WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Методическое пособие по курсу ДС.00 “Теория автоматического управления” для студентов специальности 010200 — Прикладная математика и информатика ВОРОНЕЖ 2003 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики, протокол № 5 от 26.02.03 Составитель Дылевский А. В.

Методическое пособие подготовлено на кафедре технической кибернетики и автоматического регулирования факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3 и 4 курсов д/о, 5 курса в/о.

3 Содержание Введение............................... 3 1. Методика применения интегральных оценок.......... 3 2. Вычисление линейных интегральных оценок.......... 4 3. Вычисление квадратичных интегральных оценок........ 7 4. Примеры вычисления и применения интегральных оценок....................... 14 Литература.............................. 17 Введение Интегральные оценки качества являются косвенными показателями, позволяющими по переходной составляющей ошибки системы регулирования исследовать характер протекания переходного процесса (перерегулирование, быстродействие, степень колебательности, коэффициент затухания, оптимальные параметры и т.п.). Находят применение линейные и квадратичные интегральные оценки.

1. Методика применения интегральных оценок Линейными интегральными оценками называют оценки вида Ik() = e-ttk(t) dt, (1) 0 где (t) — переходная составляющая ошибки регулирования, — вещественный неотрицательный параметр, k Z0 — целое неотрицательное число. При = 0 оценка (1) представляет собой момент k-го порядка функции (t), т.е.

Ik = Ik(0) = tk(t) dt. (2) 0 Квадратичными оценками называют следующие интегралы:

k Jk = ii(i)(t) dt.

i=Здесь i R, 0 = 1, k Z0. Интегралы Jk при k 1 называют обобщенными квадратичными оценками.

Если система регулирования является устойчивой, то (t) 0 при t и интегралы I0 и J0 стремятся к некоторому конечному значению, равному площади соответственно под кривой (t) и 2(t). Оба интеграла могут служить относительной мерой быстродействия. Чем меньше значение интеграла I0 или J0, тем выше быстродействие системы. В связи с этим названные оценки обычно используют следующим образом: находят оценку I0 или J0 как функцию параметров системы и ищут значения параметров, обращающие интеграл I0 или J0 в минимум, т.е.

I0 J= 0 или = 0, A A где A — варьируемый параметр системы.

Для колебательных процессов интеграл I0 не может служить критерием оценки качества, так как площадь под (t) учитывается интегралом с соответствующим знаком, и площади, расположенные ниже оси времени, будут вычитаться из площади, расположенной выше этой оси.

Для апериодических процессов, имеющих перерегулирование, применение I0 как критерия качества регулирования также приводит к большим погрешностям, если (t) меняет свой знак. Поэтому интегральная оценка I0 качества регулирования применима только для монотонных процессов и апериодических без перерегулирования.

Интегральная оценка J0 является квадратичным критерием и учитывает сумму абсолютных значений площадей, расположенных выше и ниже оси времени, причем при вычислении отдельных площадей в расчет принимается вместо ординаты ее квадратичное значение. Благодаря этому интегральная оценка J0 может быть применена к любым переходным процессам.

2. Вычисление линейных интегральных оценок Линейные интегральные оценки (2) пропорциональны коэффициентам ошибок. В самом деле, известно, что tk(t) tk(t)e-st dt = (-1)kE(k)(s), где (t) E(s). Следовательно, при s = Ik = tk(t) dt = (-1)kE(k)(0). (3) Представим E(s) в виде ряда по степеням s s s2 sk E(s) = C0 + C1 + C2 +... + Ck +..., 1! 2! k! где коэффициенты ряда Ck являются коэффициентами ошибок, Ck = E(k)(0). Таким образом, Ik = (-1)kE(k)(0) = (-1)kCk.

Отметим, что изображение E(s) переходной составляющей ошибки (t) может быть найдено по передаточной функции замкнутой системы W (s). Действительно, по определению W (s) h(t) H(s) =.

s В силу теоремы о конечном значении hуст = lim h(t) = lim sH(s) = W (0).

