WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи КАК РЕШАЮТ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ Под редакцией В. О. Бугаенко Издание четвертое, стереотипное Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 51(023) ББК 22.12 К19 Художник: В. К. Ковальджи Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К.

К19 Как решают нестандартные задачи / Под ред.

В. О. Бугаенко. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2008. | 96 c.

ISBN 978-5-94057-331-9 В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов (всего 200 задач), которые сгруппированы по классам.

Сборник адресован старшеклассникам, учителям, руководителям кружков и всем любителям математики.

Предыдущее издание книги вышло в 2004 г.

ББК 22.12 © Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К., 2004 ISBN 978-5-94057-331-9 © МЦНМО, 2004 Содержание Предисловие 4 Как работать с книгой 5 Часть I. Идеи и методы решения задач 6 Поиск родственных задач.................. 6 Причёсывание задач (или «можно считать, что... »)... 8 Доказательство от противного............... 12 Чётность............................ 13 Обратный ход......................... 15 Подсчёт двумя способами.................. 17 Соответствие......................... 20 Графы............................. 24 Инварианты.......................... 29 Метод крайнего........................ 32 Уход на бесконечность и малые шевеления........ 35 Принцип Дирихле....................... 37 Индукция........................... Делимость и остатки..................... Алгоритм Евклида...................... Покрытия, упаковки и замощения............. Раскраски........................... Игры.............................. Процессы и операции.................... Часть II. Задачи 8 класс............................. 9 класс............................. 10 класс............................ 11 класс............................ Приложение Советы участнику олимпиады............... Критерии оценки работ................... Математический словарик................. Обозначения.......................... Советуем почитать Пр едисловие Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект.

На основе опыта работы в Вечерней математической школе мы отобрали задачи, часто используемые на занятиях математических кружков. Эти задачи, интересные и сами по себе, служат материалом для описания ряда общематематических идей решения задач.

В книге описаны классические идеи1 решения олимпиадных задач. К этим идеям подобраны примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Сложность задач существенно различна. Для решения некоторых из них достаточно смекалки, логики и пространственного воображения. Другие задачи требуют некоторого опыта, интуиции и наблюдательности. Чтобы решить наиболее трудные задачи потребуется умение организовать работу над задачей (прояснить ситуацию, выявить круг идей, подобрать удобный «язык») и владеть определённой техникой. В части II приведены задачи олимпиадного и исследовательского типов, которые сгруппированы по классам.

Кроме задач и идей решения, в книге есть словарик математических понятий и советы участникам олимпиады.

Мы благодарим Григория Кондакова за большое участие в подготовке темы «Процессы».

Мы будем рады, если читатели найдут другие интересные идеи и пришлют нам соответствующие подборки задач.

Адрес: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11.

E-mail: kanel@mccme. ru koval@mccme. ru bugaenko@mccme. ru Отметим, что слова «идея» и «метод» иногда используются как синонимы, хотя «метод» | это алгоритм решения, а «идея» | это путь к решению.

Как раб отать с книг ой Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя способами: 1) сначала прочитать описание идеи, потом разобрать примеры, потом порешать задачи на эту тему, или 2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать примеры.

Решать задачи мы советуем не все подряд, а выбирая те, которые вам интересны.

Если какая-то задача особенно понравилась, то, решив её, не переходите сразу к следующей, а подумайте еще над этой. Попробуйте понять:

• какие идеи привели к решению, чем эта задача похожа или не похожа на другие задачи;

• где в решении использованы те или иные данные, перестанет ли утверждение быть верным, если какое-то условие убрать или ослабить;

• можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно ли обратное утверждение;

• можно ли обобщить задачу или вывести интересные следствия.

Не стремитесь решать много задач. Если вы решите за день одну{две задачи и хорошо всё продумаете, то это будет лучше чем решить десять задач поверхностно. Важно не количество решенных задач, а то новое, что удалось понять.

Если у вас после решения хорошей задачи поднимается настроение | это признак успешной работы.



Часть I Идеи и методы решения задач Поиск р одственных за дач Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ к решению исходной. Помогают следующие соображения:

• рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;

• разбить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность);

• обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);

• свести задачу к более простой (см. тему «Причёсывание задач»).

