WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Комплексные числа. Дифференциальные уравнения Пособие для студентов Cпециальности :

013300 – экологическая геология, 011400 – гидрогеология и инженерная геология Воронеж 2003 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 2 сентября 2002 года Протокол № 2 Составители: Савченко Ю.Б., Ткачева С.А.

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения геологического факультета, обучающихся по специальностям:

экологическая геология, гидрогеология и инженерная гидрогеология.

3 ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов геологического факультета и является продолжением методических указаний по «Высшей математике» для студентов 1 курса дневного отделения геологического факультета.

Пособие содержит необходимые теоретические сведения и подробное решение типичных примеров по разделам: «Комплексные числа», «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1.1. Определение комплексных чисел Под комплексным числом понимается выражение вида c = a + ib, ( 1 ) i где a, b - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством i2 =-1.

Числа a + i0 = a отождествляются с действительными числами, в частности, 0 + i0 = 0. Числа 0 + ib = ib называются чисто мнимыми.

Действительные числа a, b называют соответственно c действительной и мнимой частями числа и обозначают следующим образом:

a = Re c, b = Imc, ( 2 ) ( Re - начальные буквы латинского realis – действительный, Im – начальные буквы imaginarius – мнимый).

Запись комплексного числа в виде c = a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Комплексные числа c1 = a1 + ib1 и c2 = a2 + ibсчитаются равными тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части:

c1 = c2 a1 = a2 ; b1 = b2.

Под модулем комплексного числа c понимается неотрицательное число r = c = a2 + b2. ( 3 ) c Сопряженным числом к числу (1) называют комплексное число c = a - ib.

1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел Рассмотрим плоскость с y прямоугольной системой координат Oxy. Геометрически M (x, y) каждое комплексное число r = z z = x + iy изображается точкой M (x, y) координатной плоскости Oxy (рис.1). В этом случае плоскость Oxy называют 0 x комплексной числовой плоскостью, z а - точкой этой плоскости.

Рис.1.

Каждую точку M (x, y) рассматривают как образ комплексного числа z = x + iy.

Множество всех действительных чисел z = x + i0 = x изображается осью абсцисс, которая называется действительной осью. На оси ординат расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она называется мнимой осью.

Термины «комплексное число x + iy » и «точка x + iy » употребляются как синонимы.

Заметим, что r = z представляет собой расстояние от точки z до начала координат. Удобной является интерпретация комплексного числа Z = x + iy как радиуса-вектора OM (см. рис. 1). Очевидно, что каждому радиусу вектору плоскости с концом в точке M (x, y) соответствует комплексное число z = x + iy и наоборот. Нулевому вектору соответствует комплексное число 0 + i0.

1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа Положение точки z на плоскости, кроме ее прямоугольных координат x, y, может быть определено и полярными координатами r,.

Введем на комплексной плоскости полярную систему координат так, Oxy чтобы полюс находился в начале O прямоугольной системы, а полярная ось совпала с положительной полуосью Ox. Рассмотрим комплексное число z = x + iy. По формулам x = r cos, y = r sin, связывающим полярные и прямоугольные координаты, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа z = x + iy :

z = r cos +i sin. ( 4 ) ( ) M z Полярные координаты r, точки, изображающей число (то есть, «точки z »), называются модулем и аргументом числа z, для них вводятся обозначения r = z, = Argz. По заданной точке z ее модуль определяется единственным образом, а аргумент – с точностью до слагаемого 2 n, где n Z. Значение аргумента, удовлетворяющее условию - <, называется главным и обозначается = arg z, тогда для всех остальных значений аргумента z будем иметь Argz = arg z + 2 n = + 2 n, n Z.

Точка z = 0 является единственной точкой комплексной плоскости, для которой аргумент не определен. Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство z1 = z2 имеет место, если модули этих чисел равны: r1 = r2, а аргумент отличается на целое кратное :

Argz1 = Arg z2 + 2k, k Z.

Для сопряженных комплексных чисел z и z выполняются соотношения:

z = z, arg z =-arg z.