t sПоэтому hуст W (0) - W (s) (t) = hуст - h(t) E(s) = - H(s) =. (4) s s Поскольку W (s) — дробно-рациональная функция, то E(s) можно представить в виде дробно-рациональной функции b0sm + b1sm-1 +... + bm-1s + bm E(s) =. (5) a0sn + a1sn-1 +... + an-1s + an Тогда, принимая во внимание формулу (3), находим bm I0 =, an = 0. (6) an Из соотношения (5) сразу следует, что (t) является решением дифференциального уравнения a0(n)(t) + a1(n-1)(t) +... + an-1(t) + an(t) = = b0(m)(t) + b1(m-1)(t) +... + bm-1(t) + bm(t) (7) с нулевыми начальными условиями, где (t) — дельта-функция Дирака. Однако на практике переходную составляющую ошибки (t) удобнее рассматривать как решение однородного уравнения a0(n)(t) + a1(n-1)(t) +... + an-1(t) + an(t) = 0 (8) при ненулевых начальных условиях (0) = 0, (0) = 1,..., (n-1)(0) = n-1. (9) Допустим, что n - m = l > 0. Выразим начальные значения i через коэффициенты дифференциального уравнения (7). Применяя к уравнениям (7) и (8) теорему о дифференцировании оригинала, соответственно получаем n m aksn-kE(s) = brsm-r, k=0 r= n n-k ak sn-kE(s) - sn-k-i(i-1)(0) = 0.

k=0 i=Отсюда сразу вытекает условие m n n-k brsm-r = ak sn-k-ii.

r=0 k=0 i=Нетрудно проверить, что n n-k n-1 n-k n-1 k ak sn-k-ii = ak sn-k-ii = sn-1-k ak-ii.



k=0 i=1 k=0 i=1 k=0 i=Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, окончательно находим 0, r = 0, l - 2, r-r = (10) br-l+1 + ar-kk, r = l - 1, l - 1 + m.

ak=Рассмотрим далее метод аналитического вычисления интеграла I0, предложенный академиком В. С. Кулебакиным [3], для заданного дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (9). Делая подстановку значения (t) из уравнения (8), при an = 0 имеем I0 = (t) dt = - a0(n)(t) +... + an-1(t) dt = an 0 = - a0(n-1)(t) + a1(n-2)(t) +... + an-2(t) + an-1(t).

an Будем предполагать, что при t = переходный процесс закончился и регулируемая величина приняла установившееся значение. Тогда (n-1)(t) t= = (n-2)(t) t= =... = (t) t= = (t) t= = 0.

Таким образом, значение I0 определяется по формуле I0 = [a0n-1 + a1n-2 +... + an-21 + an-10] (11) an исходя из заданных начальных значений i и коэффициентов ar. Поскольку l-1+r br = al-1+r-ii, r = 0, m, i=то n- bm = an-1-ii i=и формулы (6) и (11) эквивалентны.

3. Вычисление квадратичных интегральных оценок Для вычисления интеграла J0 воспользуемся методом, указанным академиками А. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. [3]. Пусть задано дифференциальное уравнение (8) с начальными условиями (9).

Умножим уравнение (8) поочередно на (r)(t) при r = 0, n - 1 и почленно проинтегрируем полученные уравнения n an-i (r)(t)(i)(t) dt = 0, r = 0, n - 1. (12) i=Введем обозначение ri = (r)(t)(i)(t) dt. (13) Учитывая, что ri = ir, перепишем систему уравнений (12) следующим образом:

an00 + an-101 +... + a10,n-1 + a00n = an01 + an-111 +... + a11,n-1 + a01n = an02 + an-112 +... + a12,n-1 + a02n = (14)...................................................

an0,n-2 + an-11,n-2 +... + a1n-2,n-1 + a0n-2,n = an0,n-1 + an-11,n-1 +... + a1n-1,n-1 + a0n-1,n = 0.

Нетрудно показать, что интеграл,+ в зависимости от четности определяется равенством -,+ + (-1)µJ0,+µ, = 2µ,,+ = (15) -,+, = 2µ + 1, где J0r = (r)(t) dt, r = 0, n - 1, (16) µ- (-1)i+i+-1-i, = 2µ, i=,+ = (17) µ-(-1)µ (-1)i+i+-1-i + 2, = 2µ + 1.

+µ i=Подставляя значения интегралов ri, определенные по формуле (15), в (14) получаем следующую систему из n уравнений относительно неизвестных J0r:

anJ00 - an-1J01 + an-4J02 - an-6J03 +... = Q an-1J01 - an-3J02 + an-5J03 -... = Q -anJ01 + an-2J02 - an-4J03 +... = Q -an-1J02 + an-3J03 +... = Q3 (18) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·... + a2J0,n-2 - a0J0,n-1 = Qn-... - a3J0,n-2 + a1J0,n-1 = Qn-1.

Здесь n Qr = an-iri, r = 0, n - 1. (19) i=Из системы (18) найдем значения интегралов J0r (r = 0, n - 1 ) r J0r =, (20) где an -an-2 an-4 -an-6... 0 0 an-1 -an-3 an-5... 0 0 -an an-2 -an-4... 0 = 0 0 -an-1 an-3... 0 0. (21)..............................................

