WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В. В. КАРПОВ, Т. В. РЯБИКОВА КОМПЛЕКСНЫЙ РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В СРЕДЕ MATLAB Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 1 УДК 519.6, 624.046, 539.3 Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. В. Лалин (СПбГПУ); канд. физ.мат. наук, доцент А. Л. Смирнов (СПбГУ) Введение Карпов, В. В., Рябикова, Т. В.

Борьба за уменьшение материалоёмкости конструкций и удешевКомплексный расчёт элементов строительных конструкций в среление проектов строительства требует более точных расчётов элеменде MATLAB: учеб. пособие / В. В. Карпов, Т. В. Рябикова; СПбГАСУ. – тов строительных конструкций с учётом различных свойств материала.

СПб., 2009. – 136 с.

Расчёты в линейно-упругой постановке не дают полных знаний о деформировании конструкций, поэтому приходится задавать завышенный ISBN 978-5-9227-0212-6 коэффициент запаса прочности.

Приводятся сведения о моделях деформирования балок, плит, оболочек при В курсах сопротивления материалов и строительной механики учёте различных свойств материала, алгоритмах исследования напряжённоиз-за ограниченного числа часов, выделяемых на эти дисциплины, расдеформированного состояния, создании приложений в MATLAB 7. Рассмотрено сматриваются, в основном, линейно-упругие задачи. Другая причина большое число примеров расчёта элементов строительных конструкций в линейнозаключается в том, что расчёты строительных конструкций при неупупругой, нелинейно-упругой постановках и при учёте ползучести материала.

ругом деформировании требуют использования математических метоПособие может быть полезно студентам специальностей «Промышленное дов и алгоритмов, реализуемых на современных ЭВМ.

и гражданское строительство», «Прикладная математика», а также магистрам, В качестве элементов строительных конструкций рассматриваютаспирантам строительных специальностей.

ся стержни (балки), пластины (плиты) и оболочки.

В пособии приведены математические модели деформирования Ил. 58. Табл. 3. Библиогр.: 21 назв.

элементов строительных конструкций, алгоритмы их исследования, основанные на методе Ритца и методе упругих решений, примеры расчёта элементов строительных конструкций в MATLAB при линейноРекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве упругом деформировании, нелинейно-упругом деформировании, с учёучебного пособия том развития деформаций ползучести при длительном нагружении.

ISBN 978-5-9227-0212-6 В. В. Карпов, Т. В. Рябикова, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2 z P A Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ A ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В Pn ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОЯВЛЯЕМЫХ СВОЙСТВ Py МАТЕРИАЛА x 1.1. Основные характеристики напряжённо-деформированного Рис. 1.1. Перемещение точек тела состояния конструкции Относительные удлинения бесконечно малых отрезков dx, dy, dz, Целью расчёта и проектирования конструкций любой сложнокоторые до деформации были параллельны осям координат Ox,Oy,Oz, сти является обеспечение прочности и жёсткости этих конструкций x,,z равны деформациям удлинения – (продольные или линейные при минимальных расходах материала, поэтому при расчёте элеменy тов конструкций желательно получить наиболее точное решение подеформации). Изменения первоначально прямых углов между линейставленной задачи. Это возможно при учёте различных свойств маными элементами dx, dy, dz в соответствующих плоскостях равны детериала конструкции для описания напряжённо-деформированного xy,, zx формациям сдвига (рис. 1.2, а, б).

yz состояния конструкции и точного решения уравнений равновесия.

Однако во многих случаях такая задача оказывается практически не x, y, z, xу,, Шести величин: – достаточно для того, чтоyz zx выполнимой, поэтому на практике прибегают к построению матебы определить линейные и угловые деформации в данной точке тела в матических моделей, основанных на определённых гипотезах дефорлюбых направлениях. Эти величины называются компонентами деформирования элементов конструкций, и приближённым методам расмаций.

чёта [3, 4, 11, 14, 19].

Пусть на трёхмерное тело, закреплённое определённым образом y б а u dx (невозможно смещение тела как единого целого), действуют нагрузки z B y B’ ds P1, P2,, Pn (рис. 1.1). Действующие внешние силы деформируют тело.

A Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Каждая 1 dy y ds* A v u x, y, z те точка имеющая координаты до деформации, в результате A, dy w x 1 dx v v x A деформации перемещается в новое положение с координатами y x u x x u, y v, z w.

u, v, w Приращения координат точки А называются компонентами перемещений этой точки вдоль осей Ox,Oy,Oz. Компоненты пере- Рис. 1.2. Изменение линейных и угловых величин в результате деформирования мещений зависят от координат точки,, u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) и являются непрерывными функциями.

Деформации выражаются через перемещения геометрическими В результате перемещений точек возникают деформации: относисоотношениями, в простейшем случае – соотношения Коши [3]:

тельные удлинения отрезков и изменения угловых величин.

4 Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций u u v соотношениями, которые называют физическими соотношениями, вид x, xy, x y x которых зависит от проявляемых свойств материала (упругие, пласти v v w ческие, свойства ползучести и т. д.). Для упругого тела эта зависимость,, (1.1) y yz y z y выражается законом Гука. В случае сложного напряжённого состояния w w u справедлив обобщённый закон Гука [3]:

z, zx.



z x z xy x x ( y z ), xy, E G Формулами (1.1) можно пользоваться в тех случаях, когда удлине yz y y ( z x ),, ния, сдвиги и углы поворота малы по сравнению с единицей, а квадра- yz (1.2) E G тичные комбинации углов поворота малы по сравнению с компонента1 zx z z ( x y ), zx, ми деформаций.

E G Для того чтобы численно характеризовать степень воздействия внешних сил на деформированный элемент, вводится понятие «напря- где E – модуль упругости материала; – коэффициент Пуассона;

жения». Напряжение – силовой фактор, представляющий собой интенE G сивность действия внутренних сил, приходящихся на единицу площа- – модуль упругости второго рода или модуль сдвига.

2(1 ) ди, выделенную в какой-либо точке рассматриваемого сечения.

Следующую группу соотношений составляют уравнения равноВ направлении осей Ox,Oy,Oz действуют нормальные напряжевесия, которые могут быть получены из условия минимума функциоx,y,z ния, связанные с деформациями растяжения-сжатия. В плоснала полной энергии деформации тела.

Функционал полной энергии деформации равен разности потенxу, yz, xz костях xOy, xOz, yOz появятся напряжения сдвига, связанциальной энергии системы П и работы внешних сил А [1], т. е.

ные с деформациями сдвига (рис.1.3).

. (1.3) Э П А Для линейно-деформируемых материалов потенциальная энергия z z записывается в виде y x xz yz П xx zz xyxy xzxz dV. (1.4) y y yz yz yz V xz y Таким образом, математическая модель деформирования любой xy yx конструкции состоит из трёх групп соотношений: геометрических соот x ношений, связывающих деформации и перемещения; физических соотношений, связывающих напряжения и деформации; функционала полной энергии деформации системы, который может быть представлен чеРис. 1.3. Правило знаков для напряжений рез интеграл от искомых функций перемещений Э Ф u,v, w dV.

V 6 1.2. Геометрические соотношения для элементов строительных Для стержня, работающего только на изгиб (рис. 1.5), перемещеконструкций ниями u, v срединной линии пренебрегаем. Перемещения w оказываются функциями только одной координаты w w(x), в результате учиЭлементы строительных конструкций: балка (стержень, работаютываем только деформации z, для которых имеем соотношение x щий на изгиб), плита (пластина), оболочка – представляют собой трёхduz мерные тела. Чтобы упростить нахождение всех характеристик напряz z, (1.6) x dx жённо-деформированного состояния конструкций, используют ряд где гипотез. В результате использования, зная характеристики деформирования координатной линии для стержня, координатной плоскости для d w. (1.7) плиты, координатной поверхности для оболочки, можно найти харакdxтеристики деформирования конструкции в любом слое, отстающем q(x) на z от координатного.

Основными являются гипотеза плоских сечений для балок, согласx но которой все сечения, нормальные к оси балки в её недеформирован0 l ном состоянии, остаются плоскими (не искажаются) и сохраняют свою z перпендикулярность к оси балки в процессе её изгиба; гипотеза пряРис. 1.5. Балка с распределённой нагрузкой мых нормалей для пластин и оболочек, согласно которой прямолинейные отрезки, до деформации перпендикулярные к срединной поверхДля плиты, работающей только на изгиб (рис. 1.6), внутренними усиности, при деформировании остаются прямолинейными и нормальныN Nxy лиями Nx,, пренебрегаем и для деформаций имеем соотношения ми к деформированной срединной поверхности (рис. 1.4). y vz uz vz uz z z z1, y z2, z 2z12, (1.8) xy x x y y x x где x 2w 2w 2w 2 12 1 ; ; – (1.9) Рис. 1.4. Деформация элемента согласно x y y xгипотезе плоских сечений функции изменения кривизны и кручения.