Отметим еще следующие соотношения:

если z = x + iy z = x2 + y2 :

, то y arg z = argtg, при x > 0 :

x y arg z =argtg +, при x < 0, y > 0 ;

x y arg z =argtg -, при x < 0, y < 0.

x Пусть - произвольное действительное число. Под символом ei понимается комплексное число cos + i sin. C помощью этого символа z любое комплексное число можно записать в показательной форме:

z = rei = z ei arg z. ( 5 ) 1.4. Операции над комплексными числами Сложение. Если c1 = a1 + ib1, c2 = a2 + ib2, то c1 + c2 = a1 + a2 + i b1 + b2.

( ) ( ) Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами:



c1 + c2 = c2 + c1 ; c1 + c2 c3 = c1 + c2 + c3.

( ) ( ) Вычитание. Если c1 = a1 + ib1, c2 = a2 + ib2, то c1 - c2 = a1 - a2 + i b1 - b2.

( ) ( ) Геометрически сложение чисел c1 = a1 + ib1, c2 = a2 + ibпроизводится по правилу сложения векторов, вычитание – по правилу вычитания векторов. Отметим важное неравенство для модуля суммы и разности двух комплексных чисел:

c1 + c2 c1 + c2, c1 - c2 c1 - c2.

Умножение. Если c1 = a1 + ib1, c2 = a2 + ib2, то c1 c2 = a1a2 - bb2 + i ab2 + a2b1, ( ) ( ) 1 таким образом, комплексные числа, заданные в алгебраической форме, перемножаются как двучлены, причем i2 = 1.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами (относительно сложения) c1 c2 = c2 c1 ; c1 c2 c3 = c1 c2 c3 ; c1 c2 c3 = c1c2 + c1c3.

( ) ( ) ( ) Пример. Найти произведение сопряженных чисел c = a + ib и c = a - ib.

Решение. Имеем c c = a + ib a - ib = a2 -( ) ib = a2 + b2.

( )( ) Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, нужно делимое и делитель умножить на число, сопряженное делимому:

( ) ( )( ) ( c1 a1 + ib1 a1 + ib1 a2 - ib2 aa2 + bb2 + i a2b1 - ab2 ) 1 1 ==== c2 a2 + ib2 a2 + ib2 a2 - ib2 2 a2 + b()().

aa2 + bb2 a2 b1 - ab1 1 =+ i 2 a2 + b2 2 a2 + b1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме Пользуясь записью (4) для комплексных чисел c1 = r1 cos + isin, c2 = r2 cos + isin, ( ) ( ) 11 имеем c1c2 = rr2 cos cos - sin sin + i sin cos + cos sin = () ( ) ( ) 1 1 21 21 21 (6) = r1r2 cos + + i sin + () () () 1 21 Следовательно, при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрически умножение c1 на c2 c1 0, c2 ( ) означает, что вектор c1 растягивается в r2 раз и поворачивается (около своего начала) на угол.

Если заданы в тригонометрической форме, то c1,c( ) ( (- ) (- )) c1 r1 cos + i sin r1 cos 1 + i sin 1 cos 2 + i sin = = = c2 r2 cos + i sin r2 cos + i sin cos - i sin () () 22 ( 7 ) r= cos - ) ( - ) + i sin, r1 ( () 1 21 rТаким образом, модуль частного равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

1.6. Возведение в степень и извлечение корня Если перемножить n равных комплексных чисел c = r cos + isin, то из формулы (6) следует:

( ) cn = rn cos n + i sin n. ( 8 ) ( ) Если положить r = 1, то получим формулу n cos + i sin = cos n + i sin n, ( ) которая называется формулой Муавра.

Очевидно, что формула (8) справедлива и при n = 0 c0 = 1 и при ( ) n целом отрицательном. Замечая, что cn = n N, получаем ( ) c-n cn == rn cosn + isin n.

( r-n cos ) (-n ) (-n + isin ()) Итак, для любого n Z справедлива формула (8).

Пусть c = r cos + i sin, n N. Корень n -ой степени из ( ) c n комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле:

+ 2k + 2k cos nn ck = c = r + isin, k = 0,1,2,...,n -1. ( 9 ) nn Докажем формулу (9). Обозначим n c = cos + isin.

( ) Тогда на основании формулы (8) имеем:

n n c = cos + i sin = cos n + i sin n.