0 0.................... a2 -a 0 0.................... -a3 aОпределитель r получается из определителя (21) заменой (r + 1)-го столбца на столбец (Q0, Q1,..., Qn-1)т.

Учитывая, что J0 = J00, окончательно получаем выражение для JJ0 =. (22) Оценка Jk при k < n вычисляется как сумма k Jk = J0 + i2iJ0i. (23) i=Для вычисления J0i следует воспользоваться формулой (20).

В [4] приводятся формулы, позволяющие находить J0 непосредственно по коэффициентам передаточной функции E(s). Если m = n - 1, то m J0 = Brr - 2 bm-1, (24) bm 2an r=где определяется формулой (21), 2 Bm = bm, Bm-1 = bm-1 - 2 bm-2, bm..............................

2 br+Br = br - 2 br-1 +... + 2(-1)r b2r-m, bm..............................

B0 = b0, an bm an- bm = b0 -, bm-1 = b0 -, a0 b0 a bm-1 an- bm-2 = b0 -, b0 a..............................

b1 a b0 = b0 -, b0 a r — определитель, получающийся из определителя в результате замены (n - r)-го столбца столбцом вида (an-1, an, 0,..., 0)т.

При m < n - 1 выражение (24) примет вид m J0 = Brr, (25) 2an r=где Bm = b2, Bm-1 = b2 - 2bmbm-2, m m-..............................

Br = b2 - 2br+1br-1 +... + 2(-1)rbmb2r-m, r..............................

B0 = b2, определитель r имеет прежнее значение.

Следует отметить, что вычисление Jk можно производить по формуле (23) с помощью изображений функции (t) и ее производных (t) E(s), (t) sE(s) - 0,........................

k (k)(t) skE(s) - sk-ii-i=применяя для J0r формулы (24), (25) или (20).

Известно [5], что при выборе параметров системы по минимуму оценки J0 в ряде случаев имеют место слишком колебательные переходные процессы, так как приближение процесса h(t) к идеальному скачку вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Это приводит к необходимости использования обобщенных квадратичных оценок, в которых ограничения накладываются не только на величину отклонения (t), но и на скорость отклонения (t), а также и на производные второго, третьего и т.д. порядка. При выборе параметров системы регулирования по минимуму Jk существенен выбор весовых коэффициентов i. Значительное увеличение i приводит к отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регулирования. При малых i уменьшение колебательности процесса будет незначительным.





Рассмотрим оценку J1, которую можно представить в виде J1 = 2(t) + 1 2(t) dt = [(t) + 1(t)]2 dt 0 - 21 (t)(t) dt = [(t) + 1(t)]2 dt + 12(0).

0 Здесь предполагается, что система устойчива и lim (t) = 0. Очевидно, t что оценка J1 имеет минимальное значение min J1 = когда (t) + (t) = 0, т.е. тогда, когда t (t) = 0e-.

Это означает, что min J1 является критерием наилучшего приближения исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени 1.

Оценка Jk является критерием приближения кривой переходного процесса к решению уравнения порядка k [4]. Интеграл Jk записывается в виде 2 2k Jk = 2(t) + 1 2(t) +... + k ((k)(t))2 dt = = (t) + 1(t) +... + k(k)(t) dt + c.

Возведя в квадрат подынтегральное выражение в правой части этого равенства и интегрируя по частям произведения производных (см. (13), (15)– (17)) при условии, что (0) = 0, (0) = (0) =... = (k-1)(0) = 0, (26) получаем [4]:

c = 12, 2 1 - 202 = 1, 2 2 - 213 + 204 = 2, (27) 2 3 - 224 + 215 - 206 = 3,..............................

2 2k k = k, где 0 = 1. Очевидно, что Jk принимает минимальное значение min Jk = c = 12, когда (t) является решением дифференциального уравнения k(k)(t) + k-1(k-1)(t) + · · · + 1(t) + (t) = 0 (28) при начальных условиях (26).

Коэффициенты i оценки Jk определяются с помощью (27) по заданным значениям коэффициентов r желаемого уравнения (28).

Заметим, что вычисление квадратичных оценок Jk можно проводить по заданной частотной характеристике замкнутой системы. Пусть, как и ранее, E(s) — изображение по Лапласу для переходной составляющей ошибки (t), определяемое формулами (4), (5). Сравнивая J0 с изобра жение для 2(t), имеющего вид 2(t)e-st dt, находим J0 = 2(t) dt = L 2(t).

s= Для изображения произведения двух оригиналов L (t)(t) = L 2(t) применима теорема об умножении оригиналов, согласно которой +j L 2(t) = E(s - q)E(q) dq, (29) 2j -j где j = -1 — мнимая единица и в полуплоскости Re s = > s0 функция E(s) аналитическая. Если все полюса E(s) находятся слева от мнимой оси, то в (29) можно положить = 0, а q = j. Тогда L 2(t) = E(s - j)E(j) d.

