WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра информатики и методов оптимизации СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MAPLE Задания и упражнения Учебно-методическое пособие для студентов математического факультета ТВЕРЬ 2003 УДК 681.3.06 Автор-составитель кандидат технических наук, доцент В.О. Ашкеназы Система аналитических вычислений Maple: Задания и упражнения:

Учебно-методическое пособие. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003. - 26 с.

Сборник заданий и упражнений по работе с компьютерной системой аналитических вычислений Maple может быть использован для закрепления умений и навыков, полученных при начальном изучении интерфейса и языка программирования системы Maple. Пособие предназначается для студентов и специалистов, применяющих математику в своей учебной и практической деятельности. В течение нескольких лет эти задания и упражнения успешно выполнялись на версиях Maple V R3/R4/R5 и Maple 6.

Библиогр.: 4 назв.

Публикуется по решению кафедры информатики и методов оптимизации (Протокол № 2 от 4 октября 2002 г.) © Ашкеназы В.О., 2003 © Тверской государственный университет, 2003 2 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Используйте команды Maple: factor, solve, fsolve, evalf, subs, plot для решения следующих задач. При этом:

a) постройте графики функций для определения расположения их нулей;

b) попробуйте разложить на множители многочлены;

c) используйте команды solve или fsolve для нахождения всех решений. В некоторых случаях вы могли бы воспользоваться командой evalf, чтобы увидеть численные значения;

d) подставьте решения в функцию или уравнение, чтобы убедиться, что вы действительно нашли то, что искали.

1. Найдите все корни следующих многочленов:

1) x4 - x3 - 5 x2 +12 ;

2) 2 x3 -13x2 - 4 x + 60 ;

3) 8 x2 + 2 x3 - x4 ;

4) 2 x4 - 5 x3 +10 x -12 ;

5) x5 - x4 -15 x3 + x2 + 38 x + 24 ;

6) x5 - x4 -15 x3 + x2 + 38 x +10 ;

7) 10 x5 - 30 x +10 ;

8) x6 - 5.4 x5 + 5.2 x4 - 3.2 x3 +10 x2 - 3x + 37.

x 2. Найдите все три решения уравнения log (x) =.

3. Решите уравнения:

1) 16 x5 - 20 x3 + 5 x = 1;

2) 32 x6 - 48 x4 +18 x2 = 1;

3) 5.7 x4 - 5.2 x3 +10 x2 - 99 ex = 4.99.

x4. Найдите все решения уравнения sin(x) = x -. Кстати, какова кратность очевидного корня x = 0 Попробуйте воспользоваться командой series (или taylor) для разложения выражения в степенной ряд и командами convert, xfactor. А что, если уравнение будет иметь вид sin (x) = 2 x + 5. Найдите корень уравнения x3 x5 x7 x9 x11 xx - + - + - + = 6 120 5040 9! 11! 13! в интервале (3; 3,5).

6. Сколько решений имеет следующая система в зависимости от значения параметра a:

x2 + y2 = 1;... x + y = a Указание: Постройте графики для двух уравнений в плоскости x0y, используя функцию implicitplot. Решите систему для a=0, a=0.5, a=1, a=2. Угадайте ответ. Проверьте его.

7. Выражение:

(x - b)(x - c) (x - a)(x - c) (x - a)(x - b) q = + + -(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) является многочленом второй степени от x, и уравнение q = 0 - это квадратное уравнение. Но если вы подставите x = a, или x = b, или x = c, то получите q = 0. Итак, наше квадратное уравнение имеет три корня! Почему это может быть 8. Решите неравенства:

1) 2ln (x2 - 3) < 3- ln (x2 - 3)2 ;

2) x4 + 3x3 -10 x2 - 32 x - 99 57 x5 - 24 x + 95.

2. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В MAPLE 1. Пусть U - это множество первых двадцати простых чисел (см. пакет numtheory). Пусть V - это множество первых двадцати чисел вида 2n -1. Сформируйте множества U и V. Найдите пересечение U с V и объединение U и V.

2. Сформируйте список из 100 случайных целых чисел от -10 до 10 (функция rand).

1. Удалите из этого списка все "дублирующие" элементы.

2. Выберите из списка, полученного в (1), все числа, которые делятся на 2 или на 3.

3. Удалите из списка, полученного в (1), все числа, большие чем 5.

i 3. Сформируйте матрицу 5 4 с элементами вида Mi, j =. Умножьте эту j матрицу на транспонированную к ней. Вычислите определитель полученной квадратной матрицы.

4. Для системы e1 = -x1 + 2 x2 - 3 x3 = 3; e2 = 2 x1 - x2 + 2 x3 = 1; e3 = 2 x1 - 2 x2 + 3 x3 = 2;

сформируйте матрицу системы (команда genmatrix пакета linalg). Затем воспользуйтесь командами gausselim и backsub для решения системы.

