WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Пособие по специальности математика 010101 Воронеж 2003 2 Утверждено научно методическим советом математического факультета, протокол № 1 от 29.08.2003 г.

Составитель доц. Зубова С.П.

Пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется студентам первого курса дневного отделения в помощь при изучении математического анализа.

3 1. Элементы логики Пусть P и Q - некоторые утверждения, высказывания, P предположения. Будем читать, что P Q, если и Q по сути одно и то же высказывание. Будем писать P Q, если из наличия P следует существования Q.Читается: из P следует Q, или: если выполняется P, то справедливо, или: выполнение P влечет за собой существование.

Q Q Например, если P - утверждение: данная фигура параллелограмм, а 360o Q - высказывание: сумма углов в заданном многоугольнике равна, то P Q.

Запись P Q означает, что утверждение P и Q эквивалентны, P равносильны. Читается : справедливо тогда и только тогда ( в том и только том случае), когда имеет место Q ; или: для того, чтобы выполнялось свойство P, необходимо и достаточно наличия условия Q.

Слова «необходимо и достаточно» означают следующее:

Необходимость. Если выполняется P, то необходимо (обязательно) выполняется Q : P Q.

Достаточность. Для осуществления P достаточно выполнения условия :.

Q Q P Например, если при рассмотрении выпуклых многоугольников P предложение: данная фигура – шестиугольник, а Q - сумма углов o многоугольника равна 720, то P Q.

P P P Отрицание утверждения записывается, читается: « не », или « P не выполняется». Утверждения P и P называются противоположными. Например, если P - высказывание : число x положительное, то P означает, что x 0.

Имеют место следующие свойства.

1. Закон исключенного третьего. Из утверждений P и P только одно истинно.

2. Свойство отрицания отрицания. )( = PP, то есть «не «не P »»есть само P.

При доказательстве теорем часто пользуются методом доказательства «от противного» и вместо доказательства утверждения P Q проводят доказательства PQ. Доказательство P Q начинают словами «предположим противное (то есть обратное)», которые записываются « ».

. Предположим противное, что QP. Тогда используя некоторую теорему, или определение, или какие – либо соотношения, приходим к наличию свойства P, то есть PQ. Здесь ставиться знак «крайнего удивления» (!), так как по условию имеем P, а P и P по закону исключенного третьего не могут выполняться одновременно.

Значит, предположение QP неверно, и из P следует. Что и Q требовалось доказать.

Приведем доказательство того, что - иррациональное число.

def a ath Обозначение будет означать «по определению a следует…», )(a «из теоремы a следует, что…», - «из соотношения (a) вытекает…».

def p Доказательство. ( 2 - рациональное число) ( 2 =, где q pи - несократимая дробь) 2( = p,q Z pq ) ( p - четное (1) ) q 1( ),(2) p ( - четное (2)) ( - сократимая дробь) (!) ( 2 - иррациональное q q число). Ч. т. д..

Мы будем использовать символы дизъюнкции и конъюнкции.

Запись P Q читается: либо верно P, либо Q, либо P и Q одновременно.

Выражение P Q означает, что P и справедливы одновременно.

Q К примеру, если P - высказывание: число a положительное, а Q a число меньше 5, то P Q справедливо для всехдействительных чисел, а P Q - для положительных чисел, которые меньше 5.

Введем в употребление кванторы всеобщности и существования. - перевернутая первая буква английского слова «All», читается:

«любой», «для всех», «для каждого». - перевернутая первая буква английского слова «Existens», читается : «существует», «найдется».

Например, пусть x и y - действительные числа и y > 0. Тогда )( (xy )[y = 2x], то есть для любого y существует x такое, что y = 2x.

Справедлива Теорема 1. Пусть утверждение P записывается с помощью конкретного числа кванторов существования и всеобщности и утверждений. Тогда P записывается с помощью замены кванторов существования (всеобщности) на кванторы всеобщности (существования) и последнего из упоминаемых в P утверждений на противоположное.

К примеру, пусть P есть свойство делимости числа x на 3:

x P : b - целое)[( = b], тогда x P b - целое)[( b].

:

2. Некоторые числовые множества 1. Множество натуральных (целых положительных) чисел принято обозначать через : ={1,2,3,...}. Объединение 0{ } обозначается 0 : ={0,1,2,3,...}. Через - обозначается множество чисел, противоположных натуральным:

- = -1{,-2,-3,...}.

2. Объединение множеств и - есть множество целых чисел : = 0 m 3. Множество xQ |{ x ==, Zm, n } - это множество n рациональных чисел. (Запись A ={x | P} читается: A есть совокупность элементов x, обладающих свойством P ).

