ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Идемпотентность A A = A A A = A 4. Дистрибутивность A B C = A B A C A B C = A B A C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Инволюция A = A ( ) 6. Правила де Моргана A B = A B A B = A B ( ) ( ) 7. Операции с дополнениями, пустым множеством и универсумом A = A A = A = A A A = A = A A = = = 8. Импликация A B & B C A C ( ) ( ) ( ) 9. Эквивалентность A B & B A A = B ( ) ( ) ( ) Логическая операция Х & Y означает, что одновременно выполняются условия X и Y.

Операция X Y означает, что если верно X, то верно и Y.

С множествами можно производить преобразования, подобные тем, какие мы производим с числами. Даже операции с множествами иногда называют так, как называют арифметические операции: объединение множеств – сложением, пересечение – умножением. Дополнение к данному множеству подобно отрицательному числу, а отношение включения A B подобно отношению порядка для чисел a < b. Однако арифметические действия и действия с множествами все же отличаются. Так, правила дистрибутивности, позволяющие выносить за скобки общие сомножители, «работает» в арифметике только в одну сторону, т.е. верно, что ab + ac = a b + c ( ) ( ).

Но поменяйте местами сложение и умножение, и равенство перестает быть верным a + b a + c a + bc ( )( ).

А в теории множеств дистрибутивность – правило 4 – «работает» в обе стороны.

Проверьте самостоятельно, справедливы ли в арифметике правила де Моргана Примеры действий с множествами 1) A B A B = A B A B = A A B B == ( ) ( ) 2) A A A A A A A = A A A = A= A ) ) ( ) (A ( ( ) ( ( ) )= 3) A B C A B C = A B C A B C A B C A B C = D D = () () ( ) () () ( ) ( )= 1.5 Мощность множества Мощность множества А, обозначаемая M(A), – это количество элементов в нем.

Установление равномощности конечных (не бесконечных) множеств не составляет особого труда. Чтобы убедиться в том, что два множества и имеют одинаковую мощность, можно сосчитатьэлементы первого и второго и сравнить результаты подсчета.

M(S) = M(P) = Труднее это сделать с бесконечными множествами. Для этого требуется указать способ установления взаимно-однозначного соответствия элементов одного множества элементам другого множества, т.е. способ, с помощью которого каждому элементу первого множества ставится в соответствие один из элементов второго множества и при этом ни один из нихне будет пропущен.





Два множества А и В имеют одинаковую мощность, т.е. M(A) = M(B), если существует способ R установления взаимно - однозначного соответствия элементов одного множества a A элементам другого множества b B: R(a b). Этим способом устанавливается равномощность множества натуральных чисел и множества рациональных чисел, множества точек прямой и множества точек плоскости и т.п.

2 Числа 2.1 Развитие понятия «число» История развития понятия «число» тесно связана с названиями и обозначениями чисел.

До открытия натуральных чисел, множество которых бесконечно, применялись и получали наименования конечные – не бесконечные (и даже не очень большие) числа.

Воткак об этом пишется в книге А. Кондратова «Звуки и знаки».

«В некоторых книгах можно прочесть, что первобытные народы «не умеют считать до трех». Дескать, у них есть слова для числительного 1, для числительного 2, а числительное 3 означает уже много. Но по такой логике мы, русские, умеем считать лишь до десят ка: ведь словами мы обозначаем числа от 1 до 10, а 11 уже один на дать, 12 – два на дать и т. д. На самом деле любой народ, на каком бы первобытном уровне культуры он не находился, владеет счетом. И австралиец, и бушмен, и папуас отличнознает всех своих соплеменников и родственников, отличит трех убитых животных от четырех. Но в языках мира действительно сохранились в виде живых ископаемых пережитки первобытного конкрет ного счета. Ведь не одно тысячелетие понадобилось человечеству, чтобы осознать число вообще, независимое от свойств предметов.

