WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 |

Геометрически теорема утверждает, что существует единственная интегральная кривая, которая проходит через точку M x0, y0, ( ) принадлежащую области определения G функции f (x, y). Очевидно, что в области G уравнение (3) имеет бесконечное число решений. Решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку x0, y0 плоскости Oxy. Если ( ) общее решение дифференциального уравнения известно: y = x,c, то ( ) мы подставляем в него значения x0, y0 и получаем уравнение ( ) y0 = x0, C для отыскания C.

( ) Пример 4. Рассмотрим уравнение y/ = 2x. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции f (x, y) = 2x и fy/ (x, y) = определены и непрерывны на всей плоскости Oxy. Легко проверить, что функция y = x2 + C, где C - произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения на всей плоскости. Геометрически это общее решение представляет семейство парабол. При различных значениях постоянной C получаем различные решения данного уравнения. Для решения какой-нибудь задачи Коши, то есть отыскания частного решения, удовлетворяющего начальному условию, например, y = 2 при x = 1, подставим эти значения в общее решение 2 = 12 + C. Отсюда C = 1.

Искомым частным решением будет y = x2 +1.

Пример 5. Рассмотрим уравнение y/ = y. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции f (x, y) = y и fy/ (x, y) = определены и непрерывны на всей плоскости Oxy. Легко проверить, что функция y = Cex, где C - произвольная постоянная, является общим решением во всей плоскости Oxy. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = 2. Подставим эти значения x=C = в общее решение 2 = Ce0, получим. Искомым частным решением будет y = 2ex.

y y Пример 6. Рассмотрим уравнение y/ =-. Функции f (x, y) =- x x и fy/ (x, y) =- непрерывны при x 0. Следовательно, во всей x плоскости Oxy, кроме оси Oy, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши. Нетрудно проверить, что в областях y > 0 и y < C C решением является функция y =, где - произвольная постоянная.

x При различных значениях постоянной C получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию C y = 1. Подставим эти значения в общее решение: 1=. Отсюда C = x=и искомым частным решением будет y =.

x 2.3. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим уравнение вида f1( y)dy = f2 (x)dx, ( 7 ) где f1( y), f2 (x) - заданные функции.

В этом дифференциальном уравнении переменные разделены, то есть каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

Произведя интегрирование, получим f1(y)dy = f2 (x)dx + C. ( 8 ) Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение уравнения (7).

Определение. Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение, называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Пусть уравнение имеет вид f1(x) f2( y)dx + f3 (x) f4 (y)dy = 0. ( 9 ) Деля обе части уравнения (9) на произведение f2 ( y) f3(x) (предполагаем, что оно не равно нулю ), имеем f1 (x) f4 (y) dx + dy = 0.

f3 (x) f2 (y) Интегрируя, запишем f1(x) f4 ( y) dx + dy = C.

f3(x) f2 ( y) Замечание. При делении на f2 ( y) f3(x) может произойти потеря некоторых частных решений уравнения (9). Пусть при y = y0 f2 y0 = 0, ( ) тогда функция y = y0 является решением уравнения. Аналогично, если f3 x0 = 0, то x = x0 - решение уравнения.

( ) Пример 7. Решить уравнение xdx + ydy = 0.

Интегрируя, находим x2 y+ = C1, 2 так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то и правая часть неотрицательна. Обозначим 2C1 через C2. Будем иметь x2 + y2 = C2. Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиуса C.

Пример 8. Решить уравнение y y/ =.

x Разделяя переменные, получим dy dx =.

y x Интегрируя, имеем dy dx = + ln C1, C1 > 0, y x или ln y = ln x + ln C1, тогда y = C1 x, что эквивалентно уравнению y =±Cx.

Полагая ±C1 = C C 0, окончательно получаем ( ) y = Cx - общее решение данного уравнения, где C - произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но C 0. Заметим, что y = 0 - решение уравнения (оно было потеряно при делении на ). Это решение может быть включено в общее y решение, если считать, что произвольная постоянная принимает и значение C = 0.

Пусть требуется выделить из общего решения частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y = 2. Подставляя эти значения x=в общее решение, получим 2 = C 1, откуда C = 2.

Таким образом, искомое частное решение.

y = 2x 2.4. Однородные уравнения Дифференциальное уравнение F(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ( 10 ) называется однородным, если P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одной степени.

