WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

Кроме того, по переменной задаются начальные условия при t t B W Произвольные постоянные c1, c2 находим, используя начальные W 0, t 0. (64) условия (64). Окончательно получим Получили смешанную задачу для дифференциального уравнения.

Для решения этой задачи применим метод Власова – Канторовича, взяв B2 Bf (t) sin B1t t.

решение в виде B1 B1 B x x Таким образом, приближенное решение поставленной динамичесW1(x, y,t) f (t)sin sin. (65) a b кой задачи имеет вид При этом будут выполнены краевые условия (54), (55). Условие (62) Bпримет вид t sin B1t sin x sin x. (67) W1(x, y,t) B1 B1 a b ab 4W1 4W1 4W1 x x sin sin dxdy D x4 x2 y2 y4 a b 8. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ab ab 2W1 x x x x A sin sin dxdy q(x, y,t)sin sin dxdy.

a b t2 a b 00 Метод продолжения решения по параметру [11] – это один из методов решения нелинейных операторных уравнений (в частности, диффеПосле вычисления интегралов по переменным x, y получим при ренциальных или алгебраических). Он позволяет свести решение нели, где, q q1t q1 const нейной задачи к последовательному решению линейных задач.

Рассмотрим систему из m нелинейных уравнений относительно неD 4 (1 2 )2 f (t) f (t) q1t, известных x1, x2,..., xm, содержащих параметр P, Aa4 A a где. fi (x1, x2,..., xm, P) 0 (68) b (i 1, 2,...,m).

Таким образом, получили начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения Если ввести в рассмотрение вектор-функцию F f1, f2,..., fm Т (66) f B1 f B2t и вектор, то систему (68) можно представить в виде X x1, x2,..., xm Т при условии (64), где (69) F(X, P) 0.

4D(1 2 )2 16qB1 ; B.

Aa4 A 2 Пусть известно некоторое решение PX x10, x20,..., xm0 Т, уравнения (69), т. е.

30 X F F(X, P0 ) 0.

J 0, (72) P P Рассмотрим окрестность А точки (X, P0 ). Свойства решений системы (69) в этой окрестности устанавливает теорема о неявных функци F где.

J ях. Если выполняются условия:

X 1) вектор-функция F (т. е. все ) определена и непреfi (i 1, m) dX рывна в A;

Система (72) линейна относительно. Ее решение при условии, dP 2) в A существуют и непрерывны частные производные от F по что det(J ), приводит к системе обыкновенных дифференциальных всем аргументам x ( j 1, m) и по параметру P;

у fi (i 1, m) j уравнений 3) в точке (X, P0 ) отличен от нуля якобиан вектор-функции F X F 0 J. (73) P P det (J ) 0, (70) То, что при P P0 решение X известно, позволяет сформулировать задачу определения решения как задачу Коши для системы X (P) (73) при начальном условии F ( f1, f2,..., fm ) fi где, то в некоторой J (i, j 1, 2,...,m) X (x1, x2,..., xm ) x j X (P0) X0. (74) окрестности точки (X, P0 ) решения системы (69) являются ся xi (i 1,m) однозначными непрерывными функциями P Для решения начальной задачи (73), (74) можно применять методы Эйлера, Рунге – Кутта, Адамса и другие.

, (71) xi xi (P) (i 1, m) dxi 9. ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД такими, что и производные также непреxi (P0 ) xi0 (i 1, m) dP В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК рывны в этой окрестности.

Таким образом, теорема о неявных функциях устанавливает, что при Для решения некоторых задач расчета строительных конструкций выполнении условий 1–3 решение системы (69) в некоторой окрестностребуется применение последовательности нескольких методов. Так, при ти точки (X, P0) образует единственную кривую K, которая имеет парешении нелинейных задач для оболочек, содержащих ребра, накладки раметрическое представление (71) и проходит через точку (X, P0 ). Чтои вырезы, применяется последовательность методов, позволяющая свебы получить теперь решение системы (69) при близком к P0 значеX1 сти нелинейную задачу к последовательному решению линейных задач нии, нужно продвинуться вдоль кривой K. При этом точка а P1 (X1, P1) и затем краевую задачу для дифференциальных уравнений в частных должна оставаться внутри окрестности A. Если условия 1–3 выполняпроизводных к системе линейных алгебраических уравнений. Кроме того, ются в точке, то решение снова можно продолжить и т. д.

(X1, P1) желательно еще выбрать оптимальные параметры оболочки (жесткость Рассмотрим, как практически перейти от точки (X, P0 ) к точке е подкреплений оболочки ребрами и кривизну). Все эти задачи позволяет.