( ()) () Отсюда n = r ; n = + 2k, k Z ( ) и, следовательно, n = r + 2k n (под r понимается арифметическое значение корня ), =.

n Здесь в качестве k достаточно брать лишь значения k = 0,1,2,...,n -1 k, так как при прочих значениях получаются уже найденные значения корня.

Формула (9) доказана.

Решение примеров 1. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:

1- 2i а) c1 =.

1+ 2i Делимое и делитель умножим на число, сопряженное с делителем.

Так как 1- 2i 1- 2i ( ) 1- 4i - 4 -3 - 4i c1 = ===, 1+ 2i 1+ 2i 1- 2i ( )( ) то Rec1 =-, Im c1 =-.

1+ i б) c2 =.

1- i 1 + i 1+ i ( ) 1+ 2i - c2 == == i5 = i : Rec2 = 0; Im c2 = 1- i ( )( ) 1- i 1 + i 1+ i в) c3 =.

1+ i Преобразуем c3 следующим образом 1+ i 3 1 - i 1+ 3 + i 3 -( ) ( ( ), ) 1 + i c3 === 1 + i тогда Rec3 = 1 + 3 ; Im c3 = 3 -1.

г ) c4 =.

2 + 3i 1 2 - 3i 2 - 3i c4 ===, 2 + 3i 4 + 9 тогда Rec4 = ; Im c4 =-.

2. Представить в тригонометрической форме следующие числа а) c1 = 1+ i.

Имеем a =1, b = 1. Находим r1 = 12 +12 = 2 ; tg = 1, то есть =, следовательно, 1+ i = 2 cos + i sin.

б) c2 = 1 + i 3.

Для имеем a = 1; b = 3 ; r = 12 + 3 = 2 ; tg = c2, то ( ) есть, =, следовательно, 1+ i 3 = 2 cos + i sin.

3 в) c3 =.

Для c3 имеем a = 5; b = 0, r3 = 5, tg = 0, то есть = 0, 3 следовательно, 5 = 5 cos0 + isin0.

( ) г ) c4 =-2.

Для c4 имеем a =-2 ; b = 0, r4 = 2, tg = 0, то есть =, 4 следовательно, -2 = 2 cos + i sin.

( ) 3. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел а) c1 = 1- i.

Для c1 : a = 1, b =-1; r1 = 12 + = 2; tg =-1 ; =-.

(-) 1 Итак, 1- i = 2; arg 1- i =-.

( ) б) c2 = 5i.

Находим r2 = 5; =. Таким образом, 5i = 5; arg5i =.

2 в) c3 = 16.

Аналогично находим r3 = 16; =, таким образом, 16 = 16; arg16 = 0.

г) c4 = 1 - i 3.

Находим c4 = 12 + - 3 = 4 = 2 ; tg =- 3 ; =-. Таким ( ) 4 образом, 1- i 3 = 2; arg 1- i 3 =-.

( ) 4. Вычислить по формуле Муавра 1+ i а).

1+ i Представим число в тригонометрической форме 1+ i = cos + i sin.

По формуле Муавра:

1 + i = cos + i sin = cos6 + i sin6 = 1.





б) 1+ i.

( ) По формуле Муавра:

8 cos + isin 1+ i = 2 = 24 cos2 + isin2 = ( ) ).

( в) 3 + i.

( ) 3 + i = 2cos + isin = 27 cos + isin = ( ).

3 i =-27 cos + isin =-27 + =-26 3 + i ( ) 662 5. Найти все значения следующих корней а).

Запишем число 16 в тригонометрической форме 16 =16 cos0 + i sin0.

( ) Тогда kk 16 = ck = 2cos + isin, k = 0,1,2,3.

Тогда c0 = 2 ; c1 = 2 cos + i sin = 2i;.

c2 = 2 cos + isin =-2; c = 2cos - + isin - =-2i () 3 Контрольные примеры 1. Изобразить на комплексной плоскости числа:

c1 = 1 + i ; c2 =-3i ; c3 =-2 + 5i ; c4 = c1 + c2 ; c5 = c1 c3 ;

.

c6 = 2 - i c1 - c2 c( ) 2. Выполнить следующие действия (ответом должно быть комплексное число, записанное в алгебраической форме):

2 - i 1- i 1- 2i 11-10i 11+10i а) ; б) + в) + ;

3+ 2i 1+ 2i 1+ i 10 - 9i 10 + 9i ;

г ) 1+ i + i2 +...+ i11 i д) ;

е) 1+ i ;

( ) ;

1- i c1 ci34 + iз) ; и) ; где ж) ;

1+ i c1 + ci41 + ic1 = 3 + 6i ;c2 = 1+ 2i ;c3 = 2 - i.

