WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

Если оболочка со стороны вогнутости подкреплена ребрами, па a x,b x раллельными осям координат, то функционал (104) с учетом (105)–(107) Если и R1 1j R1 0, то a b равна 1 j j j j j j можно записать в виде (индекс о у о, о опущен) x y происходит предельный переход [28] 58 В уравнениях равновесия члены, отображающие физическую нелинейab E ность, переносятся в правую часть. В начале они принимаются равными Э h F 2 2 2 1 2 x x y y xy нулю и решается линейно-упругая задача. Полученное решение этой за2 1 дачи подставляется в правую часть и опять решается упругая задача.

Процесс итераций заканчивается, когда предыдущее решение от после x 2W x 2W y 2W y 2W 2 1 xy 2W 2S дующего отличается на малую величину.

x y x2 y2 x2 x 14. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ 2 2 h3 2W 2W 2W 2W 2W РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ J 2 4 1 12 x2 x2 y2 y2 x y В работе Ю. Н. Работнова [38] описаны все вариационные принципы механики и говорится, что эти принципы справедливы для линейно 2 1 2 qW dxdy. (121) упругого тела. Вариационные методы механики основаны на необходиE мом условии минимума функционала полной энергии деформации конЕсли же по линям изломов оболочка подкреплена ребрами жесткострукции, согласно которому в условиях стационарности конструкции сти, то в дополнение к функционалу (121) добавляется выражение (инпервая вариация этого функционала должна равняться нулю. На основе декс о у о, о опущен) x y этого правила можно получить уравнения равновесия любой строительab m ной конструкции при линейно-упругом, нелинейно-упругом деформиE Э1 h 2 x W (x x ) j F y j ровании и в условиях развития деформаций ползучести.

j 2 1 2 Рассмотрим вариационный метод вывода уравнений равновесия на примере простейшей конструкции – стержня длиной l, толщиной h, закn n m 2 j репленного по контуру шарнирно-неподвижно и находящегося под дей 2 W y yi ) 2 W i ( (x x ) i ( y yi ) x y j ствием поперечной нагрузки q (рис. 7).

i 1 i 1 j m 2W 2W j 2S (x x ) j j x2 y2 W n 2W 2W W i ( y yi ) dxdy.

W(x) x2 yi Рис. 7. Стержень, находящийся под действием Заметим, что вводить ребра с помощью дельта-функции по линиям поперечной нагрузки изломов поверхности нельзя, так как в функционале полной энергии деформации будут присутствовать квадраты дельта-функций.

Продольными перемещениями U(x) пренебрегаем, а искомыми являются только перемещения W(x) – прогиб стержня.

13. МЕТОД УПРУГИХ РЕШЕНИЙ Будем рассматривать как линейно-упругие задачи, так и нелинейно-упругие и задачи ползучести.

Метод упругих решений, предложенный А. А. Ильюшиным [16], Деформации стержня в слое, отстоящем на z от срединной линии представляет собой вариант метода последовательных приближений.

(геометрические соотношения), будут иметь вид 60 2 l l d W z z z 1, 0, 1. (122) Э 1 1 M dx q Wdx x xy M x x d x0 Для линейно-упругих задач напряжения вдоль оси x физические l l соотношения будут иметь вид M 1dx q Wdx 0.

x 0 x E z. (123) x После преобразования первого интеграла (два раза применяется Функционал полной энергии деформации стержня записывается интегрирование по частям), получим в виде l d M h Э x q Wdx 0, (128) l l 1 dx Э x z dxdz qWdx. (124) x h откуда на основании основной линии вариационного исчисления урав0 нение равновесия будет иметь вид Если напряжения x, умноженные на z, проинтегрировать по z d M x q 0 (129) h h dxв пределах от до, то получим изгибающий момент 2 2 или 2 h d d W E J q. (130) dx2 dxM x zdz EJ 1, (125) x h В работе Н. И. Безухова [4] говорится, что для линейного упруговязкого тела и вязкопластического тела уравнения равновесия имеют тот где же вид, что и для линейно-упругого тела, т. е. дифференциальные уравнения равновесия для трехмерного тела h h x xy xz J z2dz.