Полагая в последнем равенстве s = 0, находим выражение для J 1 J0 = E(-j)E(j) d = |E(j)|2 d. (30) - Полученная формула называется формулой Рэлея.

Для квадратичных оценок J1, J2,..., Jn аналогично имеем [6] J1 = J0 + |E1(j)|2 d, J2 = J1 + |E2(j)|2 d,..............................

2n n Jn = Jn-1 + |En(j)|2 d, где i Ei(s) = siE(s) - si-rr-1.

r=4. Примеры вычисления и применения интегральных оценок Пример 1. Для передаточной функции замкнутой системы b0s2 + b1s + aW (s) = s2 + a1s + aнайдем значения оценок J0 и J1. С этой целью определяем W (0) - W (s) (1 - b0)s + (a1 - b1) E(s) = =.

s s2 + a1s + aПо формулам (10) находим 0 = 1 - b0, 1 = a1b0 - b1. (31) Теперь воспользуемся формулами (20), (22). Определитель и определители 0, 1 в рассматриваемом примере имеют вид a2 -a0 Q0 -a = = a1a2, 0 = = a1Q0 + a0Q1, Q1 a0 a a2 Q 1 = = a2Q1.

0 QСогласно (17) и (19) получаем Q0 = a200 + a101 + a002, Q1 = a210 + a111 + a012, 2 0 00 = 00 = 0, 01 = 10 =, 02 = 01, 12 =, 2 т.е.

a12 a22 0 0 Q0 = + 01, q1 = +.

2 2 Принимая во внимание начальные значения (31), находим 0 = (a1b0 - b1)(2a1 - a1b0 - b1) + (1 - b0)2(a2 + a2), a1 = (a1b0 - b1)2 + a2(1 - b0)2.

Отсюда окончательно получаем 0 (a1b0 - b1)(2a1 - a1b0 - b1) + (1 - b0)2(a2 + a2) J0 = =, (32) 2a1a 1 (a1b0 - b1)2 + a2(1 - b0)2 J1 = J0 + 1 J01 = J0 + 1 = J0 +.

2a1aЕсли положить 1 = 1, то 2(a1b0 - b1)(a1 - b1) + (1 - b0)2(2a2 + a2) J1 =. (33) 2a1aПример 2. Пусть aW (s) =.

s2 + s + aНайдем значение параметра, при котором оценки J0 и J1 (1 = 1) минимальны. В рассматриваемом примере b0 = b1 = 0, b2 = a2, a0 = 1, a1 =. Поэтому из (32) и (33) сразу находим a2 + 2 J0() = = +, 2a2 2 2a2a2 + 2 J1() = = +.

2a2 2aИз необходимого условия минимума получаем J0() 1 = 0 - + = 0, 2 aJ1() 1 = 0 - + = 0.

2 2a Итак, для оценки J0 минимум достигается при = a2, а для оценки J — при = 2a2.

Оптимальный переходный процесс в смысле оценки J1 описывается функцией t (t) = 0e- = e-t.

Пример 3. Для передаточной функции замкнутой системы s + aW (s) = s2 + a1s + aопределить параметр, доставляющий минимум оценки J0. С помощью формулы (32) находим ( - 2a1) a2 + a2 J0() - aJ0() = + ; =.

2a1a2 2a1a2 a1aJ0() Из условия = 0 определяем = a1, т.е. система должна обла дать астатизмом 2-го порядка.

Литература Основная литература 1. Брюханов В. Н. Теория автоматического управления / В. Н. Брюханов, М. Г. Косов, С. П. Протопопов. — М.: Высш. шк., 2001. — с.

2. Варжапетян А. Г. Системы управления: Исслед. и компьютер. проектирование / А. Г. Варжапетян, В. В. Глущенко. — М.: Вузовская книга, 2000. — 326 с.

Дополнительная литература 3. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем / Н. Н. Иващенко. — М.: Машгиз, 1958. — 532 с.

4. Красовский А. А. Основы автоматики и технической кибернетики / А. А. Красовский, Г. С. Поспелов. — М.: Госэнергоиздат, 1962. — с.

5. Теория автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1977. — Ч. 1: Теория линейных систем автоматического управления. — 303 с.

6. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю. И. Топчеев. — М.: Машиностроение, 1989. — 752 с.

Составитель Дылевский Александр Вячеславович Редактор Бунина Т. Д.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.