WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

x x1 t M1, y y1 t M1, z z1 t M1, x y z n Wn (X,Y ) (X,Y ). Функция в точках этого луча будет сложной функцией W f x, y, z kn k одного аргумента t Теперь к функционалу полной энергии деформации жесткой плас f f f тины (t) f x1 t M1, y1 t M1, z1 t M1. (97) x y z 2Wkn Чтобы найти минимум этой функции, нужно получить корни уравn D Э 2Wkn 2(1 ) нения. Если – один из этих корней, можно перейти от точки (t) 0 t 2 X Y k Vk к точке с координатами M1 M f f f 2Wkn 2Wkn q x2 x1 t1 M1, y2 y1 t1 M1, z2 z1 t1 M1. (98) 2 Wkn dXdY x y z 2 D X Y Далее за исходную принимают точку и аналогично находят точM (Vk – область, занимаемая конечным элементом ek ) применим метод од ку M3, затем M, M5,...,M. При достаточно большом точка M бум уn 4 n n Ритца и получим систему алгебраических уравнений (в данном случае дет близка к точке искомого минимума функции. Сходимость f x, y, z линейную) относительно неизвестных узловых перемещений каждого метода зависит от того, насколько близко к минимуму функции f x, y, z конечного элемента. Эта система будет разрежена, так как функция Wkn выбрана точка.

Mна всех элементах, кроме ek, равна нулю, поэтому, кроме метода Гаусса, Пусть дан функционал полной энергии деформации оболочки можно для ее решения использовать метод прогонки.

Э U,V,W, x,.

y Как видим, МКЭ совпадает с методом Ритца при дискретной Раскладываем неизвестные функции в ряд по неизвестным числоаппроксимации неизвестных функций.

вым параметрам и известным аппроксимирующим функциям. Подста44 вив эти разложения в функционал и вычислив интегралы от известных после чего она превращается в функцию одной переменной. Решив (t) функций, сведем его к функции неизвестных числовых параметров. Вы- уравнение, найдем t0. Следующее приближение находим по (t) бираем начальное приближение и уточняем его с помощью метода наи- формуле скорейшего спуска.

Э W1 j,1i W0 j,0i t0 (W0 j,0i ) (102) Рассмотрим функционал полной энергии деформации пластины, Wj,i допускающей малые прогибы, находящейся под действием поперечной q, нагрузки и шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру, ( j 1, 2,..., N; i 1, 2,..., N).

2 2W 2W 2W ab D 2W W2 j,2i Повторяя эту процедуру, найдем и т. д.

Э(W ) 2 x2 x2 y2 y00 При одночленной аппроксимации прогиба (94) W (x, y) W1,1 sin x sin y (103) 2W q 4 1 2 w dxdy, (99) и принятых параметрах a b 1; 0,3; E 3 104МПа;

x y D м (при этом D 0,27 10 2 м3) м h 0,q 3 10 2 МПа;

получим Eh3 где D 12 1 2 ; 1.

Э(W ) W11C11 q cp W11.

Подставим в виде W (x, y) W0 j,0i За начальное приближение возьмем.

N N Далее находим W (x, y) WN (x, y) W X 3 (x)Y3i ( y). (100) j,i j Э j 1i W01,01 2W01,01 c11 q cp 1,216 10 2.

W1,Подставив (100) в (99) и выполнив интегрирование от известных функций, приведем функционал (99) к виду Найдем t0 из условия Э Э N N N N N N 2C11 W01,01 t (W01,01) (W01,01) Э(WN ) Wj,i W C q cp Wj,i. (101) n,m j,i,n,m j,i W1, Wj 1i 1n 1m 1 j 1i Э q cp (W01,01) 0.

Для нахождения минимума функции (101) применим метод наиско W W0 j,0i рейшего спуска. Выберем начальное приближение. Находим знаВ результате получим t0 3,8.

Э Теперь можно найти следующее приближение W0 j,0i l 1, 2,..., N; k 1, 2,..., N чения в точке ( ).

Wl,k Э W11,11 W01,01 t0 (W01,01) 0,0462.

Wj,i В функцию (101) вместо подставляем W1, Э Решение уравнения может вызывать затруднения, тогда (t) W0 j,0i t (W0 j,0i ), W применяют приближенные методы оценки корней этого уравнения.

j,i 46 12. МЕТОД ВАРИАЦИОННЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ Функционал полной энергии деформации пологой оболочки, нахоПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК, дящейся под действием поперечной статической нагрузки, имеет q(x, y) ИМЕЮЩИХ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ вид ab В задачах расчета оболочечных конструкций, имеющих нерегулярЭ N x N N M x y y xy xy x ности (узкие ребра жесткости, изломы срединной поверхности), для обозначения мест дискретного изменения параметров применяются дельта M 2 2M 12 2qW dxdy.

