WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
Е.М. КАРЧЕВСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ Учебное пособие Казань Казанский государственный университет имени В.И. Ульянова-Ленина 2007 Печатается по решению кафедры прикладной математики Казанского государственного университета Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор Н.Б. Плещинский Карчевский Е.М. Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Учебное пособие / Е.М. Карчевский.

Казань: Казанский государственный университет им. В.И. УльяноваЛенина, 2007. 130 с.

Излагаются основные способы построения математических моделей спектральной теории диэлектрических волноводов.

Книга рассчитана на студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в области математического моделирования, а также научных сотрудников, чьи интересы лежат в указанной области.

УДК 517.958:621.372.8 Оглавление Предисловие................................... 4 Глава 1. Основные уравнения спектральной теории диэлектрических волноводов............................... 6 § 1. Уравнения для амплитуд собственных волн............. 6 § 2. Электромагнитные потенциалы.................... 10 § 3. Условия на границах раздела сред.................. 14 § 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности..... 19 § 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода..... 26 § 6. Собственные волны волноводов кругового поперечного сечения.. 32 Задачи и упражнения............................. 38 Глава 2. Задачи о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления......................... 40 § 1. Элементы спектральной теории оператор-функций......... 40 § 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 42 § 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке... Задачи и упражнения............................. Глава 3. Задачи о собственных волнах волноводов с размытой границей...................................... § 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода § 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке... Задачи и упражнения............................. Глава 4. Задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде............. § 1. Элементы теории сингулярных интегральных уравнений..... § 2. Спектральная задача для сингулярного интегрального уравнения § 3. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора..... Задачи и упражнения............................. Глава 5. Численные методы решения задач спектральной теории диэлектрических волноводов....................... § 1. Проекционные методы решения нелинейных спектральных задач § 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах...... § 3. Численные эксперименты........................ Задачи и упражнения............................. Литература.................................... Предисловие Книга является расширенным изложением курсов лекций, читавшихся автором для студентов кафедры прикладной математики факультета вычислительной математики и кибернетики Казанского государственного университета, специализирующихся в области математического моделирования.

Цель книги познакомить читателя с методами построения общих математических моделей спектральной теории диэлектрических волноводов. Особенностью данного пособия является то, что математические модели волноводов различных типов систематически строятся на основе методов теории сингулярных интегральных уравнений, а качественные свойства спектра изучаются с помощью общих результатов спектральной теории несамосопряженных операторов.

Наиболее подробно рассматриваются задачи о собственных волнах волноводов двух типов, находящихся в однородной окружающей среде: волноводов с постоянным показателем преломления и произвольным гладким контуром поперечного сечения, а также волноводов с переменным и гладким во всей плоскости поперечного сечения показателем преломления волноводов с размытой границей.

Задачи ставятся в наиболее общем виде, и в рамках единых математических моделей изучаются свойства всех известных типов собственных волн: “поверхностных”, “комплексных” и “вытекающих”, амплитуды которых удовлетворяют “парциальным” условиям излучения. Рассматривается также задача о собственных волнах волновода в плоско-слоистой окружающей среде.

Отдельная глава посвящена разработке и обоснованию проекционных методов решения нелинейных спектральных задач, возникающих при построении математических моделей диэлектрических волноводов.

Общие постулаты и теоремы спектральной теории диэлектрических волноводов сопровождаются упражнениями и задачами. Упражнения направлены на выработку у студентов навыков самостоятельного выполнения математических выкладок. Задачи могут служить темами семинарских занятий, курсовых и дипломных работ. Они Предисловие должны помочь прояснить “физическую” сущность изучаемых теоретических положений.

Книга рассчитана на студентов старших курсов физико-математических факультетов. Она будет полезна также и аспирантам соответствующих специальностей. Предполагается, что читатель знаком с общими университетскими курсами естественно-научного цикла. Тем не менее, в отдельной главе формулируются основные уравнения спектральной теории диэлектрических волноводов, основанные на уравнениях Максвелла. В книге излагаются также элементы спектральной теории оператор-функций, теории сингулярных интегральных уравнений, теории сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач, не рассматриваемые обычно в общих курсах.