(X1, P1) решить вариационно-параметрический метод (ВПМ).

Продифференцируем (69) по параметру P. В результате получим Суть ВПМ при решении задач статики заключается в том, что для систему дифференциальных уравнений нахождения минимума функционала полной энергии деформации при32 x, y меняется метод Ритца и получается система нелинейных алгебраичес- натную. Оси криволинейной системы координат направлены по ликих уравнений. Для решения этой системы применяется метод продол- ниям главных координат. Ось z ортогональна координатной поверхности жения решения по параметру (метод дифференцирования по парамет- и направлена в сторону вогнутости. Со стороны вогнутости оболочки ру), который позволяет на каждом шаге изменения параметра находить подкреплены ортогональной сеткой ребер, направленных параллельно y решение линеализированной задачи, которая представляет собой систе- осям и (рис. 2).

x му линейных алгебраических уравнений. Эта задача решается методом Расположение ребер по оболочке задается функцией H (x, y) :

Гаусса. За параметр может быть взята нагрузка, и тогда находим решеm n ние задачи, непрерывно зависящее от нагрузки. Если за параметр взять H (x, y) (x x ) y yi ) h j hi ( j j 1 i жесткость ребер (например, высоту ребер), то при заданном параметре нагрузки находятся поправки к напряженно-деформированному состояn m нию (НДС) оболочки при изменении жесткости конструкции. Если за hij (x x ) ( y yi ).

j i 1 j параметр взять кривизну оболочки, то при заданном параметре нагрузки находятся поправки к НДС оболочки при изменении ее кривизны. Последовательная смена параметра продолжения решения приводит к схеме метода покоординатного спуска, позволяющей проводить рациональный выбор жесткости подкреплений и кривизны оболочки при заданном параметре нагрузки и ограничениях на ее НДС.

При решении задач динамики к функционалу полной энергии деформации применяется метод Л. В. Канторовича и получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно временной координаты t. Для продолжения решения по параметру нагрузки используется метод Рунге – Кутта.

Если при заданном параметре нагрузки, а следовательно, при фиксированном значении координаты t tn нужно найти НДС оболочки при изменении ее жесткостных характеристик или кривизны, то за параметр продолжения решения берется жесткость подкреплений или кривизна.

При этом уравнения динамики переходят в уравнения статики, так как Рис. 2. Общий вид ребристой оболочки вторые производные от искомых функций по временной координате обращаются в нуль.

j Здесь h,rj,m – высота и ширина j-го ребра, направленного о Рассмотрим ВПМ на примере расчета пологих оболочек ступенчаy параллельно оси, и число ребер этого направления;

то-переменной толщины.

– аналогично для i-го ребра, направленного параллельно hi,ri, n 9.1. Основные соотношения геометрически нелинейной j тые оси x; ; (x x ), ( y yi ) – единичные столбчатые hij min hi ;h теории пологих оболочек ступенчато-переменной толщины j функции.

Рассматриваются прямоугольные в плане пологие оболочки двой- Зависимости деформаций от перемещений в координатной поверхной кривизны, находящиеся под действием поперечной нагрузки. ности принимают вид q(x, y) Срединная поверхность оболочки толщиной h принимается за коорди34 U 1 W V 1 W ; k W ;

E h3 2W x kxW y y M, S xy 2 J x 2 x y 2 y xy 2(1 ) 12 x y (75) U V W W, где xy y x x y h h h а в слое, отстоящем на z от координатной поверхности (рассматривается 2 H 2 H 2 H модель Кирхгофа – Лява), F dz; S zdz; J z2dz.

h h h 2W 2W 2 2 z x z x z ; z ;

y y x2 yN M Аналогично записываются,.

y y (76) Кинетическая энергия рассматриваемой оболочки в простейшем 2W z 2z.

xy xy случае имеет вид x y 2 2 Здесь ab U,V,W – перемещения точек координатной поверхности V W h F U dxdy, (79) x, y, z kx,k вдоль осей соответственно; – главные кривизны оболочки.

t t t y Зависимости напряжений от деформаций для изотропного упругого потенциальная энергия – материала имеют вид ab 1 2W 2W N x N N M M E E z z z y x y y xy xy x x x z ; x z ;

y y y x2 y1 2 1 (77) E z 2W xy. dxdy, (80) 2M xy xy 2(1 ) x y q работа поперечной силы – h h H Интегрируя напряжения (77) по z в пределах от до, ab 2 A qWdxdy. (81) получаем усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения, Функционал полной энергии деформации при статическом E 2W 2W нагружении (функционал Лагранжа) имеет вид ;

N h F x S x y 1 2 x2 y2 Э (82) А, E 2W N h F 2S ;

при динамическом нагружении (функционал Остроградского – xy xy (78) 2(1 ) x y Гамильтона) – t E h3 2W 2W J А) dt. (83) ( M x S y J ;

x 12 t1 2 x2 y2 36 9.2. Применение метода Ритца к функционалу N N полной энергии деформации для задач статики W1(K)(B14(I, J, K) W1(L)B15(I, J, K, L))) K 1 L Применяя к функционалу (82) метод Ритца с учетом (80), (78), (75) P CP(J ) при аппроксимации перемещений в виде (J 1, 2,..., N).