(104) y xy функции [10, 13, 30, 31, 32, 41].

Однако дельта-функции – это предельные функции, которые сами по себе не имеют даже графического изображения. U V U V x kx W ; ky W ; Здесь ; U, V, W – y xy Для получения корректной математической модели деформирова x y y x ния таких оболочек необходим предельный переход от ступенчатого изперемещения точек срединной (координатной) поверхности вдоль осей менения параметров к заданию их изменения с помощью дельта-функ1 ций. Такой переход можно осуществить с помощью метода вариационx, y, z kx ; k – главные кривизны оболочки соответственно;

R1 y Rных предельных преобразований [21].

Суть метода вариационных предельных преобразований (МВПП) x, y x, y вдоль осей ; – линейные размеры оболочки вдоль осей.

a,b состоит в том, что наличие нерегулярных участков (толщины, кривизны) Пусть оболочка толщиной h со стороны вогнутости подкреплена задается с помощью единичных столбчатых функций (разности двух едиперекрестной системой ребер, параллельных осям координат (рис. 5).

ничных функций), затем, до преобразования вариационного уравнения, вся область, занимаемая оболочкой, разбивается на участки с постоянными значениями параметров, а после преобразования вариационного уравнения (в результате которого под знаком интеграла не будет членов, содержащих вариации от производных искомых функций) получаются уравнения равновесия (движения), краевые условия на контуре оболочки (и начальные условия для задач динамики) и краевые условия по линиям ступенчатого изменения параметров.

После этого, используя краевые условия по линиям ступенчатого изменения параметров, предельным переходом от единичных столбчатых функций к дельта-функциям можно получить соответствующие соотношения упругости, вид функционала полной энергии деформации и уравнения равновесия (движения).

Рассмотрим этот метод на примере получения соотношений упругости, функционала полной энергии деформации конструкции и уравнений равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами и имеющих изломы срединной поверхности. Для простоты будем рассматривать линейные упругие задачи и модель Кирхгофа – Лява.

Рис. 5. Оболочка ступенчато-переменной толщины 48 Ребра вводятся дискретно с учетом их ширины, а их высота и E E 2W 2W расположение задаются функцией G1, G12, 1 x, 1.

y 2(1 ) 1 2 x2 ym n H (x, y) (x x ) y yi ) h j hi ( j N, M Аналогично записываются выражения для.

y y j 1 i Здесь F, S, J – площадь поперечного или продольного сечения n m ребер, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент hij (x x ) (y yi ).

j i 1 j и момент инерции этого сечения соответственно j m n y Здесь h, rj, m – высота и ширина j-х ребер, параллельных оси, F (x x ) F j Fi (y yi ) j j 1 i и число ребер этого направления; hi,ri,n – аналогично для ребер, парал лn m j лельных оси ; ; (x x ) – единичная столбчатая тая x hij min hi, h j Fij (x x ) (y yi );

j i 1 j rj rj a x ; b x a x b функция, равная единице при j j j j j j 2 2 m n S (x x ) S j Si (y yi ) j и нулю при других значениях ; аналогично равна единице x ( y yi ) j 1 i n m ri ri c yi ; di yi (107).

только при ci y di i Sij (x x ) (y yi );

j 2 i 1 j Таким образом, толщина всей конструкции равна.

h H В этом случае усилия и моменты, приведенные к срединной поверm n j i J J (x x ) J (y yi ) хности обшивки, которая принимается за координатную поверхность, и j j 1 i приходящиеся на единицу длины сечения, принимают вид (индекс о относится к силовым факторам, действующим в обшивке, R – к действуюn m ij J (x x ) (y yi ), щим в ребрах) j i 1 j о R о R о R Nx Nx Nx, N N N, Nxy Nxy Nxy, y y y где (105) о R о R о R j j M M M, M M M, M M M, x x x y y y xy xy xy h (h h ) j j j F h ; S ;

где силовые факторы, действующие в обшивке, имеют известный вид, а в ребрах вид j j j j J 0,25h2h 0,5h(h )2 (h )3.

i i ij 2W R R Аналогично записываются F, Si, J, Fij, Sij, J.