Многие вопросы, затронутые в книге, активно обсуждались с сотрудниками кафедры прикладной математики Казанского государственного университета. Автор приносит им свою искреннюю признательность. Рукопись книги была внимательно прочитана Н.Б. Плещинским, который взял на себя труд по ее редактированию. Автор с благодарностью учел все его замечания.

Глава ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ § 1. Уравнения для амплитуд собственных волн Спектральная теория диэлектрических волноводов основывается на следующих однородных уравнениях Максвелла:

H E (1.1) rot E = - µ0, rot H =.

t t Здесь введены следующие обозначения (используется декартова система координат):

E = (E1, E2, E3)T, H = (H1, H2, H3)T есть векторы напряженности электрического и магнитного поля с координатами Ei = Ei(x1, x2, x3, t), Hi = Hi(x1, x2, x3, t), i = 1, 2, 3;

x1, x2, x3 пространственные переменные; t время; = 0n2 диэлектрическая проницаемость; 0 электрическая постоянная; n показатель преломления; µ0 магнитная постоянная. Векторная операция rot в декартовой системе координат определена равенством:

E3/x2 - E2/x rot E = E1/x3 - E3/x1.

E2/x1 - E1/xПусть цилиндрический диэлектрический волновод является бесконечно длинным и находится в неограниченном пространстве с постоянным показателем преломления n > 0. Будем считать, что образующая цилиндра параллельна оси 0x3, показатель преломления n внутри цилиндра не зависит от x3 и является вещественной функцией пространственных переменных x1 и x2. В дальнейшем символом x будем обозначать вектор с координатами x1 и x2.

§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн Мы будем изучать собственные волны, то есть решения системы уравнений Максвелла (1.1), имеющие вид E E (x, x3, t) = Re (x) exp(i(x3 - t)). (1.2) H H Здесь E = (E1, E2, E3)T, H = (H1, H2, H3)T есть комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля E и H; > 0 частота электромагнитных колебаний; комплексный параметр, который называется продольной постоянной распространения.

В задачах о собственных волнах диэлектрических волноводов нужно найти такие значения и, при которых существуют нетривиальные решения системы уравнений Максвелла (1.1), имеющие вид (1.2), удовлетворяющие условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности в плоскости поперечного сечения волновода.

Построим уравнения, которым удовлетворяют комплексные амплитуды собственных волн. Обозначим символом R2 плоскость поперечного сечения волновода {x3 = const}. Пусть ограниченная область на плоскости R2, ее граница гладкая кривая; = R2\.

Относительно показателя преломления волновода n предположим следующее: n = n = const при x ; n гладкая вещественная функция в области ;

n+ = max n(x) > n > 0;

x функция n может иметь разрыв первого рода на контуре. Схематическое изображение поперечного сечения волновода приведено на рисунке 1.

Подставляя векторы E и H вида (1.2) в уравнения Максвелла (1.1), получим систему уравнений rotE =iµ0H, rotH = - i0n2E, x R2 \, (1.3) где векторная операция rot определена равенством E3/x2 - iE rotE = iE1 - E3/x1. (1.4) E2/x1 - E1/x8 Глава 1. Основные уравнения xn=n x xn=n(x) Рис. 1. Схематическое изображение поперечного сечения цилиндрического диэлектрического волновода в однородной окружающей среде Пусть F = (F1, F2, F3, )T (x) и u = u(x) достаточно гладкие вектор-функция и скалярная функция соответственно. Введем дифференциальные операторы:

divF = F1/x1 + F2/x2 + iF3, u = 2u x2 + 2u x2, 1 gradu = (u/x1, u/x2, iu)T, gradu = (u/x1, u/x2, 0)T.

Непосредственными вычислениями легко проверить справедливость следующих формул:

div gradu = u - 2u, (1.5) div (rotF) = 0, (1.6) div (uF) = udivF+F · gradu, (1.7) rot gradu = 0, (1.8) rot (rotF) = -F+2F + grad (divF), (1.9) (divF) = div (F). (1.10) Здесь и далее символом “·” обозначено скалярное произведение векторов.