к) 4 - 7i i10, ( ) 3. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:

7 17 +15i 1 + i ( ) 2i3 1 - i а) ; ( ) б) ;

15 -17i в) ;

1- i ( ) 1 + i ( ) 3 - i 3 + 5i ( )( - i ) е) i11 1+ i 3 ;

г) ; ( ) д) ;

4 + 5i 4 + i 1+ i ( )( - 3i ) i25 1 - i 3 1+ i ( ) ( ) ж) ;

з).

1- i 1 + i () 4. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

а) i ; б) -2 ; в) -i ;

д) 1- i ; е) 5 + 2i ;

г) 2 1+ i ;

( ) и) 5 -12i.

ж ) 3 3 + 3i ; з) 2 3 + 2i ;

5. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел а) -3i ; б) -10 ;

в) 1+ i2003 ;

21 д) -2 - 2i ; е) 5 - 2i ;

г) 1+ i 1+ i 3 ;

( ) ( ) ж ) 5 +12i ; з) -5 +12i ; и) -5 -12i.

6. Вычислить по формуле Муавра 18 29 1+ i б) 1 - i ;

( ) ( ) -1 + i а) ;

в) ;

-1+ i () 16 6 3 - i д) 3 + i ; 1+ i ( ) ( ) г) ;

е) ;

2 1- i ( ) 7. Найти все значения корней 3 3 а) 1 ; б) -64 ; в) 8 ;

г ) 3 + 4i ;

д) 1 + i 3 ; е) -1+ i 3 ;

ж) ;

з) 1- i 3.

() 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные. Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. Общий вид дифференциального n уравнения -го порядка следующий F x, y, y/, y//,..., y(n) = 0, ( 1 ) ( ) причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить и x, y отдельные производные порядка ниже, чем n. Например, уравнения y/ = y ; y// + 5y/ = 1 имеют соответственно первый и второй порядок.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 1. Функция y = x3, x + является решением (-, ) уравнения 3y - xy/ = 0 так как она обращает это уравнения в тождество.

2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение вида F x, y, y/ = 0, ( 2 ) ( ) где x - независимая переменная, y - искомая функция, y/ - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2 ) можно разрешить относительно, то оно y/ принимает вид y/ = f x, y ( 3 ) ( ) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Пример 2. Рассмотрим уравнение y/ = 3x2. ( 4 ) Для его решения нужно проинтегрировать функцию f (x) = 3x2. При этом мы получим, как известно, бесчисленное множество функций y = x3 + C, (C - произвольная постоянная), каждая из которых будет удовлетворять уравнению (4).

Пример 3. Рассмотрим уравнение y/ = y. ( 5 ) C Легко убедиться, что y = Cex - решение, - произвольная постоянная.

Простейшие примеры показывают, что в решения дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная C.

Дифференциальное уравнение первого порядка y/ = f x, y имеет ( ) бесчисленное множество решений, которые обычно определяются формулой y = x,C, содержащей одну произвольную постоянную C.

( ) Такое множество решений называют общим решением.

Придавая произвольной постоянной C определенные допустимые числовые значения, мы будем получать частные решения. Отыскание решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение. Иногда решение получается в неявной форме:

Ф x, y,c = 0, ( ) тогда его называют общим интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2.2. Задача Коши Задачей Коши называется задача отыскания решения уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию y = y0. ( 6 ) x= xОтвет на вопрос, при каких условиях задача Коши имеет решения, дает теорема Коши.

Теорема Коши о существовании и единственности решения. Пусть дано уравнение y/ = f x, y, x, y G2 и начальное условие y = y( ) ( ) ( ) ( ) при x = x0, x0, y0 G. Если функция f (x, y) и ее частная производная ( ) ( ) fy/ (x, y) непрерывны в окрестности точки M x0, y0 области G, то в ( ) некоторой окрестности точки x0 существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию: при x = x0 y = y0.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.