, Nx G1 F 1 S 1, Nxy G12 F xy 2S x y Силовые факторы (106) можно разбить на составляющие, действу ющие в поперечном сечении ребер (индекс ПR) и продольном сечении 2W R R, (106) M G1 S 1 J 1, M G12 S xy 2J ребер ортогонального направления (индекс ), BR x xy x y 50 Bi Bj n n N Nx N yx m Nx R ПR BR ПR Пi yx Nx Nx Nx, Nx Nx ( y yi ), (x x ) ( y yi ) 0;

j x y x y i j 1 i _ m n BR Bj Bj j ij N N (x xi ), N N N ( y yi ), x x x x x Bi Bj m j 1 i N Nxy n N Nxy y y (y yi ) (x x ) 0;

j Пi j j y x y x i 1 j Nx G1 Fi 1 Si 1, Nxj G1 F 1 S 1, ij Nx G1 Fij 1 Sij 1, (108) n R П BR ПR BR П П о Nxy NxyR Nxy N N, NxyR Nxyi (y yi ), 2 M 2 M yx yx 2 M y xy x Nxkx N ky 2 q i y x y x2 ym n BR Bj Bj Пj ij Bi Bj Nxy Nxy (x xi ), Nxy N Nxy ( y yi ), m n yx 2M 2M y x j 1 i (x x ) ( y yi ) (110) j x2 yj 1 i 2W 2W _ П П j j, Nxyi G12 Fi xy 2Si, Nxyj G12 F 2S xy x y x y Пj Пi m n 2M 2M 2W ij ij ij yx xy.

N G12 F S 2 (x x ) (y yi ) xy xy j x y x y x y j 1 i Аналогично записываются составляющие остальных силовых факторов.

ij n m 2M Введем обозначения xy 2 ( y yi ) (x x ) 0, j x y о ПR о ПR i 1 j Nx Nx Nx, N N N, y y y _ о П о ПR Nxy Nxy NxyR, N Nxy N, yx yx краевые условия на контуре оболочки из равенства нулю одномерных (109) о ПR о ПR M M M, M M M, x x x y y y интегралов (эти условия имеют традиционный вид) и условия по линиям ступенчатого изменения толщины оболочки (краевые условия на бокоо ПR о ПR M M M, M M M.

xy xy xy yx xy yx вой поверхности ребер) x a, x b при j j Разбив область, занимаемую ребристой оболочкой, на части с постоянной толщиной вдоль осей х и у и проведя преобразование вариаци- Bj Bj Nx 0, Nxy 0, (111) онного уравнения таким образом, чтобы под знаком двойного о Э Bj ij интеграла не было вариаций от производных функций перемещений, Bj n M M M xy Bj x 2 yx ( y yi ) 0, M 0;

получим уравнения равновесия из равенства нулю двойного интеграла x x y y i 52 m при y ci, y di kx kx (x x ), j j Bi Bi j N 0, N 0, (112) yx y n (113) Bi Пi ij m M M M y xy Bi ky ky (y yi ), i 2 xy (x x ) 0, M 0.

j y i y x x j 1 где kx, ky ;, i – углы изломов поверхности в направri,rj Если теперь считать ребра узкими (малы ) и предположить, R1 R2 j a x bj что условия (111) выполняются при, а условия (112) – при j (x x ) лении осей х и у;, ( y yi ) – дельта-функции.

j о ci y di (этот факт не очевиден, так как расчеты показывают, что Для расчетов НДС используют уравнения в смешанной форме, так при уменьшении ширины ребер усилия и моменты, возникающие как в них кривизны входят в первой степени. В уравнениях равновесия в них, увеличиваются [20]), то этими составляющими силовых факсуществуют члены, содержащие квадрат кривизны, и в этом случае при торов (действующими в продольном сечении ребер) можно пренебречь.

наличии квадрата дельта-функции (такая величина не определена) они В этом случае в уравнениях равновесия (110) пренебрегаем подтеряют смысл.

черкнутыми членами, а усилия и моменты принимаются в виде (109).

Дело в том, что при наличии изломов срединной поверхности обоЕсли теперь от единичных столбчатых функций предельным лочки меняется ее геометрия и это обстоятельство вызывает изменение функционала полной энергии оболочки.

(x x ) j lim (x x ) переходом о Получить функционал полной энергии деформации оболочки, имеj перейти к дельта-функциям, то rj 0 rj ющей изломы срединной поверхности, можно, используя МВПП.

получим соотношения, встречающиеся для ребристых оболочек в Заменим сначала оболочку с изломом срединной поверхности обоработах [10, 30, 32, 41].

лочкой с волнистой формой поверхности (рис. 6), для этого места излоВ полученной таким образом математической модели деформирома соединим дугой окружности некоторого радиуса, а затем, после полувания ребристой оболочки учитывается при растяжении (сжатии) и изчения условий по линиям раздела кривизн из преобразованного соответгибе только жесткость ребер одного направления, а при кручении жестствующим образом вариационного уравнения Э 0, устремим этот ракость ребер вообще не учитывается.

диус к нулю, получив оболочку с изломом срединной поверхности.