§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн Утверждение 1.1. Пусть E, H нетривиальное решение системы уравнений (1.3). Тогда для всех x R2 \ справедливы следующие равенства:

rot (rotE) = k2n2E, (1.11) rot n-2rotH = k2H, (1.12) div n2E = 0, (1.13) divH = 0, (1.14) где k2 = 0µ02.

Доказательство. Равенства (1.11) и (1.12) легко получить, применив операцию rot к правым и левым частям уравнений (1.3).

Для того, чтобы получить равенства (1.13) и (1.14), надо применить к правым и левым частям уравнений (1.3) операцию div и воспользоваться формулой (1.6).

Вещественный параметр k называется продольным волновым числом.

Утверждение 1.2. Пусть E, H нетривиальное решение системы уравнений (1.3); показатель преломления n принимает в области постоянное значение n+. Тогда в R2 \ функции E и H удовлетворяют уравнениям Гельмгольца E + k2n2 - 2 = 0, x, (1.15) + H E + k2n2 - 2 = 0, x. (1.16) H Доказательство. Функция n принимает постоянное значение n > 0 при x. По предположению в области функция n также принимает положительное постоянное значение n+. Таким образом, применяя к уравнениям (1.11), (1.12) формулу (1.9), получаем следующие уравнения:

-E + 2E + grad (divE) = k2n2 E, x, + -H + 2H + grad (divH) = k2n2 H, x, + -E + 2E + grad (divE) = k2n2 E, x, -H + 2H + grad (divH) = k2n2 H, x.





10 Глава 1. Основные уравнения Из этих уравнений, равенства (1.14) и равенства divE = 0, x R2 \, справедливого при сделанных предположениях относительно n в силу уравнения (1.13), получаем требуемое утверждение.

§ 2. Электромагнитные потенциалы Для определения комплексных амплитуд собственных волн на плоскости нужно найти нетривиальные решения системы уравнений (1.3), то есть определить шесть скалярных функций, являющихся компонентами векторов E и H. Во многих случаях оказывается удобным ввести некоторые вспомогательные функции, называемые электромагнитными потенциалами, через которые определенным образом выражаются амплитуды собственных волн. Введем в рассмотрение электромагнитные потенциалы, следуя [12].

Определение 1.1. Вектор-функция A(x) и скалярная функция (x) называются векторным потенциалом и скалярным потенциалом векторного поля {E, H}, если справедливо представление E =iµ0A - grad, (1.17) H = rotA. (1.18) Утверждение 1.3. Для любых ненулевых векторов E и H, удовлетворяющих системе уравнений (1.3), существует векторный потенциал A и скалярный потенциал. Если потенциалы A и связаны друг с другом условием Лоренца, divA = i0n2, (1.19) то они для всех x R2 \ удовлетворяют уравнениям:

+ k2n2 - 2 A = -J, (1.20) + k2n2 - 2 = -, (1.21) где J = -i0(n2 - n2 )E, (1.22) = -E · (n-2gradn2).

§ 2. Электромагнитные потенциалы Доказательство. Пусть ненулевые векторы E и H удовлетворяют системе уравнений (1.3). Поскольку в силу утверждения 1.divH = 0, то существует такая вектор-функция A, что имеет место представление (1.18). Подставим (1.18) в первое из уравнений (1.3) и получим равенство rot(E - iµ0A) = 0.

Следовательно, существует такая скалярная функция, что справедливо равенство (1.17). Таким образом, любое нетривиальное решение системы уравнений (1.3) может быть выражено через функции A(x) и (x).

Определим теперь, каким уравнениям удовлетворяют потенциалы A и. Подставим представления (1.18) и (1.17) во второе из уравнений (1.3). В результате получим равенство rot (rotA) - k2n2 A = i0n2 grad + J, (1.23) где вектор-функция J определена по формуле (1.22). Из уравнения div n2E = 0, формулы (1.7) и представления (1.17) получаем цепочку равенств:

0 = n2divE + E · gradn2 = n2div iµ0A - grad + E · gradn2.

