WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

Условия, при которых эта функция имеет минимум, принимают вид J 0 j 1, 2,...,n. (24) 4. МЕТОД РИТЦА c j Решив систему уравнений (24), которую называют системой уравПусть дан функционал нений Ритца, находят значения параметров c1,c2,..., cn. Следовательно,, (21) J J (u(x, y)) приближенное решение вариационной задачи (21), (22) имеет вид определенный на некотором множестве вещественного гильберD(J ) u x, y x, y,c1,c2,...,cn.

това пространства H (результаты переносятся и на комплексное пространство). Необходимо найти минимум этого функционала на множеПрактически процесс нахождения этого приближенного решения стве функций, удовлетворяющих условию u(x, y) весьма прост, так как семейство (23) принимается линейно зависящим c1,c2,...,cn от.

u (x, y). (22) Итак, примем Г n x, y, ой Здесь S – область изменения переменных а Г – граница этой un x, y 0 x, y i x, y, (25) c i i области, которая считается кусочно-гладкой.

где 0 x, y удовлетворяет на границе Г области S условию u*(x, y) J (u*) m Пусть – точное решение вариационной задачи, а – значение минимума функционала. Если удастся построить функцию 0 x, y, (26), для которой значение функционала (21) весьма близко к, u (x, y) m Г 14 Используя метод Ритца, найти выражение для прогиба W (x, y) жеа функции i – условиям сткой пластинки при малых перемещениях, защемленной по контуру и находящейся под действием равномерно распределенной поперечной i 0 (i 1, 2,...,n). (27) Г q нагрузки.

Последовательность функций i x, y должна удовлетворять слеЭта задача равносильна задаче о минимуме функционала дующим трем условиям:

ab D 2W 2W 1) все элементы i D J ;

D J H J (W ) 2W 2 1 2W x y x2 y2) при любом элементы 1, 2,..., n линейно независимы;

n H 3) последовательность i полна в. q dxdy 2 W (28) D Функции i (x, y) называются аппроксимирующими или при краевых условиях координатными функциями.

Последнее условие состоит в следующем: каковы бы ни были W W 0, 0. (29) u D(J ) и 0, можно найти такое натуральное число N и такие v Г Г Здесь Г – граница области, занимаемой пластинкой; – внешняя v u* uN S постоянные c1,c2,...,cN, что выполняется неравенство, где де нормаль к границе Г.

uN имеет вид (25). Причем такие неравенства выполняются и для Функционал (28) можно привести к виду производных до того порядка, каков порядок производных встречается D q J (W ) 2W 2 W dxdy в. J (u) 2 D S В общем случае краевые условия могут иметь более сложный вид, чем в (22). Может быть задан на границе области S некоторый оператор D(1 ) W d W W d W ds. (30), в котором порядок производной искомой функции не должен пре- R[u] 2 y ds x x ds y Г вышать порядка производной от этой функции, встречающейся в функВторое из условий (29) равносильно выполнению на контуре Г усционале. Итак, краевые условия можно записать в виде ловий R[u] (x, y).

W W Г 0.

x y Например, для функционала Это означает, что контурный интеграл в (30) обращается в нуль.

b Итак, функционал, минимум которого нужно искать, принимает вид J (u) (x,u,u )dx a D q J (W ) 2W 2 W dxdy. (31) краевые условия могут иметь вид 2 D S 0u(a) 0u (a) A, Пусть пластинка занимает область 1 y. Решение 1 x 1, поставленной задачи будем искать методом Ритца в виде 1u(b) 1u (b) B.

Пары чисел 0, 0 и 1, 1 не должны одновременно равняться (32) W1 c1(1 x2)2(1 y2)2, нулю.

16 Область, занимаемую срединной поверхностью оболочки, по линитак как функция 1(x, y) (1 x2)2(1 y2)удовлетворяет на границе ям главных кривизн разбиваем на части D ( j 1, 2,...,m; i 1, 2,...,n) j,i пластинки условиям (29) и система функций Z и узловые точки обозначаем через (рис. 1). Шаг разбиения hx в наj,i j правлении оси будет постоянным x ij (x, y) (1 x2)2(1 y2)2 xi 1y a линейно независима и полна в.

