WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В. В. КАРПОВ, А. Ю. САЛЬНИКОВ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ПРИ РАСЧЕТЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 1 УДК 539.3 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор Ю. К. Демьянович (СПбГУ);

ВВЕДЕНИЕ канд. физ.-мат. наук, доцент Т. В. Рябикова (ПГУПС) При проектировании строительных объектов необходимо проводить расчет применяемых строительных конструкций. Особенные трудности В. В. Карпов, А. Ю. Сальников возникают при расчете оболочечных конструкций.

Вариационные методы и вариационные принципы механики Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое примепри расчете строительных конструкций: учеб. пособие / СПбГАСУ. – нение в судостроении, самолетостроении, строительстве космических СПб., 2009. – 75 с.

объектов, машиностроении, строительстве. Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами, но по технологическим причинам ISBN 978-5-9227-0144-0 могут иметь и вырезы. При проектировании облегченных, но высокоИзложены все основные численные методы, используемые для решения запрочных объектов и сооружений необходимо исследование устойчивосдач прочности и устойчивости строительных конструкций, выбора рациональти таких конструкций. Решение проблемы в линейной постановке как ных параметров оболочек, а также для вывода корректных соотношений при назадач Эйлера не дает истинной картины деформирования таких констличии нерегулярностей у оболочки. Показано применение вариационных принрукций, так как у ребристых оболочек (да и у гладких) вначале может ципов механики для вывода уравнений равновесия (движения) и естественных наступить местная потеря устойчивости (прохлопывание части оболочкраевых условий.

ки между ребрами), а затем уже общая. Борьба за уменьшение веса конПособие может быть использовано студентами специальности «Промышструкции приводит к необходимости уточнения и усовершенствования ленное и гражданское строительство», «Прикладная математика» (направление «Строительство»), магистрантами, аспирантами. математической модели конструкции и выбору устойчивого и наиболее точного алгоритма ее исследования. Это в свою очередь существенно усложняет решения поставленной задачи исследования и требует испольИл. 7. Библиогр.: 48 назв.

зования самой совершенной вычислительной техники для ее решения.

Следует обратить внимание еще и на то, что при исследовании устойчивости тонкостенных оболочек (в частности, подкрепленных ребрами или Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве ослабленных вырезами) возникает несколько мелких, но немаловажных учебного пособия.

деталей, связанных как с объектом исследования, так и с решением нелинейных задач: петлеобразование графика «нагрузка – прогиб оболочки», ветвление решений, различные формы потери устойчивости, обход критических точек и т. д. Вместе с задачей исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций должна решаться и задаISBN 978-5-9227-0144-0 В. В. Карпов, А. Ю. Сальников, ча выбора оптимальных параметров конструкции (числа и жесткости ре Санкт-Петербургский государственный бер, кривизны).

архитектурно-строительный университет, В начале XX века в связи с потребностями кораблестроения и особенно, начиная с 30-х годов, в связи с потребностями самолетостроения стала развиваться геометрически нелинейная теория пластин и оболочек. Появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов. В конце 40-х годов основы нелиней2 ной теории оболочек (пологих – Х. М. Муштари, Л. Донелл, В. З. Вла- Среди методов решения нелинейных задач для пластин и оболочек наибольшее применение получил метод последовательных нагружений, сов; непологих – В. В. Новожилов) были разработаны.

разработанный В. В. Петровым, позволяющий свести решение нелинейБольшой вклад в разработку теории оболочек также внесли ной задачи к последовательности решения линейных задач (метод проС. А. Амбарцумян, В. В. Болотин, И. Н. Векуа, А. С. Вольмир, И. И. Водолжения решения по параметру нагрузки). Для решения линейных крарович, А. Л. Гольденвейзер, Э. И. Григолюк, А. Н. Гузь, А. А. Ильюшин, евых задач, в основном, применяются метод конечных элементов или А. И. Лурье, Ю. Н. Работнов, С. П. Тимошенко, В. И. Феодосьев, метод Бубнова – Галеркина.

К. Ф. Черных, К. Маргерр, Э. Рейснер и другие.