X 0;

h x y z yx y yz Теперь функционал (124) можно записать в виде Y 0;

x y z l l Э M 1dx qWdx. (126) x zx zy z 0 Z 0, x y z Уравнения равновесия можно получить из условия минимума это где X, Y, Z – проекция объемных сил на осях x, y, z; – плотность вещего функционала ства (справедливы для любого тела, лишь бы оно было сплошное).

Э 0. (127) Там же говорится, что решение в общем виде для упруговязкого Находя первую вариацию функционала (126) и приравнивая ее тела, и тем более для упруговязкопластического, получить практически к нулю, получим вариационное уравнение 62 нереально, поэтому приближенные решения находят с помощью различ- Вводя в дополнение к (125) обозначения ных методов последовательных приближений.

П M EI3 1, (138) x Для первого приближения используют решение, полученное для функционал (137) можно записать в виде линейно-упругого тела, а затем применяют метод упругих решений.

l l При выводе уравнений равновесия для упруговязкопластического У П Э M M 1dx qWdx. (139) тела приходится вводить некоторые упрощения. x x 0 При нелинейно-упругом деформировании (упругопластическое Первая вариация функционала (139) будет иметь вид тело) физические соотношения с использованием деформационной теории принимают вид l l 1 У П П Э M 1 M 1 1M dx q Wdx. (140) x x x x У П, (131) x x 2 0 где У имеет вид (123), а П записывают в виде x x Если в дальнейшем для решения задачи будет применяться метод упругих решений, т. е. итерационный процесс, когда нагрузка q разбива x E i z. (132) x ется на части и при последовательном увеличении нагрузки члены, соЗдесь функция i – функция А. А. Ильюшина, принимающая держащие i, переносятся в первую часть и считаются известными, как различный вид для различных материалов, например функции деформации, вычисленной при предыдущем значении нагрузки q, то при нахождении первой вариации функционала (139) варьи i m i ; (133) рование по I3, содержащей i, а следовательно и, не производится.

EТ Т B 1 1 A ;

В этом случае i (134) E i i l l П П M 1 dx M 1 dx, x x m i 0 i Т, 0 m 1.

и вариационное уравнение после соответствующих преобразований при Т нимает вид Интенсивность деформаций для стержня принимает вид l 2 d У П i z 1. (135) Э M M q Wdx 0, (141) x x dx0 Введем обозначение откуда уравнения равновесия будут иметь вид h 2 d У П I3 z2dz. (136) M M q 0 (142) i x x h dx или Функционал полной энергии деформации стержня при нелинейно2 упругом деформировании принимает вид d E J I3 d W q. (143) h dx2 dxl l z Э У z П dxdz qWdx. (137) В общем случае преобразуем вариацию функционала (140) с учетом x x x x h 0 того, что 64 П Для этого же i оценим I3:

M EI3 1 E 1 I3, x где h h 2 4 hd i I3 m 1 2 z4d z m 1 2.

I3 z2 idz, 3 h d i h а учитывая (135), получим Следовательно, h 1 d W 4 h5 2 4 h5 ~ d i 2 I3 I3 m 1 m 1 2I3.

~ I3 z3 1d z I3 1, 2 3 dx2 3 d i h При учете ползучести материала (упруговязкое тело) на основе линейной теории наследственности физические соотношения принимают где вид h d i ~ x t У t С t, (148) x x I3 z3d z.

d i h где имеют вид (2), а С записывается в виде У t t x x Теперь вариационное уравнение примет вид t С t E R1 t, d. (149) x z x l d ~ M M M 1 q Wdx 0, (144) У П П t Э x x x dx2 0 Здесь – функция влияния, зависящая от материала стержня.

R1 t, Для оргстекла где ~ ~ П M EI3 1.

R1 t, A1e 1 t t 1 1, x Отсюда уравнение равновесия будет иметь вид где – известные коэффициенты.

A1, 1, Для бетона d ~ M M M У П П q 0. (146) x x x dxR1 t, EC e 1 EC t, Это уравнение также можно записать в виде где – известные коэффициенты.

, C 2 2 d d 1 d W W Теперь неизвестная функция W будет функцией переменных x и t.

~ E J I3 I3 q 0. (147) Функционал полной энергии деформации стержня при длительном dx2 dx2 dx нагружении и учете ползучести материала примет вид ~ Оценим и I3 для некоторых видов i.