D(J ) hx x x.

j j m Подставив (32) в (31), получим 1 2 1 J (W1) 144c12 x2 1 y2 y2 1 x2 dxdy 3 1 1 2q c1 x2 )2 (1 y2 )2 dxdy. (33) (D 1 Система уравнений Ритца в этом случае состоит из одного уравнения dJ (W1) 0.

dcПосле вычисления интегралов в (33) это уравнение принимает вид q 106,998c1 1,, Рис. 1. Разбиение области, занимаемой координатной D поверхностью оболочки q c1 0,откуда. Таким образом, приближенное значение прогиба D y Шаг разбиения hi в направлении оси в общем случае может быть пластинки будет иметь вид y переменным в зависимости от координаты :

x q W (x, y) W1(x, y) 0,0123 (1 x2 )2 (1 y2 )2. (34) D bk (x) hi (x), y n где bk (x) – конечное значение переменной при начальном нулевом м 5. МЕТОД РИТЦА ПРИ ДИСКРЕТНОЙ значении.

АППРОКСИМАЦИИ ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ Общее число точек разбиения области интегрирования будет, m 1 n 1 mn m n Для некоторых видов закрепления краев оболочки существует проблема выбора аппроксимирующих функций при непрерывной аппроксииз них внутренних точек будет мации искомых функций в методе Ритца. Кроме того, пределы измене, m 1 n 1 mn m n x, y ния переменных могут быть переменными для некоторых областей, а граничных занимаемых срединной (координатной) поверхностью оболочки.

Рассмотрим методику применения метода Ритца при дискретной.

2 m 1 2 n 1 4 2m 2n аппроксимации искомых функций.

18 D В каждой области неизвестные функции будем аппроксимироj,i b3x YK ;

j j 1,i вать сплайнами. Степень сплайна аппроксимации должна удовлетвоk a1 b1 b3 yi YK b1 b3 yi YK b3 yiYK 2s рять условию k 1 2s, где – порядок наибольшей производной не- (37) j,i j 1,i j,i известных функций в уравнениях равновесия.

b3 yiYK ;

j 1,i Для жесткой пластинки одна неизвестная функция – прогиб оболочки W, наибольший порядок производных в уравнении равновесия – a0 1 b1x b2 yi b3x yi YK b2 yi b3x yi YK j j j,i j j,i 2s четвертый ( ).

b1x b3x yi YK b3x yiYK.

Для оболочки (модель Кирхгофа – Лява) число неизвестных функций j j j 1,i j j 1,i три: перемещения U, V, W, наибольший порядок производных Таким образом, аппроксимируя неизвестные функции сплайном U в уравнениях равновесия для и V – второй, для W – четвертый ( ). (35) с учетом (37), получим 2s Для оболочки при учете поперечных сдвигов (модель Тимошенко – Рейснера) число неизвестных функций будет пять: три перемещения m n m n j YK f YK 1j,i (x, y) YK 2,i 1(x, y) U, V, W и два угла поворота нормали в соответствующих плоскостях j,i j,i j,i j 1i 1 j 1i x,, порядок наибольшей производной для каждой функции y j j (38) YK 3 1,i (x, y) YK 4 1,i 1(x, y).

в уравнениях равновесия – второй (2s 2).

j 1,i j 1,i Неизвестные функции обозначим YK, где K будет равно 1, 2, 3, 4, 5.