4. Объединение множества Q с множеством иррациональных чисел является множеством вещественных или действительных чисел.

Оно обозначается через R.

Множество {x R | x > 0} будем обозначать R+.

Элементы множества R изображаются точками на оси (числовая ось или вещественная прямая).

Числовым отрезком (сегментом ) [a, x] называется совокупность чисел x R таких, что a x b :

[a,b] ={x R | a x b}.

Числовой интервал (a, x) определяется следующим образом :

(a,b) = {x R | a < x < b}.

Соотношения, [a,b) ={x R | a x < b} (a,b] ={x R | a < x b}.

определяют полуинтервалы. На вещественной прямой эти объекты выглядят соответственно:



Введем в рассмотрение два элемента + и - (плюс и минус бесконечность), обладающих следующим свойством :

(x R)[- < x < +].

Множество -}{ R называется расширенной прямой и {+} обозначается также R.

Теперь в R можно рассматривать бесконечные полуинтервалы:

(-,a] ={x R) | - < x a},[b,+) = {x R) | b x < +} и бесконечные интервалы:

-,( ) = {xa R) | - < x < a},(b,+) = {x R) | b < x < +}, -,( +) = { Rx ) | - < x < +} = R.

Если речь идет об обеих бесконечностях + и -, или о любой из них, то пишется:.

Интервал (a - b;a + b) с любыми конечными a и b из R называется b окрестностью точки или просто окрестностью точки и обозначается a a b )(aU или U (a). Интервал (-;b) называется - окрестностью Ub )(b точки -. Интервал (b;+) называется b - окрестностью точки +.

Множество -;( ) (bb + ) называется b- окрестностью точки.

То есть :

,, aU )( {x = R | x - a < b} -)( = {xUb R | x < b} b +)( = {xU R | x > b}, )( = {xU R | x > b}.

b b • Проколотой окрестностью xU )( точки Rx, x00 <, называют окрестность точки x0, из которой исключена сама точка x0, то есть • xU )( = U (x00 ) \{x0}.

Если же x0 = + или -, или x0 =, то будем считать x0 = • xU )( = U (x00 ).

Множество {(xR ; y) | x= R, y R} называется двумерным пространством. Элементы R2 изображаются точками на координатной плоскости XOY.

На рис. 1 изображено множество {(xA ; y)= R2 | y x} a = (-1;2) A b = (2;1) A рис. 3. Функции, последовательности Пусть X и Y два множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями в Y, если указан закон, по которому каждому элементу x X ставиться в соответствие единственный элемент y Y. Обозначается y = f (x) или f : X Y, f или X Y.

Примеры функций.

1. sin : R [-1;1].

R2. RP R,: Pxx (x; y) = x. Каждой точки плоскости это отображение (эта функция) ставит в соответствие абсциссу x этой точки.

Такое отображение называется проектированием на ось абсцисс, а x - проекцией точки (x; y) на ось OX. Соответственно, RP R,: Pyy (x; y) = y - проектирование на ось OY.

Графиком функции f : X Y называется множество.

{(x, f (x)) | x X} Образом множества A X при отображении f : X Y называется множество f (A) = { f (x) | x A}.

Пусть Y - некоторое множество. Отображение f : N Y называется последовательностью элементов множества Y.

Обозначают ее an}{ где = fa n),( n N.

n Например, {[ 1; + n]} есть последовательность отрезков n 1 1[ ;2],[ 3; ],[ 4; ],...(n =1,2,3,...соответственно).

2 Если Y R, то последовательность называется числовой. Например, 3 4 5 n +- числовая последовательность,2,,,.... График ее -{(n; |) Nn } 2 3 4 n изображен на рис. 2. На рис. 3 изображен график последовательности.

{(-1)n} рис.2 рис.Задание 1. Изобразить график последовательности:

1) -= 1( )n nan, 2) an -= 1( )n.

n 4. Пределы функции. Определения и примеры Пусть числовая функция f определена в проколотой окрестности некоторой точки Rx.

Говорят, что f (x) стремится к числу a R, если для любой a окрестности V (a) точки можно указать проколотую окрестность • • aU )( такую, что ее образ Uf (( x0 )) содержится в V (a).

В этом случае пишут: xf )( a или lim (xf ) = a (от латинского xx xx 0 слова limes – предел).

Говорят также, что функция f (x) имеет предел в точке x0, равный a, а число называют пределом функции в точке x0, или предельным a значением.

Итак, def •• lim (xf ) = a ( (V (a))(U (x ))[ f (U (x00 )) V (a)]). (1) xx Пример 1. Покажем, что lim x = 2.

x Возьмем U(2) = (2 - ;2 + ) (0;2).