Ih Если i имеет вид (133), то о l l Э t У t z t С t z t dxdz qWdx. (150) h x x y x 2 h 0 2 4 h~ I3 2m 1z4d z 2m 1.

3 3 h 66 С учетом (123) и (149) его можно записать в виде lt l l l E J 1 t 1 t J 1 R1 t, 1 d dx q Wdx 1 У С Э t M t 1 t M t 1 t dx qWdx, x x (151) 0 t0 0 l 2 2 У С d d W t W t t d W R t, W d dx где M t имеет вид (125), а записывается в виде M t x x E J J dx2 dx2 dx 0 tt C M t EJ R1 t, d. (152) x l t q W t dx.

Найдем первую вариацию функционала (151) и приравняем ее к нулю:

Если вынести из-под интеграла по и принять за, то о W W t l 2 2 lt 1 M У С d d W t d W R t, d q W t dx 0, (155) Э t t 1 t M t 1 t Э t E J J x x dx dx2 t0 dxl откуда можем получать уравнения равновесия в виде (154).

С 1 t M t dx q Wdx 0. (153) x При решении задач ползучести рассматривается начальная задача по временной координате t. При t t0 (начальные условия) решением задачи является решение упругой задачи о минимуме функционала Для получения однотипного с (129) и (142) уравнения равновесия l l У Э t M t 1 t d x qW t d x.

x d У С 0 M M q 0 (154) x x Запишем функционал (151) в виде dxнеобходимо, чтобы подчеркнутый в (153) член можно было преобразоlt l E вать к виду Э t t (156) J 1 1 t J 1 R1 t, d dx qW t dx.

0 t0 1 С С 1 t M t M t 1 t.

x x Интеграл по переменной на отрезке t0, tk разобьем на сумму 2 С интегралов по частичным отрезкам ti 1, ti с шагом t ti ti Для этого нужно внести в M t под знак интеграла по пере 1 t x и вычислим их приближенно по формуле прямоугольников.

менной :

В результате получим l t EJ 1 R1 t, d l 0 tE J 1 tk k J 1 ti 1 R1 ti,ti 1 t dx Э tk tk и провести варьирование по неизвестной функции, входящей в. W 1 t i Таким образом, получим lt l l E 2 Э t J 1 t R1 t, d dx q Wdx qW tk dx. (157) 0 t0 68 Рекомендуемая литература При нахождении деформаций 1 tk считаются известными деформации 1 t0, 1 t1,, 1 tk 1, поэтому подчеркнутый член в (157) 1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории является известной функцией переменной x, а неизвестной функцией оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга; под ред. Н. П. Абовского. – является W x, tk и варьирование нужно проводить только по этой фунМ.: Наука, 1978. – 228 с.

кции.

2. Абовский, Н. П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребЕсли подчеркнутый в (157) член обозначить Mk, то первую вариаристой оболочки / Н. П. Абовский // Строительная механика и расчет сооружецию функционала (157) можно записать в виде (после соответствующих ний. – 1969. – № 4. – С. 20–22.

преобразований) 3. Андреев, Л. В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / Л. В. Андреев, Н. И. Ободан, А. Г. Лебедев. – М.: Наука, 1988. – 208 с.

l 2 d d W 4. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Э t E J M k q Wdx.

Н. И. Безухов. – М.: Высшая школа, 1968. – 512 с.

dx2 dx2 2 0 5. Бердичевский, В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среИсходя из условия Э 0, получим уравнения равновесия ды / В. Л. Бердичевский. – М.: Наука, 1983. – 448 с.

6. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. – М.:

2 d d W Энергия, 1975. – 208 с.

E J M q. (158) k 7. Бубнов, И. Г. Строительная механика корабля. Ч. 1–2 / И. Г. Бубнов. – dx2 dx2 СПб., 1912, 1914.

8. Власов, В. З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек / В. З. Власов // Строительная промышленность. – 1932. – № 11. – С. 33–37. – № 12. – С. 21–26.

9. Власов, В. З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней / В. З. Власов // Изв. АН СССР. ОТН. – 1949. – № 6. – С. 819–939.

10. Гребень, Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / Е. С. Гребень // Изв. АН СССР. Механика. – 1965. – № 3. – С. 81–92.