Если учитывать поперечные сдвиги, то 2s 2 и можно использовать Здесь биквадратный сплайн 1j,i (x, y) b01 b11x b21y b31xy;

f a0j,i a1j,ix a2j,i y a3j,ixy. (35) j,i j 2,i (x, y) b02 b12x b22y b32xy;

Неизвестные коэффициенты в (35) определим из условия равенства (39) f j в узлах значениям искомых функций, т. е.

j,i 3,i (x, y) b03 b13x b23y b33xy;

j f (Z ) YK ;

j,i j 1,i 1 j 1,i 4,i (x, y) b04 b14x b24y b34xy, f (Z ) YK ;

j,i j,i j,i где (36) f (Z ) YK ;

j,i j 1,i j 1,i b01 1 b1x b2 yi b3x yi; b02 b2 yi b3x yi;

j j j f (Z ) YK.

j,i j,i 1 j,i b03 b1x b3x yi; b04 b3x yi;

j j j При решении системы (36) введем обозначения b11 b1 b3 yi; b12 b3y; b13 b1 b3 yi; b14 b3 yi; (40) 1 1.

b1, b2, bb21 b2 b3x ; b22 b2 b3x ; b23 b3x ; b24 b3x ;

i i j j j j hx hy hxhy b31 b3; b32 b3; b33 b3; b34 b3.

В результате получим (индексы у a0,a1,a2,a3 писать не будем) Заметим, что a3 b3YK b3YK b3YK b3YK ;

j,i j,i 1 j 1,i j 1,i j j j.

1j,i (x, y) 2,i 1(x, y) 3 1,i (x, y) 4 1,i 1(x, y) a2 b2 b3x YK b2 b3x YK b3x YK j j,i j j,i 1 j j 1,i 20 Подставив (38) в функционал полной энергии деформации оболоч hi 3hi y yi 1 2 2 y yi 1 y y x, y ки и выполнив интегрирование по переменным от известных функE01( y) ;

i ций, приведем функционал к функции неизвестных числовых парамет hy ров, которые являются значениями неизвестных функций в узлах разби3hi y yi 1 2 2 y yi 1 y ения области. Найдя производные от функционала по этим неизвестным E02( y) ;

i параметрам и приравняв их нулю, получим систему алгебраических урав hy (42) нений (система Ритца).

Производные от функционала берутся по параметрам, соответству- hi y yi 1 2hi y yi 1 2 y yi 1 y y E11( y) ;

ющим внутренним узловым точкам. i hy Всего неизвестных параметров будет.

k m 1 n i Число уравнений будет.

k m 1 n hy y yi 1 2 y yi 1 E12( y).

Недостающие уравнения получаются из краевых условий, которых i hy,W, x, будет при k 5 (неизвестные функции U,V ) 10m 10n.

y Z, Z, Значения этих полиномов в узловых точках j 1,i 1 j 1,i С помощью краевых условий значения неизвестных функций в граничных точках выражаются через значения неизвестных функций во Z, Z имеют вид j,i 1 j,i внутренних узлах для того, чтобы система алгебраических уравнений E01(x ) 1; E01(x ) 0; E02 (x ) 0; E02 (x ) 1;

(система Ритца) была корректной (имела единственное решение).

j 1 j j 1 j Рассмотрим еще аппроксимацию неизвестных функций сплайнами E11(x ) 0; E11(x ) 0; E12 (x ) 0; E12 (x ) 0;

j 1 j j 1 j третьей степени. В методе конечных элементов используется многочлен (43) E01( yi 1) 1; E01(yi ) 0; E02( yi 1) 0; E02 (yi ) 1;

Эрмита.

Вдоль оси они будут иметь вид x E11( yi 1) 0; E11(yi ) 0; E12 (yi 1) 0; E12 ( yi ) 0.

Оказывается, что не только значения полиномов Эрмита в узловых точках равны нулю или единице, но и значения производных от них hx 3hx x x 2 2 x x j 1 j E01(x) ;

в узловых точках равны нулю или единице.

hx Найдем значения производных по x от полиномов и E11(x) E12(x) 2 y ах.

и производных по от полиномов и в узловых точках.

E11( y) E12( y) 3hx x x 2 x x j 1 j E02(x) ;

E01(x) Значения первых производных по x от, E02(x) и первых проhx y лю.

изводных по от E01( y), E02( y) в узловых точках равны нулю.