Тогда • U 4( ) = ((2 - ) ;4) (4; (2 + )22 ) и • Uf (( 4)) U (2) (рис. 4).

Пример 2. Рассмотрим функцию рис. ln, xx (0;e) (e;+ ) xf )( =.

,3 = ex Покажем, что lim (xf ) = ex (заметим, что 1 f (e) ).

Пусть V (1) = (1- ;1+ ), (0;1).

• +- Тогда eU )( = (e ;e) (e;e11 ), • рис. такая, что Uf (( e)) V (1) (рис. 5).

Определение (1) можно записать и в такой форме:

def •• lim (xf ) = a ( (V (a))(U (x ))(x U (x00 ))[ f (x)V (a)]) (2) xx • (на основании определения множества Uf (( x0 )).

В силу теоремы 1 справедливо утверждение:

th1, (2) •• lim (xf ) a ( (V (a))(U (x ))(x U (x00 ))[ f (x) V (a)]). (3) xx,1 x - (-;0) Пример 3. Покажем, что для функции xf )( sgn x ==,0 x =,1 x (0;+ ) значение a = 0 не является пределом при x 0.

Действительно, существует V (0), 1 например, V 0( ) (-= ; ), и в любой 2 окрестности • 0( ) (cU ;0) (0; d), = c < 0, d > рис. c d x существуют точки (например, x =, или x = ), такие, что 2 c d f ( -= 1) V (0) и f ( += 1) V (0) (рис. 6).

2 Вообще:

lim (xf ) ( (a R)[ lim f (x) = a]).

xx x x Задание 2. Сформулировать утверждение: функция не имеет предела в точке x0.

Задание 3. Доказать, что f (x) = sgn x не имеет предела в точке x0 = 0, но имеет предел в любой точке x0 0. Каковы пределы этой функции при xx, если x0 В определении предела функции a и могут быть конечными или xбесконечными, причем, бесконечность может быть разная: +,-,.

• Если x0 <, то в качестве xU )( берут проколотую -окрестность:

• xU ()( x00 -= ; x0 ) (x0; x0 + ). Тогда def lim (xf ) = a ( (V (a))( R+ )(x | 0 <| x - x0 |< )[ f (x)V (a)]). (5) xx Если a <, то в качестве V (a) берут - окрестность точки a :

V (a) = (a - ;a + ), > 0.

Задание 4. Записать определение lim (xf ) = a в случае конечного xx a значения и произвольного x0.





Если a < и x0 < то пользуются определением предела функции «на языке - »:

def lim (xf ) a <= ( ( R )( | 0 <| x - x0 |< )[| f (x) - a |< ]). (6) R++ )(x xx < Пример 4. lim x sin = 0, так как xx )( ( 0 <| x |< )[| xsin || x |< ].

= )(xR | + x В случае бесконечных значений x0 и a пользуются определениями • • •,,,,, (см. стр 6). Например, V (-) V (+) V () U -)( U +)( U )( def lim (xf ) += ( ( R )( | 0 <| x - x0 |< )[ f (x) > ]), (7) R++ )(x xx < def lim (xf ) a <= ( ( R )( | x < - )[| f (x) - a |< ]), (8) R++ )(x x - def lim (xf ) -= ( R )( | x > )[ f (x) < - ]). (9) R++ )(x x + Пример 5. lim 2-x = 0, так как x + R+ )(.

)( (xR | x > )[| 2- x - 0 |< ]) + Действительно, R+ )( неравенство -x 2| |< выполняется одновременно с неравенством. Возьмем x > log. Тогда рис. = log R+ )( |( xx > )[0 < 2- x < x = log( ) ] lim 2- = 0 (рис. 7).

x + Задание 5. Сформулировать на «языке - » определения:

lim (xf ) = -, lim (xf ) =, xx < xx < 0 lim (xf ) = +, lim (xf ) =, lim (xf ) = +, x + x + x lim (xf ) = -, lim (xf ) =, x - x lim (xf ) = +, x lim (xf ) = -.

x Пример 6. lim(x 1)3 =-, так как xрис. Можно взять (рис. 8).

)( ( || x |> )[| (x - 1)3 |> ]. 1+= RR )(x ++ Тогда 33 3 (| | ) (xx > (-;-1- (-;1- ) (1+ ;+)) ) (1+ ;+)) (x 1( - (-;- ) (33 - )3 (1 -;- () ;+)) (| x -1|3> ).

;+)) ((xx Задание 6. Показать, что функции sin : R [-1;+1] cos : R [-1;+1] x и не имеют пределов при - и при x +.