Перемещения в слое, отстоящем на z от срединной поверхности y q(x, y) пологой оболочки, будут линейно зависеть от z:

b w w,,. (1.5) vz v z wz w uz u z y x Здесь,, – перемещения точек срединной поu(x, y) v(x, y) w(x, y) x O a верхности вдоль координатных осей x, y, z соответственно; uz (x, y), z е, vz (x, y), wz (x, y) – перемещения вдоль соответствующих осей в слое, Рис. 1.6. Плита, нагруженная распределённой нагрузкой отстоящем на z от срединной поверхности.

8 Для оболочек учитывается сложное напряжённое состояние q(x, y) (рис. 1.7) и деформации координатной поверхности (геометрически линейная теория, модель Кирхгофа – Лява) имеют вид [16] y b 1 u 1 A x v kxw, A x AB y x Ra 1 v 1 B u kyw, (1.10) y B y AB x R1 z 1 v 1 u 1 A B xy u v.

A x B y AB y x Здесь A, B – параметры Лямэ, характеризующие поверхность оболочки (для различных видов оболочек: пологих прямоугольного плана, Рис. 1.7. Оболочка, находящаяся под действием цилиндрических, конических, сферических и т. д. – они имеют различраспределённой нагрузки 1 ные значения); функции кривизны kx ky – главные кривиз, 1.3. Физические соотношения для элементов строительных R1 Rконструкций при линейно-упругом деформировании y ны оболочки вдоль осей и ;, – главные радиусы кривизны x R1 Ry в направлении координат и. При линейно-упругом деформировании физические соотношения, x В слое, отстоящем на z от срединной поверхности оболочки, связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций, деформации принимают вид задаются законом Гука.

Физические соотношения:

для стержня 1) z z2, z xy 2z12, (1.11) z x z1, y y xy x, (1.13) x Ez Ez x где 1 1 w 1 A 1 w для пластин 1 ;

A x A x AB y B y E Ez x z z 1 2, x y 1 1 w 1 B 1 w 1 2 1 2 ; (1.12) B y B y AB x A x E Ez y z z 2 1, (1.14) y x 1 2 1 1 1 w 1 1 w 1 A 1 w B 1 w 212.

A x B y B y A x AB y A x x B y E Ez xy z 12, xy 2(1 ) 10 для оболочек Если поперечную нагрузку задавать в Па (на единицу площаq(x) ди), то ширину поперечного сечения стержня в (1.6) можно не учитывать, т. е.





E E x z z x z(1 2), x y y 1 2 1 M EI. (1.18) E E z z x z(2 1), (1.15) y y x y 1 2 1 y Для пластины, работающей только на изгиб, напряжения x,, E E xy M M M создают изгибающие M, и крутящие моменты y xy yx xy z xy 2z12. x xy 2(1 ) 2(1 ) (рис. 1.9).

Здесь E – модуль упругости материала стержня; – коэффициент z Пуассона.

M M yx xy y x 1.4. Усилия и моменты для элементов строительных конструкций M M при линейно-упругом деформировании x y В качестве внутренних силовых факторов рассматриваются внутРис. 1.9. Положительные направления ренние усилия – интегралы по переменной z от напряжений – и изгибаизгибающих и крутящих моментов ющие моменты – интегралы по переменной z от напряжений, умножен в сечениях плиты ных на z.

Для балки прямоугольного сечения высотой h и шириной b единУказанные моменты, приведённые к координатной поверхности и ственным внутренним силовым фактором является изгибающий момент приходящиеся на единицу длины сечения:

(рис. 1.8) h / h / Eh, (1.16) M b zdz EbI x M z dz 1 2, x x h / 12(1 2) h / где h / Ehh / M yz dz 2 1, (1.19) y. (1.17) I z2dz 12(1 2) h / h / h / EhM xyz dz 12.

xy M (x dx) M (x) 12(1 ) h / x dx z Для оболочки, когда учитывается сложное напряжённое состояРис. 1.8. Направления изгибающих моментов N Nxy Nyx ние, нормальные силы Nx,, касательные силы, изгибаюy в сечениях балки 12 M M M щие моменты M, и крутящие моменты (рис. 1.10) опA y xy yx x P ределяются соотношениями l B h / Eh Рис. 1.11. Образец испытания Nx x dz (x ), y 1 h / Для разного значения P определяют приращение и находят отl h / Eh N dz ( x ) l P y y y, носительное удлинение стержня и напряжение, по котоо1 h / l F h / 2 рым строят кривую (рис. 1.12).