Пример 1. В угловой клетке таблицы 5 5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами Решение. Возьмём квадрат поменьше, размера 2 2, в котором стоят один плюс и три минуса. Можно ли сделать все знаки плюсами Несложный перебор показывает, что нельзя.

Поиск родств е нных задач Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5 5 квадратик 2 2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в квадрате 5 5 и подавно.

Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям.

Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то задача станет легче (вспомните, как из точки провести касательную).

Пусть и | центр и радиус меньшей окружности, 1 и | центр и радиус большей окружности. Рассмо2 трим прямую, проходящую через и параллельную общей касательной. (рис. 1). Эта прямая удалена от на расстояние -, значит, является касательной к окружности с 2 центром и радиусом -. Построим эту окружность.

2 2 Из точки проведём касательную к ней. Пусть | точка касания. На прямой лежит искомая точка касания.

rr2-rrO2 OРис. Задачи 1. Легко распилить кубик 3 3 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить 2. Докажите, что в выпуклом -угольнике сумма внутренних углов равна 180( - 2).

3. Докажите, что ( + 1)( + 2) делится на 6 при любом целом.

8 Идеи и методы решения задач 2 4. Решите уравнение ( + - 3)2 + 2 + 2 - 5 = 0.

5 (для тех, кто знаком с понятием инверсии). Постройте окружность, касательную к трём данным.

6 Постройте общую внутреннюю касательную к двум окружностям.

Причё сыван ие за дач (или «можно считать, чт о... ») Известно, что человек некультурный ест как придётся, а культурный сначала приготовит пищу. Так и некультурный математик решает задачу как придётся, а культурный «приготовит» задачу, т. е. преобразует её к удобному для решения виду.

Приготовление задачи может состоять в переформулировке условия на более удобном языке (например, на языке графов), отщеплении простых случаев, сведении общего случая к частному.

Такие преобразования сопровождаются фразами «в силу симметрии», «явно не хуже», «для определённости», «не нарушая общности», «можно считать, что... ».

Пример 1. Каждый ученик класса ходил хотя бы в один из двух походов. В каждом походе мальчиков было не больше 2 5. Докажите, что во всём классе мальчиков не больше 4 7.

Решение. «Лобовое» решение состоит в рассмотрении количеств мальчиков, ходивших только в первый поход, ходивших только во второй поход, ходивших в оба похода, то же для девочек, составлении и решении системы уравнений и неравенств. Этого делать не хочется, поэтому будем избавляться от лишних параметров, сводя задачу к её частному случаю. Мы проделаем это в несколько шагов. После каждого шага упрощения становится очевидным следующий шаг.

Будем увеличивать число мальчиков в классе, не изменяя числа девочек и не нарушая условия задачи.

1 шаг. «Впишем» всех девочек в число участников обоих походов. От этого доля мальчиков в походах уменьшится, Причёсывание задач а в классе | не изменится. Итак, можно считать, что все девочки ходили в оба похода.

2 шаг. Если мальчик ходил в первый поход, то освободим его от посещения второго. Доля мальчиков в походе уменьшится. Итак, можно считать, что каждый мальчик ходил только в один поход.

3 шаг. Если в одном походе было меньше мальчиков, чем в другом, то добавим в класс мальчиков. Доля мальчиков в походах останется не больше 2 5, а доля мальчиков в классе увеличится. Можно считать, что мальчиков было в походах поровну.

4 шаг. Задача стала тривиальной: в обоих походах были все девочки и ровно половина мальчиков. Обозначим число девочек 3, тогда мальчиков в походах было не больше 2, а во всём классе | не больше 4. Максимальное число мальчиков в классе 4, а это 4 7 класса.

Пример 2. Из бумажного треугольника вырезали параллелограмм. Докажите, что его площадь не превосходит половины площади треугольника.

Решение. Трудность состоит в том, что положение параллелограмма внутри треугольника произвольное. Будем преобразовывать параллелограмм, не уменьшая его площадь (рис. 2).

1 шаг. «Удлиним» параллелограмм так, чтобы одна его вершина попала на сторону треугольника.

2 шаг. Перекроим параллелограмм, не меняя его площади, так, чтобы его сторона попала на сторону треугольника.

3 шаг. «Удлиним» параллелограмм вдоль общей с треугольником стороны так, чтобы все четыре вершины попали на стороны треугольника.