Решите эту же систему с помощью команды solve.

3. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 3.1. Задачи суммирования Используйте команды sum и value (или evalf) для вычисления последующих сумм при нескольких увеличивающихся значениях n (например, n=100, 500, 1000) и, наконец, при n =. Общий член суммы предварительно опишите с помощью некоторой переменной. Результат вычислений оформите, например, в виде 1 =.

nn=Желательно затем привести таблицу полученных приближенных численных значений для разных n.

2n + 3n 1) ;

6n n = n 2) ;

( n +1)( n + 2)( n + 3) n = 2n +3) ;

n2 ( n +1)n = 2n + n2 + n 4) ;

2(n+1)n ( n +1) n = (-1)(n-1) (2n +1) 5) ;

n ( n +1) n = n -6).

n! n = В последних двух задачах этого задания через c(n,k) обозначены биномиальные коэффициенты (см. подсказку: binomial).

n 7) c ( n,k )( -1)(k +1) ;

k =n 8) ( k +1)c ( n,k ).

k =3.2. Вычисление пределов и дифференцирование функций 1. Найдите пределы, используя Limit, и воспроизведите задачу, записав сначала исходную формулу для предела, потом знак равенства, а затем значение предела. Затем воспользуйтесь каким-нибудь другим методом, чтобы проверить ответ, полученный вами для предела, например, используйте правило Лопиталя, постройте график, вычислите последовательность значений, сходящихся к предельному значению, и т.д.



Для задач, содержащих символы вроде "a'' или "b'', выясните случаи, для которых пределы существуют, и случаи, для которых предел не существует.

sin ( a x ) 1) lim ;

x sin( b x ) ln (cos( a x )) 2) lim ;

x ln ( cos( b x )) 3 x2 + 2 x - 3) lim ;

x x2 + 2 x - sin(x) - x 4) lim ;

x xx - sin(x) 5) lim ;

x 0+ (x sin (x)) sin (x) 6) lim ;

x arctg (x) ax - 7) lim ;

x bx -ln(x) 8) lim ;

x x2 + x - 1- cos(x2) 9) lim ;

x x2 sin (x2) x (ex +1) - 2(ex -1) 10) lim ;

x xln (1+ x) - x 11) lim ;

x 1- cos(x) x sin ln (x) 12) lim ;

x (x3 + 5)(x -1) cosh(x) - cos(x) 13) lim ;

x xx - a + x - a 14) lim ;

x a+ x2 - ax ctg(x) -15) lim ;

x xsin x 16) lim ;

x - arctg x ax 17) lim ;

x xb 18) lim x 4 sin ;

x x 19) lim x2 - x4 - x2 ;

x x 20) lim x( x -1) ;

x 0+ x 21) lim x( x ) ;

x 0+ 22) lim (1 - 2x )sin( x) ;

x 023) lim ctg(x)sin ( x);

x 24) lim x 1- x.

x Для выполнения следующих упражнений воспользуйтесь, при необходимости, командой суммирования sum.

25) Пусть a - это положительное вещественное число.

1 a 1 a Положим x1 = 1, x2 = x1 +,..., xn+1 = xn +,...

2 x1 2 xn lim xk = a Докажите, что.

k 26) Докажите, что последовательность a1 = 0,..., an+1 = an + 6,... имеет предел и найдите его. Кстати, попробуйте найти этот предел без помощи Maple.

1 1 1 1+ 1+ 1+ 27) Пусть an = K 1+ n ). Найдите nlim an.

2 4 2(Попробуйте также найти этот предел без помощи Maple.

28) Пусть fn(x) это n-я итерация функции sin(x) :

fn(x) = (sin (sin(K(sin xK))), т.е. функция sin(x) прилагается n раз.

Экспериментируя с Maple, убедитесь, что последовательность fn (x) для 1 C любого x между 0 и 1 имеет скорость роста, т.е. lim fn(x) =. Найn n n дите значение C.

2. Найдите производную dy/dx, если функция y (x) задана неявно одним из приведенных ниже выражений вида f (x, y) = 0 :

а) предполагая, что y является функцией от x, продифференцируйте уравнение, а затем разрешите полученный результат, относительно dy/dx;

б) воспользуйтесь командой implicitdiff (дифференцирование неявной функции):

в) для иллюстрации полученного результата постройте график функции y (x), используя команду implicitplot из пакета plots ; на этом же графике изобразите касательную к полученной кривой в заданной точке (x, y).