(41) 2 2 hx x x 2hx x x x x j 1 j 1 j Итак, получим E11(x) ;

hx 2 hx 4hx x x 3 x x j 1 j E11 (x) ;

hx x x 2 x x j 1 j hx E12(x).

hx 2hx x x 3 x x j 1 j E12 (x) ;

hx y Вдоль оси многочлены Эрмита будут иметь вид 22 Окончательно неизвестные функции аппроксимируем на всей области, занимаемой оболочкой, в виде hi 4hi y yi 1 3 y yi 1 y y E11 ( y) ;

m n YK hi YK k (x, y). (48) k y j 1i 1k (44) 2hi y yi 1 3 y yi 1 y E12 ( y).

hi y 6. МЕТОД БУБНОВА – ГАЛЕРКИНА Следовательно, Этот метод не связан с решением вариационной задачи, а связан E11 (x ) 1; E11 (x ) 0; E12 (x ) 0; E12 (x ) 1; с решением краевой задачи для дифференциального уравнения, но реj 1 j j 1 j (45) шение краевой задачи берется в том же виде, как при решении вариациE11 ( yi 1) 1; E11 (yi ) 0; E12 ( yi 1) 0; E12 (yi ) 1.

онной задачи методом Ритца. Решение уравнения Эйлера по методу Бубнова – Галеркина совпадает с решением соответствующей вариационной задачи методом Ритца. Метод связан с именами крупных ученых Введем обозначения в области кораблестроения – академиков И. Г. Бубнова и Б. Г. Галеркина.

1(x, y) E02(x)E02 ( y); 2 (x, y) E02 (x)E01( y);

И. Г. Бубнов связывал свой метод с вариационной задачей, а Б. Г. Галеркин применял аналогичный метод непосредственно к краевой задаче для 3(x, y) E01(x)E02( y); 4 (x, y) E01(x)E01( y);

дифференциального уравнения.

5 (x, y) E12 (x)E02( y); 6 (x, y) E12 (x)E01( y);

Рассмотрим следующую краевую задачу: найти решение уравнения (46) 7 (x, y) E11(x)E02 ( y); 8 (x, y) E11(x)E01( y);

, (49) Lu f 9 (x, y) E02 (x)E12 ( y); 10(x, y) E02 (x)E11( y);

где – некоторый дифференциальный оператор, определенный на L 11(x, y) E01(x)E12 ( y); 12 (x, y) E01(x)E11( y);

множестве функций вещественного гильбертова пространства, при D(L) условии YK YK1; YK YK2; YK YK3; YK YK4;

j,i j,i 1 j 1,i j 1,i u 0, (50) Г YK YK5; YK YK6; YK YK7 ;

x x x Z Z Z j,i j,i 1 j 1,i т. е. нужно найти функцию u(x, y), удовлетворяющую в области S YK YK8; YK YK9; YK YK10;

x y y дифференциальному уравнению (49), а на границе области Г – краевому Z Z Z j 1,i 1 j,i j,i условию (50).

YK YK11; YK YK12.

y y Возьмем приближенное решение в виде Z Z j 1,i j 1,i n D Теперь в области неизвестные функции можно представить un(x, y) i (x, y), (51) j,i c i i в виде где i (x, y) – аппроксимирующие (координатные) функции, YK k (x, y). (47) YK D k j,i удовлетворяющие краевым условиям (50), а сi – неизвестные искомые k параметры.

24 Подставив (51) в (49), получим невязку Lun f. Если un– точное е 4W 4W 4W D 2 q, (53) решение, то невязка равна нулю.

x4 x2 y2 y Суть метода состоит в том, что если невязка близка к нулю, то можно считать, что она ортогональна к любой функции i (x, y). Условие Eh3 ;

где сти D h – толщина пластинки; E, – модуль упругости ортогональности имеет вид 12(1 2 ) и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно.

f (x, y)dxdy 0 ( j 1, 2,...,n).

(52) Lun j Краевые условия имеют вид:

S при x 0, x a После вычисления интегралов в (52) от известных функций получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения 2W L W 0, 0; (54) с1, c2,...,cn, если – линейный оператор. Найдя ci и подставив их xв (51), получим приближенное решение краевой задачи.