Решение нелинейных задач оптимизации как задач нелинейного Основные идеи расчета ребристых оболочек были высказаны в конце математического программирования для таких сложных конструкций, как 40-х годов XX века А. И. Лурье и В. З. Власовым, которые заложили два оболочки ступенчато-переменной толщины, вызывает большие трудноосновных подхода к расчету ребристых оболочек. Как А. И. Лурье, так сти и не дает полной уверенности в нахождении глобального экстремума и В. З. Власов считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по лифункции цели. Поэтому предложенный В. В. Карповым и развитый нии. Третий подход к ребристой оболочке основан на «размазывании» в дальнейшем О. В. Игнатьевым (задачи статики) и А. Ю. Сальниковым жесткости ребер по всей оболочке. В большинстве работ авторов (задачи динамики) вариационно-параметрический метод, позволяющий (И. Я. Амиро и В. А. Заруцкого, Е. С. Гребня, Б. К. Михайлова, не только проводить исследования НДС и устойчивости рассматриваеВ. М. Рассудова, И. Е. Милейковского и И. П. Гречанинова, О. И. Теремых оболочек, но и выбирать рациональные параметры конструкции (рабушко, С. А. Тимашева и др.) до настоящего времени применяются два циональное подкрепление, рациональную кривизну), является наиболее первых подхода.



эффективным методом исследования нелинейных математических моВведение ребер по линии упрощает математическую модель ободелей сложных оболочечных конструкций.

лочки, но приводит к пренебрежению многими важными физическими Так как исследование нелинейных математических моделей пласфакторами, что сказывается на точности получаемых решений.

тин и оболочек требует применения современной вычислительной техВ конце 60-х годов прошлого столетия П. А. Жилин предложил расники, то возникает необходимость в разработке эффективных вычислисматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной тельных алгоритмов и создании программных комплексов для расчета толщины. Аналогичный подход применялся в работах Л. В. Енджиевспрочности и устойчивости подкрепленных оболочек с учетом геометрикого и И. Н. Преображенского. Впоследствии (конец 70-х годов) ческой и физической нелинейности, ползучести материала для комплекВ. В. Карповым была разработана геометрически нелинейная теория сного их исследования.

пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, имеющих ребра, В учебном пособии рассмотрены вариационные принципы механакладки и вырезы, в которой учитывались дискретное расположение ники (Лагранжа, Гамильтона – Остроградского, Кастильяно), с помощью ребер и вырезов, их ширина, жесткое соединение ребер при пересечекоторых получаются уравнения равновесия в перемещениях, уравнения нии, сдвиговая и крутильная жесткость ребер, поперечные сдвиги, т. е.

движения, уравнения в смешанной форме и естественные краевые и навсе наиболее важные факторы, влияющие на напряженно-деформирочальные условия. Приводятся различные численные методы (в том чисванное состояние и устойчивость оболочек, которыми раньше пренебре- ле вариационные), используемые для решения нелинейных задач теории гали из-за сложности их учета. Им была доказана эквивалентность под- оболочек: как для исследования их прочности и устойчивости, так и для ходов В. З. Власова и А. И. Лурье к расчету ребристых оболочек. выбора рациональных параметров (жесткости подкреплений, кривизны).

Все эти методы могут быть использованы и для расчетов стержневых Подходы В. В. Карпова к ребристым оболочкам как оболочкам стуи пластинчатых конструкций. Пособие содержит значительное число припенчато-переменной толщины были распространены на непологие обомеров применения тех или иных методов для расчетов строительных лочки его учениками О. В. Игнатьевым (задачи статики) и А. Ю. Сальниконструкций.

ковым (задачи динамики).

4 1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА Потенциальная энергия деформации такой оболочки будет иметь вид Рассмотрим некоторое тело, загруженное объемными Xi и поверхh ab ностными pvi силами на части поверхности S1. На оставшейся части z z П x x z xy dxdydz. (4) y y xy поверхности тела S2 заданы перемещения (кинематические граничные 00 h условия) ui ui S2. (1) Найдем первую вариацию функционала (4) и покажем, что выполняется равенство (3) Предположим, что состояние равновесия тела характеризуется h ij компонентами перемещения ui, шестью компонентами напряжения ab z ij и шестью компонентами деформации. Далее, пусть перемещения тела П x x z x z x y y z y y 00 h в его равновесном состоянии получили малые возможные перемещения.