Варианты выражений:

1) x2 + x y - y2 = 1, в точке (2, 3);

2) x2 + y2 = 25, в точке (3, -4);

3) y2 - 2 x - 4 y -1 = 0, в точке (-2, 1).

3. Существует ли функция z = f (x, y), удовлетворяющая следующим условиям Если существует, то найдите ее. Воспользуйтесь, при необходимости, командой интегрирования int.

d z d z 1) = 2 x y, = x2 +1;

d x d y d z y d z x 2) = -, = - ;

d x d y x2 + y2 x2 + yd z d z 3) = x y, = x y ;

d x d y d z y d z x 4) =, = -.

d x - y)2 (x - y)d y (x Примечание. Система дифференциальных уравнений с частными производными допускает решение только тогда, когда удовлетворяются условия совместимости, то есть совпадают смешанные производные высшего порядка - в наших задачах это z = z.

y x x y 3.3. Вычисление интегралов 1. Используйте команды leftbox, middlebox, rightbox, leftsum, middlesum, rightsum вместе с limit, int, Int, evalf, чтобы исследовать интегралы от некоторых функций на заданном интервале. Например, постройте график, используя некоторое значение n (числа прямоугольников), которое даст разумное приближение к значению, получаемому с помощью int. Воспользуйтесь также для каждого из интегралов формулами трапеций и Симпсона (попробуйте несколько разумных значений n).

1) sin (x) + x, 0 < x < 1;

, 0 < x < 1;

2) x sin x, 3) x2 sin 0 < x < 1;

x, 0 < x < 1;

4) x sin x 5) x3 - sin(x) + ln (x), 1 < x < 2.

2. Найдите точки пересечения кривых и вычислите площадь, ограниченную кривыми.

1) x + y2 = 0, x + 3 y2 = 2 ;

2) x3 - y2 = 0, x + y4 = 2 ;

3) y = 8 x - x2, y = 2 x ;

4) y = sin(x)2, y = 0, x = 0, x = ;

5) x2 y = 4, x = 1, x = 3, y = 0 ;

6) 2 y = x2, y2 = 16 x.

3. Используйте определенные интегралы для вычисления объемов:

1) найдите объем шара радиуса 1, если вы знаете формулу для площади круга S = R2 ;

2) найдите объем пересечения двух цилиндров, заданных уравнениями x2 + z2 = 1, y2 + z2 = 1.

4. Найдите первообразные от следующих функций.

При необходимости воспользуйтесь командами changevar (замена переменных) и intparts (интегрирование по частям) пакета student.

1) ;

x5 +2) 1- x2 arcsin (x) ;

3) 2 x3 + 3 x2 +1 (x2 + x);

4) x ln(x);

5) x2 sin(2 x) ;

6) (x -1)3;

ex 7) ;

ex +x 8) ;

x2 +9) ;

x4 x6 -6 x3 -19 x2 + 23 x - 10).

x4 - 4 x3 + 3 x2 -16 x +Проверьте ваши ответы дифференцированием.

3.4. Ряды и их сходимость 1. Для данного ряда с заданным n-м членом определите, сходится или расходится ряд.

n n 1) an = ;

3n + n 2) bn = ;

n2 +2n 3) cn = ;

n! ln(n) 4) dn = ;

n n2 +n5) en = ;

2n 2n n! 6) fn = ;

nn (n!)7) gn =.

2(n ) 2. Определите радиус сходимости степенного ряда. Проверьте также крайние точки интервала сходимости.





2 n ) 2n ) 1) ;

( -1)n 2( x( 2n n = 2) (1- (- 2)n ) xn ;

n =(n2 ) 1+ 3) xn ;

n n = ( n!)2 xn 4) ;

( 2n )! n =n 3 xn 5).

n =1 n2 +3. Вычислите n-й многочлен Тейлора для функции f (x) в точке x = 0 на интервале ( - c,c ). Постройте графики функции и нескольких первых многочленов Тейлора.

1) f (x) = sin(x)2 при c = 2 ;

1- x 2) f (x) = ln при c =.

1+ x 4. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MAPLE 1. Напишите процедуру, которая строит семейство графиков системы функций {sin (x), sin (2 x),K, sin (n x)} для заданного n.

2. Напишите процедуру, которая печатает n первых чисел Фибоначчи.

3. Напишите процедуру, которая печатает все числа Фибоначчи, имеющие значение, меньшее заданного числа.

4. Итерационный метод Ньютона для решения уравнения f (x) = 0 описывается рекуррентным соотношением xk +1 = xk - f (xk ) / f '(xk ).

Таким образом, чтобы приближенно вычислить x = a мы можем решать, уравнение x2 - a = 0, используя рекуррентное соотношение a xk + xk + =( )/2, xk a при некотором начальном условии, например, x0 =.