N Здесь коэффициенты B1–B15 представляют собой интегралы от U U1(I )X1(I )Y1(I ), комбинаций аппроксимирующих функций, жесткостных характеристик I и кривизны.

N V V1(I)X 2(I )Y 2(I ), (84) I 9.3. Линеаризация систем алгебраических уравнений методом продолжения решения по параметру N W W1(I)X 3(I )Y3(I ), I Систему (85) кратко можно записать в виде, (86) F(X, P, H, K) где U1, V1, W1 – неизвестные числовые параметры; X1 X – извест; P ные аппроксимирующие функции переменной, удовлетворяющие за- где X (U1(I),V1(I ),W1(I ))T – параметр поперечной нагрузки;

x x данным краевым условиям при и x a ; Y1 Y3 – известные H – параметр, характеризующий жесткость ребер (например, их высоy аппроксимирующие функции переменной, удовлетворяющие задан- ту); K – параметр кривизны.

ным краевым условиям при y 0, y b, получим систему нелинейных Считается, что при некотором значении параметров P, H, K известалгебраических уравнений относительно но решение уравнения (86) U1(I ), V1(I), W1(I) N U1(I )B1(I, J ) V1(I )B2(I, J ) W1(I )(B3(I, J ) X (P0, H0, K0 ) X. (87) I N Если продифференцировать уравнение (80) по P W1(K)B4(I, J, K)) 0, F X F K X P P N и применить для решения полученного уравнения метод Эйлера, то U1(I )B5(I, J ) V1(I)B6(I, J ) W1(I)(B7(I, J ) получим расчетную схему I N W1(K)B8(I, J, K)) 0, Xi 1 Xi Xi, Pi 1 Pi Pi, (88) (85) K N N где Pi задается, а X находится из линейного относительно X i i U1(I)(B9(I, J ) W1(K)B10(I, J, K)) V1(I)(B11(I, J ) I 1 K уравнения N FX (Xi, Pi, H0, K0) Xi FP (Xi, Pi, H0, K0) Pi 0. (89) W1(K)B12(I, J, K)) W1(I )(B13(I, J ) K 38 Если за параметр взять H, то после дифференцирования уравнения Здесь Xi (ui (I ),vi (I ), wi (I ))T ;

(86) по H получим расчетную схему i 1 i 1 i Xi 1 Xi Xi, Hi 1 Hi Xi, U1(I ) (I); V1(I ) (I); W1(I ) (I).

u v w k k k k 1 k 1 k FX (Xi, P0, Hi, K0) Xi FH (Xi, P0, Hi, K0) Hi 0. (90) P о Если за параметр взята нагрузка, то Если за параметр взять K, то после дифференцирования уравнения,, A3 p CP(J ), (93) A1 0 A2 (86) по K получим расчетную схему i Xi 1 Xi Xi, Ki 1 Ki Xi, при этом P pk.

k FX (Xi, P0, H0, Ki ) Xi FK (Xi, P0, H0, Ki ) Ki 0. (91) Если за параметр взята высота ребер H, то N Схемы (89)–(91) отличаются только вторыми членами, поэтому лиA1 [U1(I)DB1(I, J ) V1(I )DB2(I, J ) W1(I)(DB3(I, J ) неализированные по методу продолжения решения по параметру уравI нения (85) можно записать в виде (индекс i опущен) N N u(I )B1(I, J ) v(I )B2(I, J ) w(I)[B3(I, J ) W1(K)DB4(I, J, K))], I 1 K N N W1(K)(B4(I, J, K) B4(K, J, I ))]} A1, A2 K 1 [U1(I )DB5(I, J ) V1(I)DB6(I, J ) W1(I )(DB7(I, J ) N I u(I )B5(I, J ) v(I)B6(I, J ) w(I)[B7(I, J ) N I W1(K)DB8(I, J, K))], N (94) K W1(K)(B8(I, J, K) B8(K, J, I))]} A2, K N N N N u(I)[B9(I, J ) W1(K)B10(I, J, K)] v(I)[B11(I, J ) (92) A3 [U1(I )(DB9(I, J ) W1(K)DB10(I, J, K)) I 1 K I 1 K N N V1(I)(DB11(I, J ) W1(K)DB12(I, J, K)) W1(K)B12(I, J, K)] w(I)[B13(I, J ) K K N W1(I)(DB13(I, J ) (U1(K)B10(K, J, I ) V1(K)B12(K, J, I) N N K W1(K)(DB14(I, J, K) W1(L)DB15(I, J, K, L)))], W1(K) B14(I, J, K) B14(K, J, I) K 1 L N где коэффициенты отличаются от соответствующих коэффициентов B W1(L)(B15(I, J, K, L) B15(K, J, L, I ) DB L j j h, hi, hij тем, что вместо они содержат h, hi, hij и в них отсут B15(K, J, I, L))))] Aj h, hi, hij ствуют члены, не содержащие.