Eh Nxy xy dz xy, 2(1 ) h / (1.20) h / T EhM z dz (1 2) x x, 12(1 2) у h / h / EhM y z dz (2 1), y 12(1 2) h / h / Eh3 Рис. 1.12. Зависимость M xy z dz 12.

xy 12(1 ) h / Характерными точками диаграммы являются предел упругости у материала – наибольшее напряжение, до которого имеет место прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформаz x M x цией E, где E tg – модуль упругости материала. Следующая M y y N x характерная точка – предел текучести материала.

T M xy N N N xy y yx M yx Исходя из кривой, полученной для различных материалов опыт– ным путём, следует, что только при конструкция деформируется у Рис. 1.10. Направления внутренних линейно-упруго. Также существуют материалы, для которых отсутствуусилий в сечениях оболочки ет линейный участок этой зависимости (рис. 1.13). Причём процесс деформирования при нагружении происходит по кривой OAB. Для учёта 1.5. Физические соотношения для элементов строительных этого факта (физической нелинейности) за модуль упругости принимаконструкций при нелинейно-упругом деформировании ют секущий модуль упругости Eс tg. Кривую аппроксимируют () т Для различных материалов проводятся испытания на растяжение некоторой аналитической зависимостью, беря вместо интенсивность образца длиной l, площадью поперечного сечения F, нагруженного сидеформаций i, а вместо – интенсивность напряже i.

ений лой P (рис. 1.11).

14 x Ec z E z E ( i ) z, (1.23) x x x B или А x У П, (1.24) x x где У задано соотношением (1.13), а П записывается в виде x x O C Рис. 1.13. Определение секущего. (1.25) П E (i)z x x модуля упругости Здесь 2 А. А. Ильюшиным [9] было предложено секущий модуль брать i z z – (1.26) x в виде 3 i Ec E(1 ( i )), (1.21) интенсивность деформаций для стержня.

i Для плиты, работающей только на изгиб, в соответствии с деформационной теорией имеем где (i) – некоторая функция, имеющая различный вид для разных, y У П, xy У П, (1.27) x У П y y xy xy материалов. x x Например, для металлов и старого бетона можно принять У У где У,, – линейно-упругие составляющие напряжений (форx y xy мулы (1.14)), а составляющие с индексом П (i ) mi, (1.22) E(i) Ez(i) где – опытная константа.

m П z z 1 2, x x y Если учитывается только физическая нелинейность, то считается, 1 2 1 что и процесс разгрузки протекает по кривой BAO. Однако для некотоE(i) Ez(i) рых материалов процесс разгрузки протекает по прямой BC и после П z z 2 1, (1.28) y y x 1 2 1 снятия нагрузки могут появиться остаточные, или пластические деформации. При этом за модуль упругости при разгрузке берётся П OC E ( i ) Ez ( i ) П z xy y – первоначальный модуль упругости E.

2 1 Существует несколько теорий пластичности. Одну из них, деформационную теорию, можно использовать при рассмотрении нелинейпластические составляющие напряжений.

но-упругого деформирования (физически нелинейная задача). При этом Интенсивность деформаций для плиты имеет вид процесс разгрузки не рассматривается и пластическая деформация 2 2 2 1 не исследуется.

z i z z z z. (1.29) x x y y xy Физические соотношения при учёте физической нелинейности для 3 стержня принимают вид 16 Для оболочки в соответствии с деформационной теорией физи- Существует несколько теорий ползучести. Для пластмасс и старого бетона можно использовать линейную теорию наследственной полческие соотношения будут иметь вид (1.27), где У, У, У можно жно x y xy зучести. В металлах ползучесть может проявиться только при больших температурах.

представить в виде (1.15), а, П, П заданы соотношениями П x y xy Будем рассматривать квазистатическую задачу, когда искомые фунy м кции зависят не только от координат x и, но и от времени t, при этом E(i) инерционными членами можно пренебречь.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.