при y 0, y b Сходимость метода Бубнова – Галеркина для широкого круга задач (в том числе задач механики) была доказана.

2W В общем случае краевые условия могут иметь вид W 0, 0. (55) yR[u] (x, y), Исходя из краевых условий (54), (55) аппроксимирующие функции Г для прогиба в методе Бубнова – Галеркина возьмем в виде где – некоторый оператор, содержащий производные искомой R[u] ix jy.

ij (x, y) sin sin функции меньшего порядка, чем в уравнении (49), и тогда решение a b берется в виде Решение примем в виде n x y un(x, y) 0(x, y) i (x, y), W1 c1 11(x, y) c1 sin sin c. (56) i a b i Согласно методу Бубнова – Галеркина для определения имеем c i (x, y) 0.

где 0 (x, y) (x, y), а условие Г Г ab Например, если условия имеют вид 4W1 4W1 4W1 q x y sin sin dxdy 0.

, о u(a) A u(b) B, то x4 x2 y2 y4 D a b 00 (x a)B (x b)A После вычисления интегралов от известных функций получим 0 (x).

b a a b 4ab a2 a4 q 4ab Используя метод Бубнова – Галеркина, можно найти прогиб W (x, y), с1 1 2 прямоугольной пластинки (плиты), закрепленной по контуру шарнирноa4 4 b2 b4 D неподвижно и находящейся под действием равномерно распределенной откуда q поперечной нагрузки.

16qa4, Считая прогиб пластинки малым, уравнение изгиба можно запиc 6D(1 2 )сать в виде 26 a где.

u (x, y), (59) b Г Следовательно, a по временной переменной t – начальным условиям. Приближенное решение возьмем в виде 16qa4 x y.

W (x, y) W1(x, y) sin sin n 6D(1 2 )2 a b un(x, y,t) 0(x, y) fi (t) i (x, y), (60) i Для квадратной плиты получим (a b) где fi (t) – неизвестные функции переменной t; i(x, y) – известные 4qa4 x y sin sin. (57) аппроксимирующие функции, удовлетворяющие однородным краевым W (x, y) a b 6D условиям a b x, y Максимальный прогиб (при ) такой плиты будет равен i (x, y) 0, (61) 2 Г (принято 0,3) а 0(x, y) – известная функция, удовлетворяющая условию qa4.

Wmax 0, 0 (x, y) (x, y).

EhГ Условие ортогональности невязки Lun f к функциям i (x, y) дает 7. МЕТОД ВЛАСОВА – КАНТОРОВИЧА систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно В ФОРМЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА функций fi(t) ab Почти одновременно с Л. В. Канторовичем был предложен ( j 1,2,...,n). (62) f (x, y)dxdy Lun j В. З. Власовым аналогичный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений, который позволяет свести краевую задачу для Решив эту систему при заданных начальных условиях по перемендифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкной t, найдем искомые функции fi (t), а подставив их в (60), найдем новенных дифференциальных уравнений.

приближенное решение поставленной краевой задачи.

Решение в этом методе принимается в таком же виде, как в методе В качестве примера рассмотрим динамическую задачу для жестких Л. В. Канторовича, т. е. линейно зависящем от функции одной переменпластинок.

ной, а далее выполняется процедура нахождения решения, как в методе Уравнение движения такой пластины имеет вид Бубнова – Галеркина.

Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию, u(x, y,t) 4W 4W 4W 2W удовлетворяющую в области S:{0 x a; 0 y b } диффе; фе0 t T D 2 A q(x, y,t), (63) ренциальному уравнению x4 x2 y2 y4 t, (58) Lu f (x, y,t) h где А.

x, y на границе области Г по пространственным координатам – краевым g условиям 28 Если пластинка шарнирно-неподвижно закреплена по контуру, то Общее решение уравнения (66) имеет вид краевые условия будут иметь вид (54), (55).

Bf (t) c1sin B1t c2 cos B1t t.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.