Уравнение (10) может быть приведено к виду y. ( 11 ) y/ = x Можно показать, что с помощью подстановки y = xu, где u - новая x искомая функция от, однородное уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Заметим, что dy = udx + xdu.

Иногда целесообразно вместо подстановки y = xu использовать подстановку x = yu.

Пример 9. Найти решение однородного уравнения xy - yy/ =.

x2 - 2xy Замена y = xu приводит к уравнению u - uu + xu/ =, 1- 2u или du 1 u - u2 du 1 u=- u ; =.

dx x 1 - 2udx x 1- 2u Разделяя переменные, находим 1- 2u dx du =, u2 x 1 C 1 C C откуда + 2ln u = ln или ln = ln и значит u2eu =.



euu ux x x Возвращаясь к переменной y, приходим к общему решению x y2 y e = C, x - частное решение исходного уравнения.

y = 2.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Уравнение вида y/ + p(x)y = f (x), ( 12) где p(x), f (x) - заданные непрерывны в интервале (a,b) функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f (x) = 0, то уравнение (12) называется линейным однородным уравнением. Если f (x), то уравнение (12) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (12) может быть применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения y/ + p(x)y = 0, ( 13 ) соответствующего данному неоднородному уравнению (12). Уравнение (13) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем dy =- p(x)dx ; ln y =- p(x)dx + ln C1, C1 > 0.

y Отсюда находим общее решение уравнения (12):

p (x)dx - p( x)dx y =±Ce или y = Ce, ( 14) где C =±C1 - произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (12) в виде (14), где C будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией C = C(x), то есть в виде - p( x)dx y = C(x)e. ( 15) Чтобы найти функцию C(x) и тем самым решение в виде (15), подставим функцию (15) в уравнение (12). Получим - p(x)dx - p( x)dx - p(x)dx C/ (x)e - C(x) p(x)e + p(x)C(x)e = f (x) или p (x)dx C/ (x) = f (x)e. ( 16 ) Итак, чтобы функция (15) являлась решением уравнения (12), функция C(x) должна удовлетворять уравнению (16). Интегрируя его, находим p (x)dx C(x) = f (x)e dx + C1, ( 17 ) где C1 - произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для в соотношение (15), получаем общее решение линейного уравнения C(x) (12 ) - p( x)dx - p(x)dxp(x)dx y(x) = Ce + ef (x)e dx. ( 18 ) Пример 10. Найти общее решение уравнения 1 sin x y/ + y =.

x x 1sin x Данное уравнение является линейным. Здесь p(x) =, f (x) =.

xx Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y y/ + = 0.

x Отсюда du dx =- y x и значит ln y =-ln x + ln C1, C1 > 0, C или y =, C =±C1.

() x C(x) Ищем общее решение данного уравнения в виде y =.

x C/ (x) C(x) Дифференцируя, имеем y/ =-. Подставляя в данное x xуравнение выражения для y и y/, получаем C/ (x) C(x) C(x) sin x - + =.

x x2 x2 x C/ (x) = sin x, откуда C(x) =- cos x + C1. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид cos x Cy =- +.

x x Пример 11. Найти общее решение уравнения y/ + 3y = e2 x.

Данное уравнение является линейным. Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y/ + 3y = 0.

Отсюда dy =-3dx.

y Интегрируя, находим ln y =-3x + ln C1, C1 > 0, или y =±Ce-3x ; y = Ce-3x, C =±C1.

( ) Ищем общее решение уравнения в виде y = C(x)e-3 x.

Дифференцируя, имеем y/ = C/ (x)e-3x - 3C(x)e-3x. Подставим в данное уравнение выражения y и y/, получаем C/ (x)e-3x = e2x ; C/ (x) = e5x, откуда C(x) = e5 x + C2, где C2 - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

1 y = e5x + c2 e-3x или y = e2 x + C2e-3x.

5 Для решения неоднородного линейного уравнения (12) можно также применить подставку y(x) = u(x) v(x), ( 19 ) причем функцию u = u(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию v = v(x) выберем произвольно. Эта подстановка дает u/ v+ u v/ + pu v = q. ( 20 ) Используя произвольный выбор функции v(x), подчиним ее условию d v + p v = 0. ( 21 ) dx Разделяя переменные в (21) и интегрируя, получаем - p (x)dx v = e. ( 22 ) Поэтому имеем уравнение - p(x)dx du e = q(x). ( 23 ) dx Решая его, получаем p (x)dx u = ( 24 ) q(x)e dx + C.