Напишите процедуру SqrtNewton, которая вычисляет a с абсолютной погрешностью 10(-50). Сравните этот результат с вычислением квадратного корня при помощи функции sqrt.

5. Напишите процедуру с именем remove1, в которой remove1(x,L) удаляет первое появление величины x из списка L. Если x не содержится в списке L, возвращается FAIL (неудача).

Продемонстрируйте работу этой процедуры на любом сформированном вами списке.

6. Напишите процедуру с именем variance, которая вычисляет дисперсию (variance) списка чисел. То есть variance(x) вычисляет n ( xi - )2 n, n i = где n - это число элементов списка x, а - это среднее значение чисел в списке x. Ваша программа должна печатать сообщение об ошибке, если список является пустым.

Продемонстрируйте работу этой процедуры на любом сформированном вами списке чисел.

7. Напишите процедуру, которая вычисляет норму Фробениуса матрицы A.

Норма Фробениуса - это m n Ai, j.

i =1 j = Продемонстрируйте работу этой процедуры на любой сформированной вами матрице.

5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Используйте dsolve, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения. Затем подставьте решение в уравнение и покажите, что это действительно искомое решение (т.е. проверьте ваш результат).

Если имеется начальное условие, то найдите также частное решение при заданном начальном условии.

1) y(x) - 6 y(x) = 10 sin(2 x), при y(0) = 0;

x 2 y(x) (x - 2)ex 2) y(x) - =, при y(2) = 0 ;

x x x 3) r() - (2 r() ctg () + sin (2) = 0.

2. Используя DEtools, изобразите поля направлений (dfieldplot) для уравнения первого порядка, затем используйте DEplot, чтобы изобразить несколько траекторий при заданных начальных условиях (заметьте, что вам может потребоваться ограничить диапазон значений y).

y(t) (y(t) -1) 1) y(t) = ; [0,.5], [0, 1.25] для t от 0 до 2;

t 2) y(t) = sin (4t y(t)) ; [0,.1], [0,.5], [0, 1.25], [0, 1.6] для t от нуля до 2;

t y 3) y(t) = -sin (x) -, где x – константа. Используйте [t, x, y] в качестве t переменной и начальное условие [0, 1, 1] для t от -10 до 10 в DEplot.

6. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 6.1. Работа с матрицами и решение систем линейных уравнений 1. Даны матрицы A и B:

1 -1 A = -1 2 0 ;

0 0 1 0 B = 1 1.

1 0 а) Найдите (2 A2 - 3) B.

б) Найдите (A + B)(A - B) и A2 - B2.

в) Найдите AB и B A. Сравните результаты.

г) Найдите (A + B)2 и A2 + 2 AB + B2.

2. Используйте команды swaprow, multrow, и др., чтобы привести следующую систему к верхнему треугольному виду. Затем воспользуйтесь командой backsub, чтобы решить систему.

2 x1 + x2 + 4 x3 =, 3 34 3 x1 + x2 + x3 =, 2 5 2 x2 + 5 x3 =.

3 3. Найдите значения a и b, при которых система уравнений имеет:

1) единственное решение, 2) бесконечное множество решений, 3) никаких решений.

x1 + x2 + x3 = 6, x1 + 2 x2 + 3 x3 = 10, x1 + 2 x2 + a x3 = b.

4. Найдите значения b, при которых система уравнений имеет решение. Затем решите систему для каждого из значений b:

x1 + x2 + x3 = 1, x1 + 2 x2 + 4 x3 = b, x1 + 4 x2 +10 x3 = b2.

5. Напишите процедуру, зависящую от целого n, которая будет строить n n матрицу A, в которой (i, j)- й элемент равен (i + j - 2)2, и вычислите определитель.

Догадайтесь, каким будет этот определитель.

6. Напишите процедуру, зависящую от целого n, и дающую n n матрицу с главной диагональю, состоящей из единиц, и с первой поддиагональю из единиц, т.е. если n = 4, то 1 0 0 1 1 0 A =.

0 1 1 0 0 1 Для нескольких значений n найдите обратную матрицу.

6.2. Проблема собственных значений 1 - 1. Дана матрица A =.

2 - а) Найдите характеристический многочлен.

б) Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы.

в) Решите, является ли A диагонализируемой матрицей. Если это так, то найдите матрицу P, такую, чтобы P-1A P была диагональной.

г) Покажите, что A удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

1 - 3.

2. Дана матрица B = 3 - 5 - 6 а) Найдите характеристический многочлен.

б) Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы.

в) Решите, является ли B диагонализируемой матрицей. Если это так, то найдите матрицу P, такую, чтобы P-1B P была диагональной.

- 3 1 - 3. Дана матрица C = 7 5 -1.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.