4 шаг. Перекроим параллелограмм, не меняя его площади, так, чтобы один его угол совпал с углом треугольника.

5 шаг. Теперь задача решается легко. Например, покроем параллелограмм дополняющими его треугольниками (один из треугольников отражается центрально симметрично относительно середины его общей с параллелограммом стороны, а второй параллельно переносится).





10 Идеи и методы решения задач Шаг 1 Шаг Шаг 3 Шаг Шаг Рис. Пример 3. В 9 ячейках записаны числа: в первой | единица, в остальных | нули. За одну операцию можно выбрать две ячейки и заменить каждое число в них полусуммой этих чисел. Какое наименьшее число можно получить в первой ячейке Решение. Нетрудно получить число, усредняя число в первой ячейке со всеми остальными по очереди. Труднее доказать, что меньше получить нельзя.

Причёсывание задач Изменим условие задачи. Пусть после каждой операции все ненулевые числа становятся равными наименьшему из них. Эта новая операция даёт результат в каждой ячейке не больше, чем исходная операция.

Теперь всё ясно: новая операция либо ничего не меняет (если числа равны), либо уничтожает один нуль и уменьшает все числа в два раза. Поскольку новая операция не позволяет получить число меньшее, то исходная операция | тем более.

Задачи 1. В кладовой лежат 300 сапог: 100 хромовых, 100 кирзовых и 100 яловых, причём левых и правых поровну | по 150.

Докажите, что из имеющихся сапог можно составить по крайней мере 50 пар.

2. Из бумажного параллелограмма вырезали треугольник.

Докажите, что его площадь не превосходит половины площади параллелограмма.

3. На плоскости нарисовано несколько точек. Двое по очереди соединяют их отрезками. Отрезки могут выходить из одной точки, но не должны пересекаться. Кто не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что при любых ходах игроков победителем будет один и тот же, а кто именно | определяется лишь начальной позицией.

Указание. Игра заканчивается, если рисунок представляет собой многоугольник, разбитый на треугольники.

4. Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают десять параллельных прямых на расстоянии 1 друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольником на этих прямых, не более десяти.

-мерном кубе покрашено более половины вершин. Ре5. В бро называется покрашенным, если покрашены обе ограничивающие его вершины. Докажите, что покрашено не менее рёбер.

6. Дан многогранник с вершинами и точка внутри него. Пусть | единичный вектор, направленный из точки к -й вершине многогранника. Докажите, что | | - 2.

7. Алфавит некоторого языка состоит из букв. Известно, 12 Идеи и методы решения задач что ни одно слово не является началом другого. | число слов языка, состоящих из букв. Докажите, что 1.

=Указание. Попробуйте заменить слова максимальной длины на меньшие слова.

Доказат ельство от пр отивног о Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».

Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.

Решение. Предположим противное, пусть,,..., 1 | все простые числа. Рассмотрим число = + 1 1. Оно не делится ни на одно из чисел,,...,, иными 1 словами, ни на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое число имеет хотя бы один простой делитель.

Пример 2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй | не меньше одного, третий | не меньше двух, четвёртый не меньше трёх, пятый | не меньше четырёх. Всего | не меньше десяти. Противоречие.

Пример 3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол одной из граней.

Решение. Допустим, что такая пирамида существует.

Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.

Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Метод крайнего».

Чётность Пример 4. Докажите, что число log2 3 иррационально.

Решение. Предположим противное. Пусть log2 3 =, где, | натуральные числа. Тогда 2 = 3 или 2 = 3.

Последнее равенство невозможно, ибо чётное число не равно нечётному. Противоречие.

Задачи 1. По кругу расставлены 100 чисел. Известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

2. На плоскости отмечено несколько точек. Известно, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Докажите, что все отмеченные точки являются вершинами выпуклого многоугольника.

3. Докажите, что если ( - 1)! + 1 делится на, то число | простое.

4. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого больше трёх острых углов 5. Докажите, что не существует многогранника, у которого число граней нечётно и каждая грань имеет нечётное число вершин.

6. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, имеющих вид а) 4 + 3; б) 3 + 2; в) 6 + 5.

Чётно сть Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Чётность в играх | это возможность сохранить чётность некоторой величины при своем ходе (см. темы «Инварианты», «Делимость», «Игры»).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.