Отсюда и из формулы (1.5) следует, что -iµ0divA + - 2 = E · (n-2gradn2). (1.24) Как известно [12], в силу неоднозначности определения потенциалов A и можно наложить на них дополнительное условие, которое позволит упростить уравнения (1.23) и (1.24). Пусть A и удовлетворяют условию Лоренца (1.19). Тогда из (1.23) и (1.24) при помощи формулы (1.9) получим уравнения (1.20) и (1.21).

Определение 1.2. Вектор-функция (x) называется вектором Герца или поляризационным потенциалом векторного поля {E, H}, если справедливо представление E = k2n2 + graddiv, (1.25) H = -i0n2 rot. (1.26) 12 Глава 1. Основные уравнения Утверждение 1.4. Для любого нетривиального решения E, H системы уравнений (1.3) существует поляризационный потенциал. Потенциал для всех x R2 \ удовлетворяет уравнению + k2n2 - 2 = - n2 - n2 E.

(1.27) n Доказательство. Выразим потенциалы A и через один вектор. Пусть = -div.

Тогда из условия Лоренца (1.19) имеем A = -i0n2.

Отсюда и из (1.20), (1.21) получим два уравнения для, а именно уравнение -div + k2n2 - 2 = E · (n-2gradn2) (1.28) и уравнение (1.27).

Проверим, что уравнение (1.28) является следствием уравнения (1.27). С этой целью докажем сначала справедливость равенства div n2 - n2 E = n2 E · (n-2gradn2). (1.29) Действительно, в силу (1.7) div n2 - n2 E = n2 - n2 divE + E · grad n2 - n2.

Из (1.13) и (1.7) следует, что -divE = E · (n-2gradn2).

Используя два последних равенства, получим уравнение (1.29). Пусть справедливо равенство (1.27). Применим к обеим частям равенства (1.27) операцию div. Учитывая (1.29), придем к (1.28). Наоборот, из (1.28) и (1.29) имеем -div + k2n2 - 2 = div n2 - n2 E, n откуда следует, что достаточно потребовать от вектора, чтобы выполнялось уравнение (1.27).

§ 2. Электромагнитные потенциалы Выразим теперь векторы E и H через :

E = iµ0A - grad = iµ0 -i0n2 + graddiv = = k2n2 + graddiv, H = rotA = -i0n2 rot.

Таким образом, согласно определению 1.2 вектор является поляризационным потенциалом.

Определение 1.3. Скалярные функции u(x) и v(x) называются потенциальными, если справедливы представления i v u E1 = µ0 +, k2n2 - 2 x2 x-i v u E2 = µ0 -, (1.30) k2n2 - 2 x1 xE3 = u, i v u H1 = - 0n2, k2n2 - 2 x1 xi v u H2 = + 0n2, (1.31) k2n2 - 2 x2 xH3 = v.

Утверждение 1.5. Пусть показатель преломления n принимает в области постоянное значение n+, и выполняются следующие условия:

= ±kn+, = ±kn. (1.32) Тогда для любого нетривиального решения E, H системы уравнений (1.3) существуют потенциальные функции u(x) и v(x). Потенциальные функции u(x) и v(x) для всех x R2 \ удовлетворяют уравнениям Гельмгольца u + k2n2 - 2 = 0, x, (1.33) + v u + k2n2 - 2 = 0, x. (1.34) v 14 Глава 1. Основные уравнения Доказательство. Пусть ненулевые векторы E и H удовлетворяют системе уравнений (1.3). Запишем систему уравнений (1.3) в скалярном виде:

E3 H- iE2 = iµ0H1, - iH2 = -i0n2E1, (1.35) x2 xE3 HiE1 - = iµ0H2, iH1 - = -i0n2E2, (1.36) x1 xE2 E1 H2 H- = iµ0H3, - = -i0n2E3. (1.37) x1 x2 x1 xПусть u = E3, v = H3. Уравнения (1.35), (1.36) запишем в виде двух систем относительно неизвестных функций E1, H2 и H1, E2:

v -i0n2E1 + iH2 =, (1.38) xu iE1 - iµ0H2 = ;

xu iµ0H1 + iE2 =, (1.39) xv iH1 + i0n2E2 =.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.