Возвращаясь к переменной, находим общее решение уравнения y - p(x)dxp(x)dx y = e q(x)e + C.

(Сравните с формулой (18)).

Пример 12. Найти общее решение уравнения y y/ - = x.

x Положим y = u v, тогда y/ = u/ v+ u v/. Имеем u v v u/ v+ u v/ - = x или u/ v+ u v/ - = x.

x x v d v dx v/ Пусть - = 0. Отсюда =, следовательно, ln v = ln x, x v x то есть можно выбрать функции v = x, откуда xu/ = x, значит u = x + C.

Окончательно имеем y = Cx + x2.

К линейным уравнениям часто приводятся уравнения более сложного вида.

Рассмотрим, например, уравнение Бернулли:

y/ + p(x)y = q(x) y. ( 25 ) = При = 0 - это линейное уравнение, а при - можно разделить переменные. При других оно приводится к линейному с помощью подстановки z = y1-.

Можно также непосредственно применить подстановку y = u v.

Пример 13. Решить уравнение y/ - y = x y.

x.

Это уравнение Бернулли = Полагая, что y = u v, получим 4 4v u/ v+ v/ u - u v = x u v vu/ + u v/ - = x u v.

или x x Для определения функции v потребуем выполнения соотношения v/ - v = 0. Откуда v = x4. Подставляя v(x) = x4, получим x x4u/ = x ux4.

Отсюда находим u(x) :

u = ln x + C и, следовательно, общее решение получим в виде y = x4 ln x + C.

2.6. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера Пусть дано дифференциальное уравнение y/ = f (x, y) и начальное условие y = y0.

x= xНайдем приближенно решение уравнения на отрезке x0, x, [ ] удовлетворяющее начальным условиям.

Разобьем отрезок x0, x точками x0 < x1 < x2 <... < xn-1 < xn = x на [ ] n равных частей. Пусть x - x0 = x2 - x1 =... = xn - xn-1 =x. Обозначим через приближенные значения искомого решения в точках yi xi (i = 1,2,...,n). Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Oy и последовательно проделаем следующие операции.





Подставим значения x0 и y0 в правую часть уравнения y/ = f (x, y) и вычислим угловой коэффициент y/ = f x0, y0 касательной ( ) к интегральной кривой в точке x0, y0. Для нахождения приближенного ( ) значения y1 искомого решения заменяем на отрезке x0, x[ ] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке x0, y0. При этом ( ) получаем y1 - y0 = f x0, y0 x1 - x0, ( )( ) откуда, так как x0, x1, y0 известны, находим y1 = y0 + f x0, y0 x1 - x0 или y1 = y0 + f x0, y0 x.

( )( ) ( ) Подставляя значения x1, y1 в правую часть уравнения y/ = f (x, y), вычисляем угловой коэффициент y/ = f (x1, y1) касательной к интегральной кривой в точке (x1, y1). Далее, заменяя на отрезке x1, x[ ] интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения y2 в точке x2 :

y2 = y1 + f x1, y1 x2 - x1 или y2 = y1 + f x1, y1 x.

( )( ) ( ) В этом равенстве известными являются x1, y1, x2, а y2 выражаются через них.

Аналогично находим y3 = y2 + f x2, y2 x ( )...........................................

yn = yn-1 + f xn-1, yn-1 x () Эти n равенств позволяют последовательно вычислить приближенные обозначения неизвестной функции в точках деления отрезка x0, x по формуле [ ] yi = yi-1 + f xi-1, yi-1 x, i = 1,2,...,n ( 26 ) ( ) ( ) x пока не дойдем до искомого значения y = y(x) xn = x. Чем меньше ( ) и чем ближе x к, тем точнее будет получаться результат.

xФормула (26) является основной расчетной формулой метода численного интегрирования Эйлера. Степень точности метода Эйлера невелика. Существуют гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Пример 14. Рассмотрим уравнение y/ = xy2 +1.

Найдем приближенное решение этого уравнения на отрезке 0;1 с [ ] начальным условием y = x=и вычислим y при x = 1.

Разделим отрезок на четыре части точками x0 = 0; x1 = 0,25;

0;[ ] x2 = 0,5; x3 = 0,75; x4 = 1. Обозначим / / / y0 = y/ (0); y1/ = y/ (0, 25) ; y2 = y/ (0,5) ; y3 = y/ (0,75).