(J 1, 2,...,N).

40 Если за параметр взята кривизна K, то N A1 W1(I )DB3(I, J ), I N A2 W1(I )DB6(I, J ), (95) I N A3 [U1(I)DB3(I, J ) V1(I)DB6(I, J ) W1(I )(DB8(I, J ) I 1 Рис. 3. Разбиение пластинки на конечные элементы N W1(K)DB9(I, J, K))], Связь конечных элементов между собой осуществляется в узлах K (вершинах прямоугольников). В каждом узле задаем по три перемещегде коэффициенты DB отличаются от соответствующих коэффициентов W W k,k k, k B тем, что вместо они содержат и в них отсутствуют ния (прогиб W и два угла поворота и ).

т y x k,k члены, не содержащие.

Потребуем совместности вертикальных перемещений и углов поМетод продолжения решения по параметру относится к шаговым ворота относительно местных осей x и у в узловых точках для примыкаметодам, поэтому точность решений, полученных этим методом, завиющих к узлу конечных элементов. Обобщенные перемещения в узлах сит от величины выбранного шага.

конечного элемента обозначим через qi. Прямоугольный конечный элемент должен иметь, как показано на рис. 4, двенадцать обобщенных пе10. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ременных или двенадцать степеней свободы.

Метод конечных элементов (МКЭ) получил большое применение в различных областях техники при расчете конструкций и целых соору- qq(a,b) жений. Его можно рассматривать как один из вариантов вариационных (a,0) q5 qметодов. Если в методе Ритца и Бубнова – Галеркина аппроксимируюqqщие функции задаются на всей области, занимаемой конструкцией, q3 qто в МКЭ эти функции задаются свои на каждом элементе, на которые (0,b) (0,0) разбивается вся область. Этот метод целесообразно применять для расq2 qчетов сложных объектов: целых сооружений, элементов конструкции qqсложного очертания, составных конструкций.

Рассмотрим этот метод на примере определения прогиба жестких прямоугольных плит (пластины). Пусть прямоугольная пластинка испыРис. 4. Прямоугольный конечный элемент тывает изгиб под действием произвольной поперечной нагрузки.

q(x, y) Разобьем пластинку на n прямоугольных элементов ek со сторонами Перемещения между узловыми точками на конечном элементе ek a и b (рис. 3).

зададим многочленом i (x, y) с таким числом произвольных коэффициентов, какое число степеней свободы имеет конечный элемент (в рассматриваемом случае 12).

42 Функцию Wkn(x, y) на конечном элементе ek можно представить 11. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА в виде Суть метода наискорейшего спуска состоит в указанном далее.

Пусть M1 x1, y1, z1 – некоторая точка существования функции Wkn(x, y) i (x, y), (x, y) ek, (96) q i, минимум которой требуется найти.

f x, y, z i Градиентом этой функции в точке является вектор с проекцияMми на оси координат в виде частных производных, вычисляемых в точке а на остальных элементах она берется равной нулю.

, MПолученные выражения для функций прогиба обеспечивают непре f f f рывность прогибов W и их первых производных по x и у между узлами M1, M1, M1.

по линии контакта конечных элементов.

x y z Так как аппроксимация Wkn (x, y) на каждом конечном элементе ek (96) Этот вектор указывает направление максимального роста функции записана в местной системе координат x0y, то необходимо осуществить в точке. Луч с началом в точке, целиком лежащий е f x, y, z M1 Mпереход к общей системе координат X0Y (в данном случае нужно осущев области существования функции и направленный противопоf x, y, z ствить только параллельный перенос осей координат).

ложно вектору-градиенту, имеет следующие координаты точек:

На всей области, занимаемой пластиной, функция прогиба W (x, y) f f f представляется в виде где t 0.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.