Тогда согласно принципу возможных перемещений z z xy xy dxdydz. (5), (2) П Xi uidV pvi uids 0 xy xy VSИспользуя формулы где E E z z x z, z z, (2 E, xy x y y y x xy П ijdV – (3) ij 1 2 1 2 ) V преобразуем выражение:

вариация потенциальной энергии деформации тела.

h Принцип возможных перемещений в формулировке (2) справедлив ab при любых свойствах материала тела, т. е. при произвольном законе связи z z x z x xy dxdydz y y xy между компонентами напряжений и деформаций и при произвольном 00 h законе кинематической связи между компонентами перемещений ui ij и деформаций.

h ab Покажем, что выполнение условия (2) приводит к тождественному E E z z z z z z выполнению всех уравнений равновесия по объему тела и естественных x x y y y x 1 2 1 h (силовых) граничных условий на части поверхности S1. Для простоты ограничимся выводом уравнения равновесия упругих пологих оболочек h малого прогиба.

ab E E z z dxdydz z z z z z xy xy x y x При этом 11 x z, 12 21, 22, 2(1 ) xy y h 00 1 12 21 xy 33 31 13 23 32 0, 11 x,, 22 33 31 13 23 32,, y E E z z z z z dxdydz y x y xy xy z z z 2, 2z 12. 2(1 ) z z 1, y y 1 xy xy x x 6 h Учитывая, что ab z z U U V V x x z xy dxdydz.

,,, y y xy x kxW k W xy y y 00 h x y x y Подставляя полученный результат в (5), получим 2W 2W 2W, 2,, 12 1 h x y y xab П x x z y y z xy xy z dxdydz, и используя интегрирование по частям, например 00 h ab b ab x a 2 U N x N dxdy N U dy Udxdy, что подтверждает соотношение (3). x x x x 0 x 00 0 q Работа внешних сил (поперечной нагрузки ) на перемещении w вариационное уравнение (8) приведем к виду имеет вид ab ab Ny Nxy Nx Nxy A q wdxdy.

U V x y y x Согласно принципу возможных перемещений x kxNx y 2M 2M y 2M xy ab ky N 2 q W dxdy x2 y2 x y П q wdxdy 0. (6) b x a M Функционал полной энергии деформации оболочки M W xy x U N V N x xy h W M x dy x y x x 0 ab ab z z z Э x xy dxdydz x y y xy qwdxdy a y b M M 2 W y xy h 00 U N V 2 dx N xy y W M y y y x y 0 или x a y b ab M W 0. (9) xy Э N N N M 1 M x x y y xy xy x y x 0 y Так как под знаком двойного интеграла произвольны U, V, W (не равны нулю), то сомножители, стоящие перед ними в двойном интег (7) 2M 12 2qW dxdy, xy рале, должны равняться нулю. Таким образом, получим уравнения равиз которого выводятся уравнения равновесия в перемещениях, называют новесия функционалом Лагранжа.





N N N N Вариационное уравнение (6) с учетом (7) можно записать в виде xy x y xy ;

0;

x y ab y x Э N x N N M 1 M x y y xy xy x y (10) 2M 2M 2M y xy x kx N k N 2 q 0.

x y y 2M 12 2q W dxdy 0. (8) x2 y2 x y xy 8 Из равенства нулю одномерных интегралов в (9) получаем где.

естественные краевые условия:

g при x 0, x a Потенциальную энергию можно записать в виде N N 0 или ; или V 0;

U xy x ab D M M xy ( 2W )2 2(1 ) 2W 2W 2W dxdy.

x 2 0 или W 0; M x 0 или W (11) 2 x y 0; 1) x2 y x y x Работа внешней силы (поперечной нагрузки q) при y 0, y b ab N 0 N или U 0; y или V 0;

xy A qWdxdy.

M M W y xy 0. (12) 2 0 или W 0; M y 0 или Пусть выполняются краевые условия шарнирно-неподвижного зак y y x репления края:

Вариационный принцип Лагранжа основан на необходимом усло 2W вии экстремума функционала.

при x 0, x a W 0, 0;

x2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 2W ГАМИЛЬТОНА – ОСТРОГРАДСКОГО при y 0, y b W 0, yПринцип стационарного действия Гамильтона – Остроградского и однородные начальные условия по переменной t.