/ Так как x0 = 0 ; y0 = 0, то y = y1 x1 - x0 = 0,25, ( ) / y1 == 0,25 0,252 +1 = 1,016, y2 = 0,25 +1,016 0,25 = 0,504.

Затем y3 = 0,504 +1,127 0,25 = 0,786.

Наконец, / y3 = 0,75 0,786 +1 = 1,( ) и y = y4 = 0,786 +1,4630,25 = 1,152.

Следовательно, y = 1,152 является искомым приближенным значением при x = 1 частного решения заданного уравнения, определенного начальным условием y = 0.

x=Контрольные примеры Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции 1. xy/ = 2y, y = 5x2. y// = x2 + y2, y = x C2 - x3. x + y dx + xdy = 0, y = ( ) 2x 4. y// + y = 0, y = 3sin x - 4cos x d x 5. + x = 0, x = c1 cos t + c2 sin t dt6. y// - 2 y/ + y = 0, a) y = xex ; б) y = x2ex Решить дифференциальные уравнения 7. tg xsin2 ydx + cos2 x ctg ydy = 8. xy/ - y = y9. xyy/ = 1- x10. y - xy/ = a 1+ x2 y/ ( ) 11. y/ tg x = y 12. 1+ y dx -( ) 1- x dy = ( ) 13. 1+ y2 dx + 1+ x2 dy = ( ) ( ) 14. 1+ ex yy/ = ex ( ) 15. x 1 + y2 + yy/ 1+ x2 = 16. y/ = 2x+ y 17. ey 1+ x2 dy - 2x 1+ ey dx = ( ) ( ) y 18. y/ = -x x + y 19. y/ =- x 20. x - y ydx - x2dy = ( ) 21. 4x2 + 3xy + y2 dx + 4 y2 + 3xy + x2 dy = ( ) ( ) 22. 2xyy/ = x2 + y23. x + y dx + xdy = ( ) 24. x x + 2 y dx + x2 - y2 dy = ( ) ( ) x - y 25. y/ = x - 2 y 26. y/ + 2xy = 2xe-x 27. y/ + 2y = e- x 28. - 2xy = 2xex y/ 29. y/ + 2xy = e- x30. y/ xln x - y = 3x3 cos x 31. xy/ - 2 y = x3 cos x x 32. y/ - yex = 2xee x 33. y/ + xex y = e(1-x)e y 34. y/ - = x x 2 y 35. y/ + = xx y 36. y/ + =-xyx Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

x = 37. 1+ ex y y/ = ex ; y = 1 при ( ) x = 38. xy2 + x dx + x2 y - y dy = 0; y = 1 при ( ) ( ) 39. y/ sin x = y ln y ; y = 1 при x = 40. x2 - 3y2 dx + 2xydy = 0 ; y = 1 при x = ( ) y 41. y/ - -1- x = 0 ; y = 0 при x = 1- x42. y/ - y tg x = ; y = 0 при x = cos x 43. xy/ + y - ex = 0 ; y = b при x = a 44. - y + x2 = 0; y = xy/ при x = 45. y/ + y cos x = cos x; y = 1 при x = 46. x x -1 y/ + y = x2 2x -1 ; y = 4 при x = ( ) ( ) 47. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10 с тело проходит 100 м, за 15 с – 200 м. Какой путь пройдет тело за t время t = 25 s 48. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемой любой касательной, равен абсциссе точки касания. y = Cx - x ln x 49. На плоскости Oxy найти кривую, проходящую через точку O(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведенной к любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания. y = x2.

2.7. Линейные уравнения второго порядка Уравнение вида y// + a1(x)y/ + a2 (x) y = f (x), ( 27 ) где y(x) - искомая функция, a1(x), a2(x), f (x) - непрерывные функции на (a,b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка (неоднородным при f (x) 0 f (x) 0, то уравнение ). Если / называется линейным однородным уравнением:

y// + a1(x)y/ + a2 (x) = 0. ( 28 ) Функции y1(x), y2 (x) называются линейно независимыми, если тождество (C1, C2 - постоянные) C1 y1(x) + C2 y2(x) = 0, x a,b ( 29 ) ( ( ) ) может иметь место только при C1 = C2 = 0.

Очевидно, что если y1(x), y2 (x) - линейно независимы, то их y1(x) отношение const, то есть они не пропорциональны, например, y2(x) функции y1(x) = xex и y2 (x) = ex линейно независимы на любом y1(x) интервале (a,b), так как = x const.

Pages:     | 1 || 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.