11. Григолюк, Э. И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э. И. Григолюк, В. И. Шалашилин. – М.: Наука, 1988. – 232 с.

12. Давиденко, Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений / Д. Ф. Давиденко // ДАН СССР. – Вып. 4. – 1953. – Т. 88.

13. Енджиевский, Л. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек / Л. В. Енджиевский. – Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1982. – 295 с.

14. Игнатьев, О. В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / О. В. Игнатьев, В. В. Карпов, В. Н. Филатов. – Волгоград: ВолгГАСА, 2001. – 210 с.

15. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. – Минск: Высшая школа, 1990. – 349 с.

16. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.

17. Канторович, Л. В. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла / Л. В. Канторович // Изв. АН СССР, ОМЕН. – 1933. – № 5. – С. 647–652.

70 18. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Кан- 34. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / торович, В. И. Крылов. – М.; Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с. С. Г. Михлин. – М.: Наука, 1970. – 512 с.

19. Карпов, В. В. Уточнение решений при использовании шаговых методов 35. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. – Л.: Судв теории гибких пластинок и оболочек / В. В. Карпов, В. В. Петров // Изв. промиздат, 1962. – 431 с.

АН СССР. – МТТ. – 1975. – № 5. – С. 189–191. 36. Образцов, И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиаци20. Карпов, В. В. Нелинейные математические модели деформирования обо- онных пространственных конструкций / И. Ф. Образцов. – М.: Машиностроение, лочек переменной толщины и алгоритмы их исследования / В. В. Карпов, 1966.

О. В. Игнатьев, А. Ю. Сальников. – М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2002. – 420 с. 37. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной тео21. Карпов, В. В. Метод вариационных предельных преобразований в тео- рии пластинок и оболочек / В. В. Петров. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. – рии оболочек, имеющих нерегулярности / В. В. Карпов // Вестник гражданских 119 с.

инженеров. – СПб.: СПбГАСУ, 2005. – № 4(5). – С. 37–42. 38. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Ра22. Карпов, В. В. Компьютерные технологии расчета покрытий строитель- ботнов. – М.: Наука, 1988. – 712 с.

ных сооружений оболочечного типа / В. В. Карпов // Вестник гражданских инже- 39. Сальников, А. Ю. Вариационно-параметрический метод в нелинейных неров. – СПб.: СПбГАСУ, 2005. – Вып. 2. – С. 17–25. задачах динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины / 23. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования А. Ю. Сальников // Математическое моделирование, численные методы и компмодели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов. – СПб.: лексы программ: межвуз. темат. сб. тр. / – СПб.: СПбГАСУ, 2002. – С. 93–99.

СПбГАСУ, 2006. – 330 с. 40. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учеб. пособие для ву24. Карпов, В. В. Метод последовательного наращивания ребер и его при- зов / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

менения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины / В. В. Карпов // 41. Тимашев, С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек / С. А. Тимашев. – Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. – М.: Транспорт, М.: Стройиздат, 1974. – 256 с.

1990. – С. 162–167. 42. Шалашилин, В. И. Метод продолжения по параметру и его применение 25. Карпов, В. В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболо- к задаче больших прогибов непологой круговой арки / В. И. Шалашилин // Изв.

чек и методы их решения / В. В. Карпов. – М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 1999. – АН СССР. МТТ. – 1979. – № 4. – С. 178–184.

154 с. 43. Якушев, В. Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболо26. Карпов, В. В. Метод последовательного изменения кривизны / В. В. Кар- чек / В. Л. Якушев. – М.: Наука, 2004. – 276 с.

пов, О. В. Игнатьев // Математическое моделирование, численные методы и ком- 44. Bakouline, N. Variation parametric research technique of variable by step плексы программ: межвуз. темат. сб. тр. / – СПб.: СПбГАСУ, 1996. – Вып. 2. – width shallow shells with finite deflections / N. Bakouline, О. Ignatiev and V. Karpov // С. 131–135. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume I/ 27. Климанов, В. И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / Issue 3. 2000, p. 1–6.

В. И. Климанов, С. А. Тимашев. – Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. – 291 с. 45. Donell, L. N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial 28. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инжене- compression and bending / L. N. Donell / Trans. ASME. 1934. 56.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.