утверждает, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движеДля вывода уравнения движения найдем первую вариацию функний системы материальных точек в действительности осуществляются ционала (13) и приравняем ее к нулю.

движения, дающие стационарное значение интегралу t1 Последовательно находим, (13) tJ A)dt abt ( 2W dt h Wdxdydt, t tt0 00 tгде Т – кинетическая энергия системы; П – потенциальная энергия системы; А – работа внешних сил.

tabt 4W 4W 4W Таким образом, приходим к необходимому условию минимума Wdxdydt, dt D x4 x2 y2 yфункционала (13), а именно: t0 00 t J 0. (14) t1 ab tВыведем уравнение движения жесткой пластинки (плиты) малого Adt q Wdxdydt.

прогиба, находящейся под действием поперечной нагрузки.

q(x, y,t) t0 00 tКинетическая энергия рассматриваемой пластинки будет иметь вид Следовательно, ab abt1 W 2W 4W 4W 4W h q Wdxdydt 0.

dxdy, h t2 D 2 t x4 x2 y2 y4 00 t 10 Отсюда получаем уравнение движения пластинки h ab ab z z 4W 4W 4W 2W x z x xy dxdydz.

y y xy W qdxdy 0 (17) D h q(x, y,t). (15) 2 00 h x4 x2 y2 y4 t Используя соотношения 2W, z y z 2W, z xy 2z 2W 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО z x z x y xy x y x2 yи тот факт, что Принцип возможных напряженных состояний формируется так:

h h h если деформация системы согласуется со всеми внутренними и внешни2 ми связями, то сумма работ, производимых возможными изменениями xydz N dz N z xdz M, xy,, x x x всех внешних и внутренних сил на действительных перемещениях тела, h h h равна нулю.

2 Математическая формулировка этого принципа имеет вид h h h ijdV pvids 0. (16) ij ui 2 V Sdz N, z dz M, z xydz M, y y y y xy Эта зависимость носит название вариационного уравнения Касти- h h h льяно. 2 Обозначим q а также выражение из третьего уравнения равновесия (10) ijdV П, ij 2M 2M 2M y xy V x, q kx N k N x y y – так называемая дополнительная потенциальная энергия тела. Если x2 y2 x y где П П П поведение материала тела подчиняется закону Гука, то – приведем вариационное уравнение (17) к виду потенциальной энергии тела.

ab 2W 2W Напряженное состояние, вариации которого удовлетворяют урав N M N M N x x x y y y xy xy нению (16), отличается от всех других статически возможных напряжен x2 yных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия 2W внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности (нераз- kx N x k y N y 2M x 2 M W xy x y xрывности деформаций) по объему тела.

Таким образом, если принцип возможных перемещений позволяет 2M 2M y xy dxdy 0.

вывести уравнения равновесия, то принцип возможных напряженных (18) x y yсостояний позволяет вывести все условия сплошности.

Получим уравнение совместности деформаций (уравнение сплошВведем функцию по правилу x, y ности) для тонких оболочек малого прогиба, находящихся под действиq ем поперечной нагрузки, используя вариационное уравнение Кастиль- 2,,. (19) N N N y xy x яно (16), которое запишется в виде x y x y12 Подставив (19) в (18), интегрируя по частям два раза и учитывая то считается, что найдено достаточно хорошее приближение к истинному краевые условия (11), (12), сведем уравнение (18) к виду решению задачи. Если же удается найти минимизирующую последовательность un (x, y), т. е. последовательность функций, для 2 ab 2 k k x y xy x W y W которых J (un ) m, то эта последовательность будет сходиться к точному 2 x y x2 x y y решению u* 2W 2W 2W 2W un u*.

M M 2 M M x y xy x x y x2 y2 xНемецким математиком В. Ритцем в 1908 г. было предложено при ближенное решение находить в виде семейства функций u x, y 2W 2W M 2 M dxdy 0.

y xy x y yu x, y,c1,c2,...,cn, (23) Отсюда получаем уравнения совместности деформаций (сплошнозависящих от нескольких параметров и удовлетворяющих условию (22).

сти) в виде Если подставить (23) в (21), то функционал после выполнения J (u ) 2 x 2 2 2W 2W y xy интегрирования будет функцией переменных n. (20) kx k y y2 x2 x y y2 xJ J c1,c2,...,cn.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.