5. Предел по множеству. Определения и примеры Пусть X - некоторое множество в R. Точка x0 называется предельной точкой этого множества ( x0 пред.т. X ), если любая окрестность W точки содержит по крайней мере одну точку множества xX, отличную от x0 :

def.

x0 пред.( т. X)- (( (xU ))(x x00 )[x W (x0) X ] Пусть x0 - предельная точка множества X. Говорят, что • Xf W (: x0 ) R имеет предел a R при xx по множеству X, • если для любой окрестности существует xU )( такая, что образ V (a) • множества xU )( X содержится в V (a). Обозначают это:

a = lim (xf ).

xx Xx Итак:

def •• lim (xf ) = a ( (V (a))(U (x ))[ f (U (x00 ) X V () a)]), (10) xx Xx или •• lim (xf ) ( (V (a))(U (x ))(x U (x00 ) X )[ f (x)V (a)]). (11) xx Xx,1 Qx Пример 7. Функция Дирихле xf )( = имеет пределы,0 Rx \ Q lim (xf ) =1 lim xf )( =, Rx.

и xx xx 0 Qx Rx \Q Пример 8. Функция sin : R [-1;+1] имеет:

при x +, Xx = { + n,2 n N} предел, 4 x при -, Xx = k,{ k N-} предел.

Если в определениях (10), (11) = xX,( x01 ) с некоторым < xx, то a число называется пределом функции f в точке x0 слева и пишут:

= lim fa (x) или = lim fa (x).

xx - xx - 0 Если же в (10), (11) = xX,( x20 ), > xx, то a называют пределом функции в точке справа, тогда пишут: = lim fa (x) или f xxx + = lim fa (x).

xx + Пример 9. Функция f (x) = sgn x (см. пример 3) имеет пределы:

и.

lim sgn x = -1 lim sgn x = +x 0- x 0+ Задание 7. Найдите следующие пределы:

1 lim tg x lim tg x, lim lg x, lim, lim.

, x 0+ x 0- x 0+ x x x - x + 2 Обоснуйте результаты. Для каждого укажите.

6. Предел последовательности. Определения и примеры Пусть Nf R,: f (n) = an. Можно рассматривать предел числовой последовательности лишь при n +, так как достаточно малые an}{ проколотые окрестности всех точек n N являются пустыми множествами. Определения (1), (2) записываются тогда следующим образом :

def (lim aa ) = ( V (( a))(n N)(n > n00 )[an V (a)]. (12) n Можно рассматривать определение (12) для случаев:

a <, a = +, a = -, a =.

Например:

def (lim aa <= ) (( R+)(n N)(n > n00 )[| an - a |< ]), (13) n (lim += ) (( Ra )(n N)(n > n00 )[ann > ]). (14) + -1( )n Пример 10. lim(1+ = 1), то есть n + -1( )n )( (nR N)(n > n00 )[(1+ )1 <- ].

+ n +Последнее неравенство выполняется при n -> 1. В качестве n1 можно взять наибольшее из чисел 1 и [ - ]1 (целая часть числа -1).

5 В частности, если =, то [ ]1 =- 3 и n0 = 3. Если =, то n0 = 99 (рис. 9).

Задание 8. Записать определения пределов:

liman = -, liman =. Привести примеры.

Обосновать результаты.

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся: рис. def ({a } сходящяяся ) - (( < )[lim aa = a ]).

n n Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся:

def ({an} расходящаяся) - (( Ra )[liman a]), или def ({an} расходящаяся) - (( Ra )(V (a))(n N)(n > n00 )[an V (a)]).

Пример 11. Последовательность {(-1)n} - расходящаяся, так как Ra )( (V (a) = (2a;0))и последнее неравенство в (15) выполняется для + всех нечетных n ; Ra )( (V (a) = (0;2a)) и последнее неравенство в (15) 1 выполняется для всех четных n ; если же a = 0, то 0( ) =V (- ; ) и 2 последнее неравенство в (15) выполняется для всех n.

Пусть L - некоторое подмножество множества N (числа в L берутся в порядке возрастания). Сужение an}{ на L называется подпоследовательностью ank}{ последовательности an}{ ( < nn, k N ).

kk +Например, последовательность an 1: ;2;3;1;3;4;1;4;5;1;5;6;... имеет подпоследовательности:

1;1;1;1;1;1;1;1;1;… 1;2;3;4;5;6;7;… 1;3;5;7;… Последовательность 3;2;4;3;5;4;… не является подпоследовательностью последовательности an, так как это aa ;; a623... и = > 23 = nn.

Предел подпоследовательности называется частичным пределом последовательности. Частичный предел an - это предел nf )( = an по множеству L при n +, то естьlim an.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.