В экспериментальных исследованиях, проведенных С. А. ТимашеЗададим кривизны волнистой оболочки,ky в виде kx вым [41], показано, что крутильная жесткость ребер оказывает существенm ное влияние на напряженно-деформированное состояние (НДС) всей 1 1 kx 1 (x x ) конструкции, поэтому модель ребристой оболочки, когда ребра вводятся R1 j 1 R1 R1 j по линиям с помощью дельта-функций, обладает существенным недоm статком и является частным случаем модели оболочки ступенчато-пере kx k 1 (x x );

x j менной толщины.

Rj (114) Теперь рассмотрим применение МВПП для получения уравнений n равновесия оболочек с изломом срединной поверхности (достаточно 1 1 k 1 ( y yi ) y получить функционал полной энергии деформации).

R2 i 1 R2 R Обычно наличие изломов срединной поверхности оболочки, паралn лельных осям координат, связывают с дискретным изменением кривиз k y yi ).

k ( y y ны оболочки [31, 32], принимая ее в виде Ri 54 x a, x b при Здесь – радиус окружности, соединяющей две гладкие части R1 j j пологой оболочки в направлении оси ; – радиус кривизны этих x R, (115) kx Rчастей оболочки; (x x ) – единичная столбчатая функция, всюду j при y ci, y di (a,b ) равная нулю, кроме точек интервала, где она равна единице.

j j Аналогичные значения имеют величины, для направ ( y yi ) R1,R2 ky 0. (116) Ry ления оси.

a x, b x x x Следовательно, при R1 0 и при j j j j j kx 0. Аналогично при при y yi.

ky R1 RRТеперь запишем функционал полной энергии деформации оболочки с волнистой формой поверхности. Затем предельным переходом от единичных столбчатых функций к дельта-функциям, R1 0 R1 когда и, с использованием условий (115), (116) получим функционал для оболочки с изломом срединной поверхности.

x, y, Nx, N При задании кривизн в виде (114) в соотношениях y появятся дополнительные члены (индекс о соответствует оболочке kx,ky с постоянной кривизной ) m x о 1, 1 W k 1 (x x ) ;

x x x x j Rj n (117) Рис. 6. Переход от оболочки с волнистой формой поверхности о 1, 1 W y yi );

k 1 ( y y y y y Rк оболочке с изломом срединной поверхности i o N N N1, x x x Цилиндрическая панель, соединяющая части пологой оболочки, m n EhW 1 будет пологой, поэтому ее параметры Ляме, как и для рассматриваемой N k 1 (x x ) k ( y yi ) ;

x x j y пологой оболочки, можно считать равными единице и в этой части кон1 2 R1 Rj 1 i струкции использовать соотношения, принятые для пологих оболочек.

о N N N1, y y y Подставив (114) в (104) и разбив область, занимаемую оболочкой, на части с постоянной кривизной, после соответствующего преобразоm n EhW 1 N1 вания вариационного уравнения Э 0 получим по линиям ступенчато- k 1 (x x ) k ( y yi ).

y x j y 1 2 R1 Rj 1 i го изменения кривизны следующие условия [25]:

56 В функционале полной энергии деформации для рассматриваемой 1j x x j j пологой оболочки с волнистой формой в дополнение к (104) появится x x x x ;

j j 1 1 1 выражение R1 R1 1j Rab о о j Э1 N 1 N1 о N1 1 N 1 N1 о N1 1 dxdy 1j, x x 0, x x x x x x y y y y y y j 1 0 1 R1 R ab m 1 j 1 0 j j (119) о kx x x x x, W k 1 (x x ) N x x j RR Rj 00 m n EhW 1 1 о x kx x x 0 (см. (115)).

k 1 (x x ) k ( y yi ) x j y j R1 1 2 j 1 R1 RRi 2 2 Аналогично, при R1 m n EhW 1 kx 1 (x x j ) ky 1 (y yi ) 1 2 R1 Rj 1 i ( ky y yi) y yi ), i ( R1 R 2 m n 1 k 1 (x x ) k ( y yi ) x j y R1 Rj 1i 2 k ( y yi ) 0.

y R1 R n m 1 EhW о Таким образом, для пологих оболочек с изломом срединной повер N W y yi ) о x (x x ) k R2 ( k y y y j 1 2 j 1 Ri 1 хности дополнение к функционалу полной энергии деформации (104) о о будет иметь вид (индекс оу о, о, Nx, N опущен) x y y n ab m n y yi ) dxdy. (118) k R2 ( y Э1 W j (x x ) N W i (y yi ) Nx j y i 1 j 1 i m n Здесь учтено свойство единичной функции [28] EhW x (x x ) x y y yi ) j i ( y j 1 j 1 i, 2 ( y yi ) (y yi ), так как ак (x x ) (x x ) j j n m (x x ) U x a U x b и – это EhW о y yi U y ci U y di j j j j (x x ) i (y yi ) dxdy. (120) j приращения соответствующих единичных функций на соответствующих 1 2 i 1 j интервалах.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.