WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 ||

y2(x) Теорема 1. Если y1(x), y2 (x) - линейно независимые частные решения уравнения (28), то функция y(x) = C1y1(x) + C2 y2 (x), ( 30) где C1,C2 - произвольные постоянные, является его общим решением.

Замечание. При условии теоремы определитель y1 y= W (x), ( 31 ) / / y1 yназываемый определителем Вронского или вронскианом, отличен от нуля на интервале (a,b).

Теорема 2. Общее решение неоднородного уравнения (27) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (28) и любого частного решения неоднородного уравнения (27).

28. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение y// + a1y/ + a2 y = 0, ( 32 ) где a1, a2 - вещественные числа.

k Теорема 3. Если число - вещественный корень уравнения k2 + a1k + a2 = 0, ( 33 ) то функция y = ekx - решение данного уравнения, если числа k1 = + i, k2 = - i ( 0) - комплексные корни уравнения (33), то функции y1e x cos x и y2e x sin x - решения данного уравнения.

Уравнение (33) называется характеристическим уравнением данного уравнения (32).

Теорема 4.

1. Если корни характеристического уравнения вещественны и различны k1 k2, то общее решение уравнения (32) имеет вид ( ) y = Cek x + Cek x.

2. Если корни характеристического уравнения вещественные и равные k1 = k2, то общее решение имеет вид ( ) y = ek x C1 + C2x.

( ) 3. Если корни характеристического уравнения комплексные ( k1 = + i, k2 = - i, 0), то общее решение имеет вид y = e x C1 cos x + C2 sin x.

( ) Пример 15. Решить уравнение y// - 4y/ + 3y = 0.

Характеристическое уравнение k2 - 4k + 3 = 0 имеет корни, соответствующие частные решения k1 = 1, k2 = 3 y1 = ex, y2 = e3 x.

Общее решение уравнения имеет вид y = Cex + C2e3 x.

Пример 16. Решить уравнение y// + 4 y/ + 4 y = 0.

Характеристическое уравнение k2 + 4k + 4 = 0 имеет равные корни k1 = k2 =-2, общее решение имеет вид y = e-2 x C1 + C2x.

( ) Пример 17. Решить уравнение y// + 4y/ + 5y = 0.

Характеристическое уравнение k2 + 4k + 5 = 0 имеет комплексные корни k1 =-2 + i, k2 =-2 - i, общее решение имеет вид y = e-2 x C1 cos x + C2 sin x.

( ) 2.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение y// + a1 y/ + a2 y = f (x), ( 34 ) здесь a1, a2 - вещественные числа, f (x) - непрерывная функция.

Для нахождения общего решения уравнения (34) надо знать общее решение соответствующего однородного уравнения y// + a1y/ + a2 y = 0 и частное решение уравнение (34). В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим некоторые случаи.

1. Правая часть имеет вид f (x) = e xPn (x), n где Pn (x) - многочлен степени, тогда частное решение следует искать в виде x yч = Qn (x)xre, где Qn (x) - многочлен с неопределенными коэффициентами, r - число корней характеристического уравнения, равных.

Пример 18. Рассмотрим уравнение y// - 2 y/ + y = 2ex.

Характеристическое уравнение k2 - 2k +1 = 0, k1 = k2 = 1, = 1 корень характеристического уравнения кратности 2, частное решение ищем в виде yч = Ax2ex.

Подставляя в уравнение, получим Aex x2 + 4x + 2 - 2Axex x + 2 + Ax2ex = 2ex, A = 1, ( ) ( ) следовательно, общее решение имеет вид y = x2ex + C1 + C2x ex.

( ) 2. Правая часть имеет вид f (x) = a cos x + bsin x, тогда частное решение надо искать в идее yч = Acos x + Bsin x xr, ( ) r A, B - неизвестные коэффициенты, - число корней характеристического уравнения, равных i.

Пример 19. Решить уравнение y// + 4y/ +13y = 5sin2x.