В десятках языков мира числительное 5 имеет родство со словом пядь, ладонь, рука. В языке острова Пасхи и родственных ему языках, на которых говорят жители Океании и Мадагаскара, слово рима, или лима, означает и 5 и руку. А вот как интересносчитают папуасы, говорящие на языке маринд. Числительное 1 обозначается словом сакод, числительное 2 – ина. Числительное 3 своего собственного ярлыка не имеет, онопередается словами сакод-ина, числительное 4 – ина-ина (то есть 3 – это 1-2, 4 – это 2-2). Дальше же начинается счет по пальцам рук и ног. Тоесть 5 – это уже не ина-ина-сакод (2-2-1), а большой палец руки, 6 – указательный и т. д. Пальцев, как известно, у нас 20. До двадцати и ведется счет, числа более двадцати именуются словом много.

Еще более интересно обозначаются числительные в языке телефол, на котором говорит около четырех тысяч человек на стыке границ Западного Ириана и молодой республики Папуа Новая Гвинея. Числительное 1 – это мизинец левойруки, 2 – безымянный палец левой руки, 3 – средний палец левойруки, 4 – указательный палец левойруки, 5 – большой палец левойруки, 6 – левое запястье, 7 – левое предплечье, 8 – левый локоть, 9 – левый бицепс, 10 – левое плечо, 11 – левая сторона шеи, 12 – левое ухо, 13 – левый глаз, 14 – нос. Затем происходит переход на другую сторону тела. Числительное 15 – это другойглаз, 16 – другое ухо и т. д., вплоть до 27, обозначаемого словами мизинец правой руки.

Числительное 27, в свою очередь, берется за основу дальнейшегосчета, который доводится до «носа», то есть до сочетания 27 и 14 (мизинец левой руки и нос). Оноимеет смысл «очень много» – дальше счет уже не ведется.

Лингвисты обнаружили в языках папуасов НовойГвинеи двоичное, пятеричное (по пальцам рук) четверичное (счет по пальцам, но без большого пальца), шестеричное (шестерка обозначается словами шесть-один, дюжина – шесть-два и т. п.), двадцатисемиричное (как в языке телефол) счисление! Встречается там и привычное нам десятеричное счисление, на основе которого построена система числительных русского языка. Кстати сказать, в нашем языке сохранились пережитки тех времен, когда какое-то большое число было синонимом очень много, больше не бывает. «Имя им легион» — говорим мы; или употребляем выражения «тьматьмущая», «тьма народа». И тьма, и легионв прежние времена были наименованиями определенных чисел. А вот еще один пример «живого ископаемого» в русском языке, связанногосо счетом.

Почему мы говорим «две штуки» только о неодушевленных предметах Это остаток первобытного конкретногосчета в нашем языке. В других языках есть специальные числительные для подсчета различных предметов: для длинных одни, для круглых другие, для живых существ третьи и т. д.

Удивительную систему конкретных числительных обнаружил советский этнограф Е.

А. Крейнович у нивхов, загадочных обитателей Сахалина и низовий Амура. «У них нет слова для обозначения абстрактного понятия «равный», но есть ряд слов для обозначения конкретных равенств. Нет у них и числительных для счисления абстрактных количеств, нозато есть примерно тридцать разрядов числительных для обозначения конкретных количеств», – указывает Крейнович и приводит длинный список таких числительных.

Тут есть числительные для подсчета предметов разнойформы, отдельно мелких круглых (пуль, дробинок, яиц, икринок, кулаков, капель воды, топоров, бутылок), отдельнодлинных предметов (деревьев, кустарников, ребер, волос, кишок, дорог), отдельноплоских тонких предметов (листов бумаги, циновок, одеял, растений), отдельно парных предметов (глаз, щек, рук, лыж, весел, рукавиц, серег).

При счете живых существ, семейств, поколений употребляются свои числительные, причем отдельносчитаются люди и добрые духи, отдельносемейства, отдельнопоколения, отдельно животные, рыбы, птицы, злые духи.

Для счета некоторых орудий лова рыбы и тюленей у нивхов опять-таки существуют свои особые числительные – для сетей; для неводов; для палок на острогу и т. д.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.