Характеристическое уравнение k2 + 2k +13 = 0 имеет корни ±2i k1 =-2 + 3i, k2 =-2 - 3i. Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде yr = Acos2x + Bsin2x.

Подставляя в уравнение, получим (-8A + 9B sin2x + 9A + 8B cos2x = 5sin2x, ) ( ) откуда A =-, B =. Следовательно, общее решение имеет вид y = e-2x C1 cos3x + C2 sin3x - cos2x + sin2x.

() 3. Правая часть имеет вид f (x) = e x Pn (x)cos x + Pm (x)sin x, ( ) тогда частное решение следует искать в виде x yr = xre Q1(x)cos x + Q2 sin x, ( ) где Q1(x), Q2 (x) - многочлены степени s, s = max(n, m), r - число корней характеристического уравнения, равных + i.

Пример 20. Решить уравнение y// + y = 4sin x.

±i Здесь = 0, = 1 и числа корни характеристического многочлена, поэтому частное решение yr будем искать в виде yr = x Ax + B cos x + Ax + B1 sin x.

( ( ) ( ) ) Подставляя в уравнение, получим 2Ax + A + B1 cos x + -2Ax + A1 - B sin2x = 2xsin x, ( ( ) ( ( ) ) ) откуда A =-1, B = 0, A1 = 0, B1 = 1, следовательно, yr = x sin x - xcos x.

( ) Общее решение имеет вид y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x - xcos x.

( ) Контрольные примеры Решить уравнения:

50. y// - y/ - 2y = 0 73. y// - 4 y/ = 4e4x 51. y// + 24y/ +144y = 0 74. - y/ = 4 + x y// 52. y// - y/ - 6 y = 0 75. y// + y = sin x 53. - 7 y/ +10y = 0 76. y// + y = cos x y// 54. y// - 5y = 0 77. y// + 3y/ + 2 y = 3e2 x 55. y// - 22 y/ + 20 y = 0 78. y// + 7 y/ + 20y = ex 56. y// - 22y/ +121y = 0 79. y// + 9y = cos3x 57. y// +15y/ = 0 80. y// - 2y/ - 3y = x58. y// + 49y = 0 81. y// - 9y = e2 x 59. y// + 7 y/ = 0 82. y// - 6 y/ + 9y = e3x 60. y// - 49y = 0 83. y// +100 y = sin2x 61. y// + 20y/ +19y = 0 84. y// + 3y/ = 85. y// + 2 y/ + y = e- x 62. y// + 2 3y/ + 7 y = 63. y// - y/ -12 y = 0 86. y// + 2 y/ = 1 - x 64. y// + 4y/ - 7y = 0 87. y// + 4y/ + 29y = 65. y// - 9 y/ -10 y = 0 88. 4y// + 4 y/ + y = 66. y// +16 y = 0 89. y// - 2y/ +10y = 67. y// + 2y/ - 2y = 0 90. y// - 4y/ + 3y = 0; y = 6, y/ = при x = 68. y// - 4 y/ +10 y = 0 91. y// - 2y/ + 2 y = 0; y = 1, y/ = x = при 69. y// + 3y = 0 92. y// - 2y/ + 3y = 0; y = 1, y/ = при x = 93. y// - 9y/ = 2 - x; y = 0, y/ = 70. y// + y/ = 2 при x = 71. y// - 9 y = 2 - x 94. y// + 4 y = 2cos2x ; y = 0, y/ = x = при 72. y// + y/ = ex 95. y// + 4y/ = 12x2 - 2x + 2; y = 0, y/ = при x = Используемая литература 1. Шипачев В.С. Высшая математика. / В.С.Шипачев. –М.: Высшая школа, 2001. -479с.

2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. / В.С.Шипачев.

–М.: Высшая школа, 1993. -192с.

Составители: Савченко Юлия Борисовна Ткачева Светлана Анатольевна Редактор Тихомирова О.А.

Pages:     | 1 | 2 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.